高考一轮复习离散型随机变量的均值与方差

我爱学习网在线学习网分享学习方法励志人生我爱学习网第6讲离散型随机变量的均值与方差【2015年高考会这样考】1．考查有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念．2．利用离散型随机变量的均值、方差解决一些实际问题．【复习指导】均值与方差是离散型随机变量的两个重要数字特征，是高考在考查概率时考查的重点，复习时，要掌握期望与方差的计算公式，并能运用其性质解题．基础梳理离散型随机变量的均值与方差若离散型随机变量X的分布列为Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn两个防范在记忆D(aX＋b)＝a2D(X)时要注意：D(aX＋b)≠aD(X)＋b，D(aX＋b)≠aD(X)．三种分布(1)若X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)；(2)X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)；(1)均值称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或，它反映了离散型随机变量取值的．(2)方差称D(X)＝i＝1n[xi－E(X)]2pi为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均，其算术平方根DX为随机变量X的标准差．数学期望平均水平偏离程度我爱学习网在线学习网分享学习方法励志人生我爱学习网(3)若X服从超几何分布，则E(X)＝nMN.六条性质(1)E(C)＝C(C为常数)(2)E(aX＋b)＝aE(X)＋b(a、b为常数)(3)E(X1＋X2)＝EX1＋EX2(4)如果X1，X2相互独立，则E(X1·X2)＝E(X1)E(X2)(5)D(X)＝E(X2)－(E(X))2(6)D(aX＋b)＝a2·D(X)双基自测1．(2010·山东)样本中共有五个个体，其值分别为a,0,1,2,3.若该样本的平均值为1，则样本方差为()．A.65B.65C.2D．2解析由题意知a＋0＋1＋2＋3＝5×1，解得，a＝－1.s2＝－1－12＋0－12＋1－12＋2－12＋3－125＝2.答案D2．已知X的分布列为X－101P121316设Y＝2X＋3，则E(Y)的值为()．A.73B．4C．－1D．1解析E(X)＝－12＋16＝－13，E(Y)＝E(2X＋3)＝2E(X)＋3＝－23＋3＝73.答案A我爱学习网在线学习网分享学习方法励志人生我爱学习网．(2010·湖北)某射手射击所得环数ξ的分布列如下：ξ78910Px0.10.3y已知ξ的期望E(ξ)＝8.9，则y的值为________．A．0.4B．0.6C．0.7D．0.9解析x＋0.1＋0.3＋y＝1，即x＋y＝0.6.①又7x＋0.8＋2.7＋10y＝8.9，化简得7x＋10y＝5.4.②由①②联立解得x＝0.2，y＝0.4.答案A4．设随机变量X～B(n，p)，且E(X)＝1.6，D(X)＝1.28，则()．A．n＝8，p＝0.2B．n＝4，p＝0.4C．n＝5，p＝0.32D．n＝7，p＝0.45解析∵X～B(n，p)，∴E(X)＝np＝1.6，D(X)＝np(1－p)＝1.28，∴n＝8，p＝0.2.答案A5．(2010·上海)随机变量ξ的概率分布列由下表给出：ξ78910P0.30.350.20.15该随机变量ξ的均值是________．解析由分布列可知E(ξ)＝7×0.3＋8×0.35＋9×0.2＋10×0.15＝8.2.答案8.2考向一离散型随机变量的均值和方差【例1】►A、B两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，A队队员是A1、A2、A3，B队队员是B1、B2、B3，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间的胜负概率如下：对阵队员A队队员胜的概A队队员负的概我爱学习网在线学习网分享学习方法励志人生我爱学习网率率A1和B12313A2和B22535A3和B32535现按表中对阵方式出场胜队得1分，负队得0分，设A队，B队最后所得总分分别为X，Y(1)求X，Y的分布列；(2)求E(X)，E(Y)．[审题视点]首先理解X，Y的取值对应的事件的意义，再求X，Y取每个值的概率，列成分布列的形式，最后根据期望的定义求期望．解(1)X，Y的可能取值分别为3,2,1,0.P(X＝3)＝23×25×25＝875，P(X＝2)＝23×25×35＋13×25×25＋23×35×25＝2875，P(X＝1)＝23×35×35＋13×25×35＋13×35×25＝25，P(X＝0)＝13×35×35＝325；根据题意X＋Y＝3，所以P(Y＝0)＝P(X＝3)＝875，P(Y＝1)＝P(X＝2)＝2875，P(Y＝2)＝P(X＝1)＝25，P(Y＝3)＝P(X＝0)＝325.X的分布列为X0123P325252875875Y的分布列为Y3210我爱学习网在线学习网分享学习方法励志人生我爱学习网(2)E(X)＝3×875＋2×2875＋1×25＋0×325＝2215；因为X＋Y＝3，所以E(Y)＝3－E(X)＝2315.(1)求离散型随机变量的期望关键是写出离散型随机变量的分布列，然后利用公式计算．(2)由X的期望、方差求aX＋b的期望、方差是常考题之一，常根据期望和方差的性质求解．【训练1】(2011·四川)本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多，某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元(不足1小时的部分按1小时计算)．有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游(各租一车一次)．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为14，12；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为12，14；两人租车时间都不会超过四小时．(1)求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率；(2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望E(ξ)．解(1)由题意得，甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为14，14.记甲、乙两人所付的租车费用相同为事件A，则P(A)＝14×12＋12×14＋14×14＝516.所以甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为516.(2)ξ可能取的值有0,2,4,6,8.P(ξ＝0)＝14×12＝18；P(ξ＝2)＝14×14＋12×12＝516；P(ξ＝4)＝12×14＋14×12＋14×14＝516；我爱学习网在线学习网分享学习方法励志人生我爱学习网(ξ＝6)＝12×14＋14×14＝316；P(ξ＝8)＝14×14＝116.甲、乙两人所付的租车费用之和ξ的分布列为ξ02468P18516516316116所以E(ξ)＝0×18＋2×516＋4×516＋6×316＋8×116＝72.考向二均值与方差性质的应用【例2】►设随机变量X具有分布P(X＝k)＝15，k＝1,2,3,4,5，求E(X＋2)2，D(2X－1)，DX－1.[审题视点]利用期望与方差的性质求解．解∵E(X)＝1×15＋2×15＋3×15＋4×15＋5×15＝155＝3.E(X2)＝1×15＋22×15＋32×15＋42×15＋52×15＝11.D(X)＝(1－3)2×15＋(2－3)2×15＋(3－3)2×15＋(4－3)2×15＋(5－3)2×15＝15(4＋1＋0＋1＋4)＝2.∴E(X＋2)2＝E(X2＋4X＋4)＝E(X2)＋4E(X)＋4＝11＋12＋4＝27.D(2X－1)＝4D(X)＝8，DX－1＝DX＝2.若X是随机变量，则η＝f(X)一般仍是随机变量，在求η的期望和方差时，熟练应用期望和方差的性质，可以避免再求η的分布列带来的繁琐运算．【训练2】袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n＝1,2,3,4)．现从袋中任取一球，X表示所取球的标号．(1)求X的分布列、期望和方差；(2)若η＝aX＋b，E(η)＝1，D(η)＝11，试求a，b的值．解(1)X的分布列为X01234我爱学习网在线学习网分享学习方法励志人生我爱学习网∴E(X)＝0×12＋1×120＋2×110＋3×320＋4×15＝1.5.D(X)＝(0－1.5)2×12＋(1－1.5)2×120＋(2－1.5)2×110＋(3－1.5)2×320＋(4－1.5)2×15＝2.75.(2)由D(η)＝a2D(X)，得a2×2.75＝11，即a＝±2.又E(η)＝aE(X)＋b，所以当a＝2时，由1＝2×1.5＋b，得b＝－2.当a＝－2时，由1＝－2×1.5＋b，得b＝4.∴a＝2，b＝－2，或a＝－2，b＝4，即为所求．考向三均值与方差的实际应用【例3】►(2011·福建)某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X依次为1,2，…，8，其中X≥5为标准A，X≥3为标准B.已知甲厂执行标准A生产该产品，产品的零售价为6元/件；乙厂执行标准B生产该产品，产品的零售价为4元/件，假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准．(1)已知甲厂产品的等级系数X1的概率分布列如下所示：X15678P0.4ab0.1且X1的数学期望E(X1)＝6，求a，b的值；(2)为分析乙厂产品的等级系数X2，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：353385563463475348538343447567用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数X2的数学期望．(3)在(1)、(2)的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由．我爱学习网在线学习网分享学习方法励志人生我爱学习网注：(1)产品的“性价比”＝产品的等级系数的数学期望产品的零售价；(2)“性价比”大的产品更具可购买性．[审题视点](1)利用分布列的性质P1＋P2＋P3＋P4＝1及E(X1)＝6求a，b值．(2)先求X2的分布列，再求E(X2)，(3)利用提示信息判断．解(1)因为E(X1)＝6，所以5×0.4＋6a＋7b＋8×0.1＝6，即6a＋7b＝3.2.又由X1的概率分布列得0.4＋a＋b＋0.1＝1，即a＋b＝0.5.由6a＋7b＝3.2，a＋b＝0.5，解得a＝0.3，b＝0.2.(2)由已知得，样本的频率分布表如下：X2345678f0.30.20.20.10.10.1用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，可得等级系数X2的概率分布列如下：X2345678P0.30.20.20.10.10.1所以E(X2)＝3×0.3＋4×0.2＋5×0.2＋6×0.1＋7×0.1＋8×0.1＝4.8.即乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8.(3)乙厂的产品更具可购买性．理由如下：因为甲厂产品的等级系数的数学期望等于6，价格为6元/件，所以其性价比为66＝1.因为乙厂产品