高等数学考研辅导练习7-8一元微积分学应用无穷级数

1《高等数学》考研辅导练习6一元微积分学应用1．设()sincosfxxxx，下列命题正确的是。A．(0)f是极大值，()2f是极小值；B．(0)f是极小值，()2f是极大值；C．(0)f是极大值，()2f是极大值；D．(0)f是极小值，()2f是极小值。2．曲线弧sin(0)yxx上那一点处的曲率半径最小？求出该点处的曲率半径。3．设()yyx由参数方程333131xttytt确定，则曲线()yyx为凸的x的取值范围为：。4．证明当230ab时，实系数方程320xaxbxc只有唯一的实根。5．试着用单调性和中值定理两种方法证明当0x时，ln(1)1xxxx。6．证明当0ba时，有2()lnbbaaab。7．证明11(1)12pppxx，这里01,1xp。8．证明lnln()ln2xyxxyyxy，这里0,0,xyxy。9．设()fx在[,]ab上连续，且严格单调，证明()()2()bbaaabfxdxxfxdx。10．设()fx在[,]ab上连续，且()0fx，证明21()()()bbaafxdxdxbafx。11．设()fx在[,]ab上连续，且单调减少，()0fx。证明对任意的,(01)有0()()ftdtftdt。12．设()fx在[,]ab上连续，且单调不增。证明对任意的(0,1)有100()()ftdtftdt。13．设()fx在[,]ab上连续，()fx在[,]ab内存在且可积，()()0fafb，试证1()()()2bafxfxdxaxb。14．设()0[,]fxxab，证明()()()()()()22bafafbabbafxdxfba。15．设()fx在[,]ab上单增，且()0[,]fxxab，证明2()()()()()()2bafafbbafafxdxba。16．设()fx在1[,](0)aaa上非负可积，且1()0aaxfxdx，试证211()()aaaaxfxdxfxdx。17．设(),()fxgx恒正，且()()()()0fxgxfxgx，则当axb时，有（）：A．()()()()fxgbfbgx；B．()()()()fxgafagx；C．()()()()fxgxfbgb；D．()()()()fxgxfaga。18．过坐标原点作曲线lnyx的切线，该切线与曲线lnyx及x轴围成平面图形D。（1）求D的面积；（2）求D绕直线xe旋转一周得旋转体的体积V。19．设1D是由抛物线22yx和直线2,,0xxay围成的平面区域；2D是由抛物线22yx和直线,0xay围成的平面区域，其中02a。（1）求1D绕x轴旋转一周得旋转体的体积1V；2D绕y轴旋转一周得旋转体的体积2V。过坐标原点作曲线lnyx的切线，该切线与曲线lnyx及x轴围成平面图形D。（2）a为何值时，12VV取得最大值，并求出最大值。20．求旋轮线(sin),(1cos)xattyat一拱绕x轴旋转一周得旋转体的表面积。21．求心形线(1cos)(0)raa的全长。22．在xOy平面上连续曲线L过点(1,0)，其上任意一点(,)(0)Pxyx处的切线斜率与直线OP的斜率之差为ax，这里的常数0a。（1）求L的方程；（2）当L与直线yax所围成的平面图形的面积为8/3时，确定a的值。23．位于曲线(0)xyxex下方，x轴上方的无界图形的面积为。24．双纽线22222xyxy所围成的区域面积可用定积分表示为（）：A．402cos2d；B．404cos2d；C．402cos2d；D．2401cos22d。325．由曲线1,2,2yxxyx围成的平面图形的面积S。26．曲线(1)(2)yxxx与x轴所围图形的面积可表示为（）：A．20(1)(2)xxxdx；B．1201(1)(2)(1)(2)xxxdxxxxdx；C．1201(1)(2)(1)(2)xxxdxxxxdx；D．20(1)(2)xxxdx。27．求曲线lnyx在区间(2,6)内的一条切线，使其与2,6xx及lnyx所围图形的面积最小。练习8无穷级数1．判断下列级数的敛散性，并说明理由。（1）221111cos,cos,sin,sinnnnn；（2）(1cos)n；（3）1(1)1npp。2．若(0)nnaa收敛，（1）证明下列级数皆收敛：21,,,1nnnnnnaaaaana；（2）问：当1k时，kna是否一定收敛？说明理由。3．已知na单减，且lim0nna，证明12(1)nnaaan收敛。4．求下列函数项级数的收敛域：（1）1xnxn；（2）220(1)3nnnxn。5．写出ln(1)x的展开式，注明收敛域，并求ln2的级数表示。6．求下列幂级数的和函数（1）221212nnnnx；（2）2101(1)(21)!nnnnxn；（3）11(1)nnxnn。7．求下列函数的幂级数展开式。（1）101xx；（2）319x；（3）256xxx。8．求lnx在1x处的泰勒展开式，并求11(1)nnn的值。49．求幂级数21!2!nnnxn的收敛半径和收敛域。10．将函数12()arctan12xfxx展开成x的幂级数，并求级数0(1)21nnn的和。11．若na收敛，则（）。A．na收敛；B.(1)nna收敛；C.1()nnaa收敛；D.12nnaa收敛。12．设0(1,2,)nan，若na发散，(1)nna收敛，则下列正确的是。A．21na收敛，21nna发散；B.21na发散，21nna收敛；C.212()nnaa收敛；D.212()nnaa收敛。13．（1）验证函数3693()1(,)3!6!9!(3)!nxxxxyxxn满足微分方程xyyye。（2）利用（1）的结果，求幂级数31(3)!nnxn的和函数。14．设幂级数11,nnnnnnaxbx的收敛半径分别为53和13，则幂级数221nnnnaxb的收敛半径为。511()5;();();()335ABCD。15．设11112,,()(1,2,)2nnnaaana，试证（1）limnna存在；（2）级数11(1)nnnaa收敛。16．设常数0，且级数21nna收敛，则级数21(1)nnnan是（）。（A）发散；（B）条件收敛；（C）绝对收敛；（D）收敛性与有关。17．级数1(1)(1cos)(0)nnaan（）。（A）发散；（B）条件收敛；（C）绝对收敛；（D）收敛性与a有关。518．已知级数12111(1)2,5nnnnnaa，则级数1nna＝。19．设常数0k，则级数21(1)nnknn（）。（A）发散；（B）条件收敛；（C）绝对收敛；（D）收敛性与k有关。20．设20cos()nnxanxx，则2a＝。21．设102()12212xxfxxx，01()cos()2nnaSxanxx，其中102()cos(0,1,)nafxnxdxn，则5()2S。22．设210()10xfxxx，则以2为周期的傅立叶级数在点x处收敛于。23．设函数2()01fxxx，而1()sin()nnSxbnxx，其中102()sin(1,2,)nbfxnxdxn，则1()2S。24．设幂级数11nnnax在1x处收敛，则此级数在2x处（）。（A）条件收敛；（B）绝对收敛；（C）发散；（D）收敛性不能确定。25．求幂级数133nnnxn的收敛域。26．设21arctan0()10xxxfxxx，试将()fx展开成关于x的幂级数，并求级数21(1)14nnn的和。27．已知()nfx满足1()()nxnnfxfxxe，且(1)nefn，求1()nnfx的和。