高等数学说课稿

路径积分理论03级物理学：李琼03级应用物理：刘芳一.引论二.经典回顾三.路径积分的基本思想四.路径积分的计算五.从路径积分到薛定谔方程六.路径积分的应用一.引论量子化的三种主要方式：波动力学，矩阵力学，路径积分。二.经典回顾在经典力学中，用坐标和动量来描述宏观粒子在某一时刻的状态.在时空坐标中，当粒子从时空点a(r1,t1)到达时空点b(r2,t2)时，a与b两点之间有许多通道，而宏观粒子只走使作用量S取极小值的路径.这就是经典力学中的最小作用量原理.(,,)abttSLxxtdt0()0dLLSdtxx三.路径积分的基本思想粒子走各种路径的可能性都是存在的，对应a、b两时空点之间的每条路径r(t)都有一概率波幅Φ[r(t)]（概率波幅的绝对值平方｜Φ［r(t)｜2反映概率)，对各路径均应等权地加以考虑.粒子从时空点a出发到达时空点b的概率波幅是连接a、b两点之间所有路径的概率波幅之和Φ[r(t)。每条路径对总概率波幅所贡献的概率是相同的，但是各路径的概率波幅的相位不同。(,,)battSrtLrrtdt概率波的相位与经典力学中作用量S成正比，即(())exp(())irtconstSrt粒子从一个确定的时空点a出发，到达时空点b的概率波幅等于a、b二点之间沿所有路径的概率波幅的总和，即K(b,a)就是费曼路径积分理论中的传播子。t时刻粒子出现在r的概率(,)()Kbaxt,(,,,),aaaaartKrrttrtdr四.路径积分的计算求粒子在某一时刻在空间某一位置的概率波幅，在费曼路径积分理论中就是求传播函数问题。由于a、b两点之间的各种可能的路径是连续变化、不可数的，因此对a、b两点之间所有路径概率波幅求和就成了对所有连续变化路径的积分，故称为路径积分，即bai(,)exp(Sb,a)()KbaDxt21101120(,)lim(,)lim...()1lim...()...NNNNNKbaKbartdrdrdrdrdrdrrtAAAA把时间分为N个小段，当N足够大时每段可以近似为匀速运动。于是对不同路径的积分转化为对各个时间段的坐标分别积分。五.从路径积分到薛定谔方程,,;,,rtKrtrtrtdr,,;,,rtKrtrtrtdr,;,exp(,,)2irrrrKrtrtCLt考虑t+ε(ε→0+)时刻粒子的状态φ（r,t+ε）：考虑到ε→0+，传播子可以表示成222,,,,2iirtrtVrtrttmrrr222,,2irtVrttmr把积分变量改为η，并把被积函数对η作Taylor展开，保留一极小量得：令即：六.路径积分的应用路径积分可以用来解释许多物理现象，例如衍射、最短光程原理、惠更斯-菲涅尔原理等。霍金还用路径积分理论计算了宇宙的路径——宇宙的演化规律。