高考一轮复习对数与对数函数

我爱学习网在线学习网分享学习方法励志人生我爱学习网第5讲对数与对数函数【2015年高考会这样考】1．考查对数函数的定义域与值域．2．考查对数函数的图象与性质的应用．3．考查以对数函数为载体的复合函数的有关性质．4．考查对数函数与指数函数互为反函数的关系．【复习指导】复习本讲首先要注意对数函数的定义域，这是研究对数函数性质．判断与对数函数相关的复合函数图象的重要依据，同时熟练把握对数函数的有关性质，特别注意底数对函数单调性的影响．基础梳理1．对数的概念(1)对数的定义如果ax＝N(a＞0且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．(2)几种常见对数对数形式特点记法一般对数底数为a(a＞0且a≠1)logaN常用对数底数为10lgN自然对数底数为eln_N2.对数的性质与运算法则(1)对数的性质①alogaN＝N；②logaaN＝N(a＞0且a≠1)．(2)对数的重要公式①换底公式：logbN＝logaNlogab(a，b均大于零且不等于1)；②logab＝1logba，推广logab·logbc·logcd＝logad.我爱学习网在线学习网分享学习方法励志人生我爱学习网(3)对数的运算法则如果a＞0且a≠1，M＞0，N＞0，那么①loga(MN)＝logaM＋logaN；②logaMN＝logaM－logaN；③logaMn＝nlogaM(n∈R)；④logamMn＝nmlogaM.3．对数函数的图象与性质a＞10＜a＜1图象性质定义域：(0，＋∞)值域：R过点(1,0)当x＞1时，y＞0当0＜x＜1，y＜0当x＞1时，y＜0当0＜x＜1时，y＞0是(0，＋∞)上的增函数是(0，＋∞)上的减函数4.反函数指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．一种思想对数源于指数，指数式和对数式可以互化，对数的性质和运算法则都可以通过对数式与指数式的互化进行证明．两个防范解决与对数有关的问题时，(1)务必先研究函数的定义域；(2)注意对数底数的取值范围．三个关键点画对数函数的图象应抓住三个关键点：(a,1)，(1,0)，1a，－1.我爱学习网在线学习网分享学习方法励志人生我爱学习网四种方法对数值的大小比较方法(1)化同底后利用函数的单调性．(2)作差或作商法．(3)利用中间量(0或1)．(4)化同真数后利用图象比较．双基自测1．(2010·四川)2log510＋log50.25＝()．A．0B．1C．2D．4解析原式＝log5100＋log50.25＝log525＝2.答案C2．(人教A版教材习题改编)已知a＝log0.70.8，b＝log1.10.9，c＝1.10.9，则a，b，c的大小关系是()．A．a＜b＜cB．a＜c＜bC．b＜a＜cD．c＜a＜b解析将三个数都和中间量1相比较：0＜a＝log0.70.8＜1，b＝log1.10.9＜0，c＝1.10.9＞1.答案C3．(2012·黄冈中学月考)函数f(x)＝log2(3x＋1)的值域为()．A．(0，＋∞)B．[0，＋∞)C．(1，＋∞)D．[1，＋∞)解析设y＝f(x)，t＝3x＋1.则y＝log2t，t＝3x＋1，x∈R.由y＝log2t，t1知函数f(x)的值域为(0，＋∞)．答案A4．(2012·汕尾模拟)下列区间中，函数f(x)＝|ln(2－x)|在其上为增函数的是()．A．(－∞，1]B.－1，43C.0，32D．[1,2)解析法一当2－x≥1，即x≤1时，f(x)＝|ln(2－x)|＝ln(2－x)，此时函数f(x)我爱学习网在线学习网分享学习方法励志人生我爱学习网在(－∞，1]上单调递减．当0＜2－x≤1，即1≤x＜2时，f(x)＝|ln(2－x)|＝－ln(2－x)，此时函数f(x)在[1,2)上单调递增，故选D.法二f(x)＝|ln(2－x)|的图象如图所示．由图象可得，函数f(x)在区间[1,2)上为增函数，故选D.答案D5．若loga231，则a的取值范围是________．答案23，1考向一对数式的化简与求值【例1】►求值：(1)log89log23；(2)(lg5)2＋lg50·lg2；(3)12lg3249－43lg8＋lg245.[审题视点]运用对数运算法则及换底公式．解(1)原式＝log2332log23＝23.(2)原式＝(lg5)2＋lg(10×5)lg105＝(lg5)2＋(1＋lg5)(1－lg5)＝(lg5)2＋1－(lg5)2＝1.(3)法一原式＝12(5lg2－2lg7)－43×32lg2＋12(2lg7＋lg5)＝52lg2－lg7－2lg2＋lg7＋12lg5＝12(lg2＋lg5)＝12lg10＝12.法二原式＝lg427－lg4＋lg(75)＝lg42×757×4＝lg10＝12.我爱学习网在线学习网分享学习方法励志人生我爱学习网对数源于指数，对数与指数互为逆运算，对数的运算可根据对数的定义、对数的运算性质、对数恒等式和对数的换底公式进行．在解决对数的运算和与对数的相关问题时要注意化简过程中的等价性和对数式与指数式的互化．【训练1】(1)若2a＝5b＝10，求1a＋1b的值．(2)若xlog34＝1，求4x＋4－x的值．解(1)由已知a＝log210，b＝log510，则1a＋1b＝lg2＋lg5＝lg10＝1.(2)由已知x＝log43，则4x＋4－x＝4log43＋4－log43＝3＋13＝103.考向二对数值的大小比较【例2】►已知f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，设a＝f(log47)，b＝f(log123)，c＝f(0.2－0.6)，则a，b，c的大小关系是()．A．c＜a＜bB．c＜b＜aC．b＜c＜aD．a＜b＜c[审题视点]利用函数单调性或插入中间值比较大小．解析log123＝－log23＝－log49，b＝f(log123)＝f(－log49)＝f(log49)，log47＜log49,0.2－0.6＝15－35＝5125＞532＝2＞log49，又f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，故f(x)在[0，＋∞)上是单调递减的，∴f(0.2－0.6)＜f(log123)＜f(log47)，即c＜b＜a，故选B.答案B一般是同底问题利用单调性处理，不同底问题的处理，一般是利用中间值来比较大小，同指(同真)数问题有时也可借助指数函数、对数函数的图象来解决．我爱学习网在线学习网分享学习方法励志人生我爱学习网【训练2】(2010·全国)设a＝log32，b＝ln2，c＝5－12，则()．A．a＜b＜cB．b＜c＜aC．c＜a＜bD．c＜b＜a解析法一a＝log32＝1log23，b＝ln2＝1log2e，而log23＞log2e＞1，所以a＜b，c＝5－12＝15，而5＞2＝log24＞log23，所以c＜a，综上c＜a＜b，故选C.法二a＝log32＝1log23，b＝ln2＝1log2e，1＜log2e＜log23＜2，∴12＜1log23＜1log2e＜1；c＝5－12＝15＜14＝12，所以c＜a＜b，故选C.答案C考向三对数函数性质的应用【例3】►已知函数f(x)＝loga(2－ax)，是否存在实数a，使函数f(x)在[0,1]上是关于x的减函数，若存在，求a的取值范围．[审题视点]a＞0且a≠1，问题等价于在[0,1]上恒有a＞12－ax＞0.解∵a＞0，且a≠1，∴u＝2－ax在[0,1]上是关于x的减函数．又f(x)＝loga(2－ax)在[0,1]上是关于x的减函数，∴函数y＝logau是关于u的增函数，且对x∈[0,1]时，u＝2－ax恒为正数．其充要条件是a＞12－a＞0，即1＜a＜2.∴a的取值范围是(1,2)．研究函数问题，首先考虑定义域，即定义域优先的原则．研究复合函数的单调性，一定要注意内层与外层的单调性问题．复合函数的单调性的法则是“同增异减”．本题的易错点为：易忽略2－ax＞0在[0,1]上恒成立，即2－a＞0.实质上是忽略了真数大于0的条件．【训练3】已知f(x)＝log4(4x－1)(1)求f(x)的定义域；(2)讨论f(x)的单调性；我爱学习网在线学习网分享学习方法励志人生我爱学习网(3)求f(x)在区间12，2上的值域．解(1)由4x－10解得x0，因此f(x)的定义域为(0，＋∞)．(2)设0x1x2，则04x1－14x2－1，因此log4(4x1－1)log4(4x2－1)，即f(x1)f(x2)，f(x)在(0，＋∞)上递增．(3)f(x)在区间12，2上递增，又f12＝0，f(2)＝log415，因此f(x)在12，2上的值域为[0，log415]．难点突破4——与指数、对数函数求值问题有关的解题基本方法指数与对数函数问题，高考中除与导数有关的综合问题外，一般还出一道选择或填空题，考查其图象与性质，其中与求值或取值范围有关的问题是热点，难度虽然不大，但要注意分类讨论．一、与对数函数有关的求值问题【示例】►(2011·陕西)设f(x)＝lgx，x＞0，x＋0a3t2dt，x≤0，若f(f(1))＝1，则a＝________.我爱学习网在线学习网分享学习方法励志人生我爱学习网二、与对数函数有关的解不等式问题【示例】►(2011·辽宁改编)设函数f(x)＝21－x，x≤1，1－log2x，x＞1，则满足f(x)≤2的x的取值范围是________．