高考一轮复习立体几何中的向量方法(一)

我爱学习网在线学习网分享学习方法励志人生第7讲立体几何中的向量方法(一)【2015年高考会这样考】1．通过线线、线面、面面关系考查空间向量的坐标运算．2．能用向量方法证明直线和平面位置关系的一些定理．3．利用空间向量求空间距离．【复习指导】本讲复习中要掌握空间向量的坐标表示和坐标运算，会找直线的方向向量和平面的法向量，并通过它们研究线面关系，会用向量法求空间距离．基础梳理1．空间向量的坐标表示及运算(1)数量积的坐标运算设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则①a±b＝(a1±b1，a2±b2，a3±b3)；②λa＝(λa1，λa2，λa3)；③a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3.(2)共线与垂直的坐标表示设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)，a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0(a，b均为非零向量)．(3)模、夹角和距离公式设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则|a|＝a·a＝a21＋a22＋a23，cos〈a，b〉＝a·b|a||b|＝a1b1＋a2b2＋a3b3a21＋a22＋a23·b21＋b22＋b23.设A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，则dAB＝|AB→|＝a2－a12＋b2－b12＋c2－c12.2．立体几何中的向量方法(1)直线的方向向量与平面的法向量的确定我爱学习网在线学习网分享学习方法励志人生①直线的方向向量：l是空间一直线，A，B是直线l上任意两点，则称AB→为直线l的方向向量，与AB→平行的任意非零向量也是直线l的方向向量．②平面的法向量可利用方程组求出：设a，b是平面α内两不共线向量，n为平面α的法向量，则求法向量的方程组为n·a＝0，n·b＝0.(2)用向量证明空间中的平行关系①设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1∥l2(或l1与l2重合)⇔v1∥v2.②设直线l的方向向量为v，与平面α共面的两个不共线向量v1和v2，则l∥α或l⊂α⇔存在两个实数x，y，使v＝xv1＋yv2.③设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l∥α或l⊂α⇔v⊥u.④设平面α和β的法向量分别为u1，u2，则α∥β⇔u1∥u2.(3)用向量证明空间中的垂直关系①设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1⊥l2⇔v1⊥v2⇔v1·v2＝0.②设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l⊥α⇔v∥u.③设平面α和β的法向量分别为u1和u2，则α⊥β⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0.(4)点面距的求法如图，设AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，则B到平面α的距离d＝|AB→·n||n|.一种思想向量是既有大小又有方向的量，而用坐标表示向量是对共线向量定理、共面向量定理和空间向量基本定理的进一步深化和规范，是对向量大小和方向的量化：(1)以原点为起点的向量，其终点坐标即向量坐标；(2)向量坐标等于向量的终点坐标减去其起点坐标．得到向量坐标后，可通过向量的坐标运算解决平行、垂直等位置关系，计算空间成角和距离等问题．我爱学习网在线学习网分享学习方法励志人生三种方法主要利用直线的方向向量和平面的法向量解决下列问题：(1)平行直线与直线平行直线与平面平行平面与平面平行(2)垂直直线与直线垂直直线与平面垂直平面与平面垂直(3)点到平面的距离求点到平面距离是向量数量积运算(求投影)的具体应用，也是求异面直线之间距离，直线与平面距离和平面与平面距离的基础．双基自测1．两不重合直线l1和l2的方向向量分别为v1＝(1,0，－1)，v2＝(－2,0,2)，则l1与l2的位置关系是()．A．平行B．相交C．垂直D．不确定解析∵v2＝－2v1，∴v1∥v2.答案A2．已知平面α内有一个点M(1，－1,2)，平面α的一个法向量是n＝(6，－3,6)，则下列点P中在平面α内的是()．A．P(2,3,3)B．P(－2,0,1)C．P(－4,4,0)D．P(3，－3,4)解析∵n＝(6，－3,6)是平面α的法向量，∴n⊥MP→，在选项A中，MP→＝(1,4,1)，∴n·MP→＝0.答案A3．(2011·唐山月考)已知点A，B，C∈平面α，点P∉α，则AP→·AB→＝0，且AP→·AC→＝0是AP→·BC→＝0的()．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件我爱学习网在线学习网分享学习方法励志人生解析由AP→·AB→＝0AP→·AC→＝0，得AP→·(AB→－AC→)＝0，即AP→·CB→＝0，亦即AP→·BC→＝0，反之，若AP→·BC→＝0，则AP→·(AC→－AB→)＝0⇒AP→·AB→＝AP→·AC→，未必等于0.答案A4．(人教A版教材习题改编)已知a＝(－2，－3,1)，b＝(2,0,4)，c＝(－4，－6,2)，则下列结论正确的是()．A．a∥c，b∥cB．a∥b，a⊥cC．a∥c，a⊥bD．以上都不对解析∵c＝(－4，－6,2)＝2(－2，－3,1)＝2a，∴a∥c，又a·b＝－2×2＋(－3)×0＋1×4＝0，∴a⊥b.答案C5．(2012·舟山调研)已知AB→＝(2,2,1)，AC→＝(4,5,3)，则平面ABC的单位法向量是________．解析设平面ABC的法向量n＝(x，y，z)．则AB→·n＝0，AC→·n＝0，即2x＋2y＋z＝0，4x＋5y＋3z＝0.令z＝1，得x＝12，y＝－1，∴n＝12，－1，1，∴平面ABC的单位法向量为±n|n|＝±13，－23，23.答案±13，－23，23我爱学习网在线学习网分享学习方法励志人生考向一利用空间向量证明平行问题【例1】►如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M、N分别是C1C、B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD.[审题视点]直接用线面平行定理不易证明，考虑用向量方法证明．证明法一如图所示，以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则M0，1，12，N12，1，1，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，于是MN→＝12，0，12，设平面A1BD的法向量是n＝(x，y，z)．则n·DA1→＝0，且n·DB→＝0，得x＋z＝0，x＋y＝0.取x＝1，得y＝－1，z＝－1.∴n＝(1，－1，－1)．又MN→·n＝12，0，12·(1，－1，－1)＝0，∴MN→⊥n，又MN⊄平面A1BD，∴MN∥平面A1BD.法二MN→＝C1N→－C1M→＝12C1B1→－12C1C→＝12(D1A1→－D1D→)＝12DA1→，∴MN→∥DA1→，又∵MN与DA1不共线，∴MN∥DA1，又∵MN⊄平面A1BD，A1D⊂平面A1BD，∴MN∥平面A1BD.我爱学习网在线学习网分享学习方法励志人生证明直线与平面平行，只须证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零，或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面，然后说明直线在平面外即可．这样就把几何的证明问题转化为了数量的计算问题．【训练1】如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E、F、G分别是线段PA、PD、CD的中点．求证：PB∥平面EFG.证明∵平面PAD⊥平面ABCD且ABCD为正方形，∴AB、AP、AD两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A­xyz，则A(0,0,0)、B(2,0,0)、C(2,2,0)、D(0,2,0)、P(0,0,2)、E(0,0,1)、F(0,1,1)、G(1,2,0)．∴PB→＝(2,0，－2)，FE→＝(0，－1,0)，FG→＝(1,1，－1)，设PB→＝sFE→＋tFG→，即(2,0，－2)＝s(0，－1,0)＋t(1,1，－1)，∴t＝2，t－s＝0，－t＝－2，解得s＝t＝2.∴PB→＝2FE→＋2FG→，又∵FE→与FG→不共线，∴PB→、FE→与FG→共面．∵PB⊄平面EFG，∴PB∥平面EFG.考向二利用空间向量证明垂直问题【例2】►如图所示，在棱长为1的正方体OABC­O1A1B1C1中，E，F分别是棱AB，BC上的动点，且AE＝BF＝x，其中0≤x≤1，以O为原点建立空间直角坐标系O­xyz.(1)求证A1F⊥C1E；(2)若A1，E，F，C1四点共面求证：A1F→＝12A1C1→＋A1E→.我爱学习网在线学习网分享学习方法励志人生[审题视点]本题已建好空间直角坐标系，故可用向量法求解，要注意找准点的坐标．证明(1)由已知条件A1(1,0,1)，F(1－x,1,0)，C1(0,1,1)，E(1，x,0)，A1F→＝(－x,1，－1)，C1E→＝(1，x－1，－1)，则A1F→·C1E→＝－x＋(x－1)＋1＝0，∴A1F→⊥C1E→，即A1F⊥C1E.(2)A1F→＝(－x,1，－1)，A1C1→＝(－1,1,0)，A1E→＝(0，x，－1)，设A1F→＝λA1C1→＋μA1E→，－x＝－λ，1＝λ＋μx，－1＝－μ，解得λ＝12，μ＝1.∴A1F→＝12A1C1→＋A1E→.证明直线与直线垂直，只需要证明两条直线的方向向量垂直，而直线与平面垂直，平面与平面垂直可转化为直线与直线垂直证明．【训练2】如图所示，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．证明：(1)AE⊥CD；(2)PD⊥平面ABE.证明AB、AD、AP两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，设PA＝AB＝BC＝1，则P(0,0,1)．(1)∵∠ABC＝60°，△ABC为正三角形．我爱学习网在线学习网分享学习方法励志人生∴C12，32，0，E14，34，12.设D(0，y,0)，由AC⊥CD，得AC→·CD→＝0，即y＝233，则D0，233，0，∴CD→＝－12，36，0.又AE→＝14，34，12，∴AE→·CD→＝－12×14＋36×34＝0，∴AE→⊥CD→，即AE⊥CD.(2)法一∵P(0,0,1)，∴PD→＝0，233，－1.又AE→·PD→＝34×233＋12×(－1)＝0，∴PD→⊥AE→，即PD⊥AE.AB→＝(1,0,0)，∴PD→·AB→＝0，∴PD⊥AB，又AB∩AE＝A，∴PD⊥平面AEB.法二AB→＝(1,0,0)，AE→＝14，34，12，设平面ABE的一个法向量为n＝(x，y，z)，则x＝0，14x＋34y＋12z＝0，令y＝2，则z＝－3，∴n＝(0,2，－3)．∵PD→＝0，233，－1，显然PD→＝33n.∵PD→∥n，∴PD→⊥平面ABE，即PD⊥平面ABE.考向三利用向量求空间距离【例3】►在三棱锥SABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA＝SC＝23，M、N分别为AB、SB的中点，如图所示，求点B到平面CMN的距离．[审题视点]考虑用向量法求距离，距离公式不要记错．我爱学习网在线学习网分享学习方法励志人生解取AC的中点O，连接OS、OB.∵SA＝SC，AB＝BC，∴AC⊥SO，AC⊥BO.∵平面SAC⊥平面ABC，平面SAC∩平面ABC＝AC，∴SO⊥平面ABC，∴SO⊥BO.如图所示，建立空间直角坐标系O­xyz，则B(0,23，0)，C(－2,0,0)，S(0,0,22)，M(1，3，0)，N(0，3，2)．∴CM→＝(3，3，0)，MN→＝(－1,0，2)，MB→＝(－1，3，0)．设n＝(x，y，z)为平面CMN的一个法向量，则CM→·n＝3x＋3y＝0，MN→·n＝－x＋2z＝0，取z＝1，则x＝2，y＝－6，∴n