高考一轮复习数学课后练习23导数的应用(二)

编辑：@win_任鹏旭．3导数的应用(二)一、选择题1．函数f(x)＝x33＋x2－3x－4在[0,2]上最小值是()A．－173B．－103C．－4D．－643解析：f′(x)＝x2＋2x－3，f′(x)＝0，x∈[0,2]只有x＝1.比较f(0)＝－4，f(1)＝－173，f(2)＝－103.可知最小值为－173.答案：A2．已知f(x)＝2x3－6x2＋m(m是常数)，在[－2,2]上有最大值3，那么在[－2,2]上的最小值为()A．－37B．－29C．－5D．－11解析：由f′(x)＝0⇒x＝0或2.∴f(0)＝m，f(2)＝－8＋m，f(－2)＝－40＋m，∴m＝3，f(－2)＝－37.答案：A3．用边长为48cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊接成铁盒，所做的铁盒容积最大时，在四角截去的正方形的边长为()A．6B．8C．10D．12解析：设小正方形边长为x，铁盒体积为y.y＝(48－2x)2·x＝4x3－192x2＋2304x.y′＝12x2－384x＋2304＝12(x－8)(x－24)．∵48－2x＞0，∴0＜x＜24.∴x＝8时，ymax＝8192.答案：B4．(2014·潍坊期末)函数f(x)＝ex－x(e为自然对数的底数)在区间[－1,1]上的最大值是()A．1＋1eB．1C．e＋1D．e－1解析：因为f(x)＝ex－x，所以f′(x)＝ex－1.令f′(x)＝0，得x＝0.且当x＞0时，f′(x)＝ex－1＞0，x＜0时，f′(x)＝ex－1＜0，即函数在x＝0处取得极小值，f(0)＝1，又f(－1)＝1e＋1，f(1)＝e－1，综合比较得函数f(x)＝ex－1在区间[－1,1]上的最大值是e－1.故选D.答案：D5．函数f(x)＝12ex(sinx＋cosx)在区间0，π2上的值域为()编辑：@win_任鹏旭解析：f′(x)＝12ex(sinx＋cosx)＋12ex(cosx－sinx)＝excosx，0≤x≤π2时，f′(x)≥0，∴f(x)是0，π2上的增函数．∴f(x)的最大值为fπ2＝12eπ2，f(x)的最小值为f(0)＝12.∴f(x)在0，π2上的值域为.答案：A6．(2014·潍坊质检)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c在定义域x∈[－2,2]上表示的曲线过原点，且在x＝±1处的切线斜率均为－1.有以下命题：①f(x)是奇函数；②若f(x)在[s，t]内递减，则|t－s|的最大值为4；③若f(x)的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝0；④若对∀x∈[－2,2]，k≤f′(x)恒成立，则k的最大值为2.其中正确命题的个数为()A．1个B．2个C．3个D．4个解析：由题意得函数过原点，则c＝0.又f′(x)＝3x2＋2ax＋b.则必有f′1＝3＋2a＋b＝－1，f′－1＝3－2a＋b＝－1.解得a＝0，b＝－4.所以f(x)＝x3－4x.令f′(x)＝3x2－4＝0得x＝±233.则函数在[－2,2]上的最小值是负数．由此得函数图象大致如图：得出结论是：①③正确；②④错误．故选B.答案：B二、填空题7．若f(x)＝2x3－6x2＋3，对任意的x∈[－2,2]都有f(x)≤a，则a的取值范围为__________．解析：由f′(x)＝6x2－12x＝0，得x＝0，或x＝2.又f(－2)＝－37，f(0)＝3，f(2)＝－5，∴f(x)max＝3.又f(x)≤a，∴a≥3.答案：[3，＋∞)8．(2014·湖州调研)设函数f(x)＝ax3－3x＋1(x∈R)，若对于任意x∈[－1,1]，都有编辑：@win_任鹏旭f(x)≥0成立，则实数a的值为__________．解析：若x＝0，则不论a取何值，f(x)≥0显然成立．当x＞0，即x∈(0,1]时，f(x)＝ax3－3x＋1≥0可化为a≥3x2－1x3.设g(x)＝3x2－1x3，则g′(x)＝31－2xx4，所以g(x)在区间0，12上单调递增，在区间12，1上单调递减，因此g(x)max＝g12＝4，从而a≥4.当x＜0，即x∈[－1,0]时，同理，a≤3x2－1x3.g(x)在区间[－1,0)上单调递增，∴g(x)min＝g(－1)＝4，从而a≤4，综上，可知a＝4.答案：49．将边长为1m的正三角形薄铁皮沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记s＝梯形的周长2梯形的面积，则s的最小值是__________．解析：如图，设AD＝x(0＜x＜1)，则DE＝AE＝x，∴梯形的周长为x＋2(1－x)＋1＝3－x.又S△ADE＝34x2，∴梯形的面积为34－34x2.∴s＝433×x2－6x＋91－x2(0＜x＜1)．∴s′＝－833×3x－1x－31－x22.令s′＝0得x＝13或3(舍去)，当x∈0，13时，s′＜0，s递减；当x∈13，1时，s′＞0，s递增；故当x＝13时，s的最小值是3233.答案：3233三、解答题10．已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b，是否存在实数a、b，使f(x)在[－1,2]上取得最大值3、最小值－29？若存在，求出a，b的值，若不存在，请说明理由．解析：显然a≠0，f′(x)＝3ax2－12ax＝3a(x2－4x)．令f′(x)＝0，得x＝0或x＝4(舍去)．(1)当a＞0时，如下表：∴当x＝0时，f(x)取得最大值，f(0)＝3，编辑：@win_任鹏旭∴b＝3.又f(－1)＝－7a＋3＞f(2)＝－16a＋3，∴最小值f(2)＝－16a＋3＝－29，a＝2.(2)当a＜0时，如下表：∴当x＝0时，f(x)取得最小值，∴b＝－29.又f(－1)＝－7a－29＜f(2)＝－16a－29，∴最大值f(2)＝－16a－29＝3，a＝－2.综上，a＝2，b＝3或a＝－2，b＝－29.11．某商场销售某种商品的经验表明：该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝ax－3＋10(x－6)2.其中3＜x＜6，a为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．(1)求a的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．解析：(1)因为x＝5时，y＝11，所以a2＋10＝11，a＝2.(2)由(1)可知，该商品每日的销售量y＝2x－3＋10(x－6)2.所以商场每日销售该商品所获得的利润f(x)＝(x－3)2x－3＋10x－62＝2＋10(x－3)(x－6)2,3＜x＜6.从而，f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)]＝30(x－4)(x－6)．于是，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(3,4)4(4,6)f′(x)＋0－f(x)单调递增极大值42单调递减由上表可得，x＝4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点．所以，当x＝4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42.答：当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．12．设f(x)＝lnx，g(x)＝f(x)＋f′(x)．(1)求g(x)的单调区间和最小值；(2)讨论g(x)与g(1x)的大小关系；(3)求a的取值范围，使得g(a)－g(x)＜1a对任意x＞0成立．解析：(1)由题设知f(x)＝lnx，g(x)＝lnx＋1x，∴g′(x)＝x－1x2，令g′(x)＝0得x＝1，当x∈(0,1)时，g′(x)＜0，故(0,1)是g(x)的单调减区间，当x∈(1，＋∞)时，g′(x)＞0，故(1，＋∞)是g(x)的单调增区间，因此，x＝1是g(x)的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以g(x)的最小编辑：@win_任鹏旭值为g(1)＝1.(2)g(1x)＝－lnx＋x，设h(x)＝g(x)－g(1x)＝2lnx－x＋1x，则h′(x)＝－x－12x2，当x＝1时，h(1)＝0，即g(x)＝g(1x)；当x∈(0,1)∪(1，＋∞)时h′(x)＜0，h′(1)＝0，因此，h(x)在(0，＋∞)内单调递减，当0＜x＜1时，h(x)＞h(1)＝0，即g(x)＞g(1x)；当x＞1时，h(x)＜h(1)＝0，即g(x)＜g(1x)．(3)由(1)知g(x)的最小值为1，所以，g(a)－g(x)＜1a，对任意x＞0成立⇔g(a)－1＜1a，即lna＜1，从而得0＜a＜e.