高三理数一轮复习第十七章坐标系与参数方程

第十七章坐标系与参数方程高考导航考试要求重难点击命题展望一、坐标系1.了解在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法，理解坐标系的作用.2.了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.3.能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化.4.能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)的方程.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，体会在用方程刻画平面图形时选择适当坐标系的意义.5.了解在柱坐标系、球坐标系中刻画空间点的位置的方法，并与空间直角坐标系中刻画点的位置的方法相比较，体会它们的区别.二、参数方程1.了解参数方程，了解参数的意义.2.分析直线、圆和圆锥曲线的几何性质，选择适当的参数写出它们的参数方程.3.了解平摆线和渐开线的生成过程，并能写出它们的参数方程.4.了解其他摆线的生成过程；了解摆线在实际中应用的实例；了解摆线在刻画行星运动轨道中的作用.本章重点：1.根据问题的几何特征选择坐标系；坐标法思想；平面直角坐标系中的伸缩变换；极坐标系；直线和圆的极坐标方程.2.根据问题的条件引进适当的参数，写出参数方程，体会参数的意义；分析直线、圆和圆锥曲线的几何性质，选择适当的参数写出它们的参数方程.本章难点：1.对伸缩变换中点的对应关系的理解；极坐标的不唯一性；曲线的极坐标方程.2.根据几何性质选取恰当的参数，建立曲线的参数方程.坐标系是解析几何的基础，为便于用代数的方法研究几何图形，常需建立不同的坐标系，以便使建立的方程更加简单，参数方程是曲线在同一坐标系下不同于普通方程的又一种表现形式.某些曲线用参数方程表示比用普通方程表示更加方便.本专题要求通过坐标系与参数方程知识的学习，使学生更全面地理解坐标法思想；能根据曲线的特点，选取适当的曲线方程表示形式，体会解决问题中数学方法的灵活性.高考中，参数方程和极坐标是本专题的重点考查内容.对于柱坐标系、球坐标系，只要求了解即可.知识网络17.1坐标系典例精析题型一极坐标的有关概念【例1】已知△ABC的三个顶点的极坐标分别为A(5，π6)，B(5，π2)，C(－43，π3)，试判断△ABC的形状，并求出它的面积.【解析】在极坐标系中，设极点为O，由已知得∠AOB＝π3，∠BOC＝5π6，∠AOC＝5π6.又|OA|＝|OB|＝5，|OC|＝43，由余弦定理得|AC|2＝|OA|2＋|OC|2－2|OA|·|OC|·cos∠AOC＝52＋(43)2－2×5×43·cos5π6＝133，所以|AC|＝133.同理，|BC|＝133.所以|AC|＝|BC|，所以△ABC为等腰三角形.又|AB|＝|OA|＝|OB|＝5，所以AB边上的高h＝|AC|2－(12|AB|)2＝1332，所以S△ABC＝12×1332×5＝6534.【点拨】判断△ABC的形状，就需要计算三角形的边长或角，在本题中计算边长较为容易，所以先计算边长.【变式训练1】(1)点A(5，π3)在条件：①ρ＞0，θ∈(－2π，0)下极坐标为，②ρ＜0，θ∈(2π，4π)下极坐标为；(2)点P(－12，4π3)与曲线C：ρ＝cosθ2的位置关系是.【解析】(1)(5，－5π3)；(－5，10π3).(2)点P在曲线C上.题型二直角坐标与极坐标的互化【例2】⊙O1和⊙O2的极坐标方程分别为ρ＝4cosθ，ρ＝－4sinθ.(1)把⊙O1和⊙O2的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)求经过⊙O1和⊙O2交点的直线的直角坐标方程.【解析】(1)以极点为原点，极轴为x轴正半轴，建立直角坐标系，且两坐标系取相同单位长.因为x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，由ρ＝4cosθ，得ρ2＝4ρcosθ，所以x2＋y2＝4x，即x2＋y2－4x＝0为⊙O1的直角坐标方程.同理，x2＋y2＋4y＝0为⊙O2的直角坐标方程.(2)由,04,042222yyxxyx解得0,011yx或.2,222yx即⊙O1，⊙O2的交点为(0,0)和(2，－2)两点，故过交点的直线的直角坐标方程为x＋y＝0.【点拨】互化的前提条件：原点对应着极点，x轴正向对应着极轴.将互化公式代入，整理可以得到.【变式训练2】在极坐标系中，设圆ρ＝3上的点到直线ρ(cosθ＋3sinθ)＝2的距离为d，求d的最大值.【解析】将极坐标方程ρ＝3化为普通方程x2＋y2＝9，ρ(cosθ＋3sinθ)＝2可化为x＋3y＝2.在x2＋y2＝9上任取一点A(3cosα，3sinα)，则点A到直线的距离为d＝|3cosα＋33sinα－2|2＝|6sin(α＋30°)－2|2，它的最大值为4.题型三极坐标的应用【例3】过原点的一动直线交圆x2＋(y－1)2＝1于点Q，在直线OQ上取一点P，使P到直线y＝2的距离等于|PQ|，用极坐标法求动直线绕原点一周时点P的轨迹方程.【解析】以O为极点，Ox为极轴，建立极坐标系，如右图所示，过P作PR垂直于直线y＝2，则有|PQ|＝|PR|.设P(ρ，θ)，Q(ρ0，θ)，则有ρ0＝2sinθ.因为|PR|＝|PQ|，所以|2－ρsinθ|＝|ρ－2sinθ|，所以ρ＝±2或sinθ＝±1，即为点P的轨迹的极坐标方程，化为直角坐标方程为x2＋y2＝4或x＝0.【点拨】用极坐标法可使几何中的一些问题得到很直接、简单的解法，但在解题时关键是极坐标要选取适当，这样可以简化运算过程，转化为直角坐标时也容易一些.【变式训练3】如图，点A在直线x＝5上移动，等腰△OPA的顶角∠OPA为120°(O，P，A按顺时针方向排列)，求点P的轨迹方程.【解析】取O为极点，x正半轴为极轴，建立极坐标系，则直线x＝5的极坐标方程为ρcosθ＝5.设A(ρ0，θ0)，P(ρ，θ)，因为点A在直线ρcosθ＝5上，所以ρ0cosθ0＝5.①因为△OPA为等腰三角形，且∠OPA＝120°，而|OP|＝ρ，|OA|＝ρ0以及∠POA＝30°，所以ρ0＝3ρ，且θ0＝θ－30°.②把②代入①，得点P的轨迹的极坐标方程为3ρcos(θ－30°)＝5.题型四平面直角坐标系中坐标的伸缩变换【例4】定义变换T：,cossin,sincosyyxxyx可把平面直角坐标系上的点P(x，y)变换成点P′(x′，y′).特别地，若曲线M上一点P经变换公式T变换后得到的点P′与点P重合，则称点P是曲线M在变换T下的不动点.(1)若椭圆C的中心为坐标原点，焦点在x轴上，且焦距为22，长轴顶点和短轴顶点间的距离为2.求椭圆C的标准方程，并求出当tanθ＝34时，其两个焦点F1、F2经变换公式T变换后得到的点F1′和F2′的坐标；(2)当tanθ＝34时，求(1)中的椭圆C在变换T下的所有不动点的坐标.【解析】(1)设椭圆C的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，由椭圆定义知焦距2c＝22⇒c＝2，即a2－b2＝2.①又由已知得a2＋b2＝4，②故由①、②可解得a2＝3，b2＝1.即椭圆C的标准方程为x23＋y2＝1，且椭圆C两个焦点的坐标分别为F1(－2，0)和F2(2，0).对于变换T：,cossin,sincosyyxxyx当tanθ=43时，可得.5453,5354yyxxyx设F1′(x1，y1)和F2′(x2，y2)分别是由F1(－2，0)和F2(2，0)的坐标经变换公式T变换得到.于是,523054)2(53,524053)2(5411yx即F1′的坐标为(－425，－325)；又,523054253,52405325422yx即F2′的坐标为(425，325).(2)设P(x，y)是椭圆C在变换T下的不动点，则当tanθ＝34时，有yyxxyx5453,5354⇒x＝3y，由点P(x，y)∈C，即P(3y，y)∈C，得(3y)23＋y2＝1⇒,23,21xy因而椭圆C的不动点共有两个，分别为(32，12)和(－32，－12).【变式训练4】在直角坐标系中，直线x－2y＝2经过伸缩变换后变成直线2x′－y′＝4.【解析】.4,yyxx总结提高1.平面内一个点的极坐标有无数种表示方法.如果规定ρ＞0,0≤θ＜2π，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标(ρ，θ)表示；反之也成立.2.熟练掌握几种常用的极坐标方程，特别是直线和圆的极坐标方程.17.2参数方程典例精析题型一参数方程与普通方程互化【例1】把下列参数方程化成普通方程：(1)sincos2,sin4cosyx(θ为参数)；(2)2)ee(,2)ee(ttttbyax(t为参数，a，b＞0).【解析】(1),1)94()92(94cos,92sinsincos2,sin4cos22yxxyyxxyyx所以5x2＋4xy＋17y2－81＝0.(2)由题意可得②.ee2，①ee2ttttbyax所以①2－②2得4x2a2－4y2b2＝4，所以x2a2－y2b2＝1，其中x＞0.【变式训练1】把下列参数方程化为普通方程，并指出曲线所表示的图形.(1);cossin,cossinyx(2);1,1ttyx(3);13,13222ttyttx(4)3.tan5,sec46yx【解析】(1)x2＝2(y＋12)，－2≤x≤2，图形为一段抛物线弧.(2)x＝1，y≤－2或y≥2，图形为两条射线.(3)x2＋y2－3y＝0(y≠3)，图形是一个圆，但是除去点(0,3).(4)(x－6)216－(y＋3)225＝1，图形是双曲线.题型二根据直线的参数方程求弦长【例2】已知直线l的参数方程为tytx3,2(t为参数)，曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ＝1.(1)求曲线C的普通方程；(2)求直线l被曲线C截得的弦长.【解析】(1)由曲线C：ρ2cos2θ＝ρ2(cos2θ－sin2θ)＝1，化成普通方程为x2－y2＝1.①(2)方法一：把直线参数方程化为标准参数方程tytx23,212(t为参数).②把②代入①得(2＋t2)2－(32t)2＝1，整理得t2－4t－6＝0.设其两根为t1，t2，则t1＋t2＝4，t1t2＝－6.从而弦长为|t1－t2|＝(t1＋t2)2－4t1t2＝42－4(－6)＝40＝210.方法二：把直线的参数方程化为普通方程为y＝3(x－2)，代入x2－y2＝1，得2x2－12x＋13＝0.设l与C交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝6，x1x2＝132，所以|AB|＝1＋3·(x1＋x2)2－4x1x2＝262－26＝210.【变式训练2】在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为tytx531,541(t为参数)，若以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为ρ＝2cos(θ＋π4)，求直线l被曲线C所截的弦长.【解析】将方程tytx531,541(t为参数)化为普通方程为3x＋4y＋1＝0.将方程ρ＝2cos(θ＋π4)化为普通方程为x2＋y2－x＋y＝0.表示圆心为(12，－12)，半径为r＝22的圆，则圆心到直线的距离d＝110，弦长＝2r2－d2＝212－1100＝75.题型三参数方程综合运用【例3】(2009海南、宁夏)已知曲线C1：tytxsin3,cos4(t为参数)，C2：sin3,cos8yx(θ为参数).(1)化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；(2)若C