高考三角函数复习讲义

第四章三角函数●网络体系总览定义公式解三角形和、差、倍、半角公式、、、、、、、、图象(四种基本函数及其变形:平移翻转伸缩等)性质(如y=AB,sin++研究定义域值域奇偶性单调性周期性等)单位圆与三角函数线诱导公式(--±∈22+等六种三角函数x角的概念推广()()●考点目标定位1.理解任意角的概念、弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算.2.掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义，并会利用与单位圆有关的三角函数线表示正弦、余弦和正切；了解任意角的余切、正割、余割的定义；掌握同角三角函数的基本关系式；掌握正弦、余弦的诱导公式.3.掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式；掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式；通过公式的推导，了解它们的内在联系，从而培养逻辑推理能力.能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明（包括引出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆）.4.会用正弦线、正切线画出正弦函数、正切函数的图象，并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图象；理解周期函数与最小正周期的意义，并通过它们的图象理解正弦、余弦、正切函数的性质；会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin（ωx+）的简图，理解A、ω、的物理意义.5.了解反正弦、反余弦、反正切的概念，会用反三角表示角.●复习方略指南本部分内容历来为高考命题的热点，其分值约占20%，一般都是三或四个小题，一个大题.小题主要考查三角函数的基本概念、图象、性质及“和、差、倍角”公式的运用.大题则着重考查y=Asin（ωx+）的图象和性质及三角函数式的恒等变形.试题大都来源于课本中的例题、习题的变形，一般为容易题或中档题.因此复习时应“立足于课本，着眼于提高”.本章内容公式多，三角函数作为工具，和其他知识间的联系密切，因此复习中应注意：1.弄清每个公式成立的条件，公式间的内在联系及公式的变形、逆用等.切不可死记硬背，要在灵、活、巧上下功夫.2.本章突出显现以数形结合思想与等价转化思想为主导的倾向.在本章复习中，应深刻理解数与形的内在联系，理解众多三角公式的应用及三角函数式的化简、求值、证明等无一不体现等价转化思想.3.通过图象的变换理解并掌握利用变换研究图象的思想方法，并从中体会“变换美”.4.有关三角函数方面的应用题，大都需要用“辅助角公式”asinx+bcosx=22basin（x+）（其中角所在象限由a、b的符号确定，角的值由tan=ab确定）将函数化成y=Asin（ωx+）+h的形式，再求其最值或周期等.4.1三角函数的概念、同角三角函数的关系、诱导公式●知识梳理1.任意角的三角函数设α是一个任意角，α的终边上任意一点P（x，y）与原点的距离是r（r=22yx＞0），则sinα=ry，cosα=rx，tanα=xy.上述三个比值不随点P在终边上的位置改变而改变.2.同角三角函数关系式sin2α+cos2α=1（平方关系）；cossin=tanα（商数关系）；tanαcotα=1（倒数关系）.3.诱导公式α+2kπ（k∈Z）、－α、π±α、2π－α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号.另外：sin（2π－α）=cosα，cos（2π－α）=sinα.●点击双基1.已知sin2=53，cos2=－54，那么α的终边在A.第一象限B.第三或第四象限C.第三象限D.第四象限解析：sinα=2sin2cos2=－2524＜0，cosα=cos22－sin22=257＞0，∴α终边在第四象限.答案：D2.设cosα=t，则tan（π－α）等于A.tt21B.－tt21C.±tt21D.±21tt解析：tan（π－α）=－tanα=－cossin.∵cosα=t，又∵sinα=±21t，∴tan（π－α）=±tt21.答案：C3.α是第二象限角，P（x，5）为其终边上一点且cosα=42x，则x的值为A.3B.±3C.－3D.－2解析：∵cosα=rx=52xx=42x，∴x=0（舍去）或x=3（舍去）或x=－3.答案：C4.若sinsin1=cossin1，则α的取值范围是_______.解析：∵sinsin1=|cos|sin1=cossin1，∴cosα＞0.∴α∈（2kπ－2π，2kπ+2π）（k∈Z）.答案：α∈（2kπ－2π，2kπ+2π）（k∈Z）5.化简8sin1=_________.解析：8sin1=24cos4sin）（=|sin4－cos4|=sin4－cos4.答案：sin4－cos4●典例剖析【例1】（1）若θ是第二象限的角，则）（）（2sincoscossin的符号是什么?（2）π＜α+β＜3π4，－π＜α－β＜－3π，求2α－β的范围.剖析：（1）确定符号，关键是确定每个因式的符号，而要分析每个因式的符号，则关键看角所在象限.（2）可以把α+β与α－β看成两个变量（整体思想），然后把2α－β用这两个变量表示出来即可.解：（1）∵2kπ+2π＜θ＜2kπ+π（k∈Z），∴－1＜cosθ＜0，4kπ+π＜2θ＜4kπ+2π，－1＜sin2θ＜0.∴sin（cosθ）＜0，cos（sin2θ）＞0.∴）（）（2sincoscossin＜0.（2）设x=α+β，y=α－β，2α－β=mx+ny，则2α－β=mα+mβ+nα－nβ=（m+n）α+（m－n）β.∴.12nmnm，∴m=21，n=23.∴2α－β=21x+23y.∵π＜x＜3π4，－π＜y＜－3π，∴2π＜21x＜3π2，－2π3＜23y＜－2π.∴－π＜21x+23y＜6π.评述：（1）解此题的常见错误是：π＜α+β＜34π，①－π＜α－β＜－3π，②①+②得0＜2α＜π，③由②得3π＜β－α＜π，④①+④得3π4＜2β＜3π7，∴3π2＜β＜6π7.⑤∴－6π7＜－β＜－3π2.⑥③+⑥得－6π7＜2α－β＜3π.（2）本题可用线性规划求解，读者不妨一试.【例2】已知cosα=31，且－2π＜α＜0，求tancosπ2sinπcot）（）（）（的值.剖析：从cosα=31中可推知sinα、cotα的值，再用诱导公式即可求之.解：∵cosα=31，且－2π＜α＜0，∴sinα=－322，cotα=－42.∴原式=tancossincot）（）（=sinsincot=－cotα=42.评述：三角函数式的化简求值是三角函数中的基本问题，也是常考的问题之一.【例3】已知sinβ=31，sin（α+β）=1，求sin（2α+β）的值.剖析：由已知sin（α+β）=1，则α+β=2kπ+2π，再将2α+β改造成2（α+β）－β即可求之.解：∵sin（α+β）=1，∴α+β=2kπ+2π.∴sin（2α+β）=sin［2（α+β）－β］=sinβ=31.评述：整体代入是常用的技巧，这里要分析已知和要求的结论之间的角的关系和三角函数名称之间的关系.●闯关训练夯实基础1.角α的终边过点P（－8m，－6cos60°）且cosα=－54，则m的值是A.21B.－21C.－23D.23解析：P（－8m，－3），cosα=96482mm=－54.∴m=21或m=－21（舍去）.答案：A2.设α、β是第二象限的角，且sinα＜sinβ，则下列不等式能成立的是A.cosα＜cosβB.tanα＜tanβC.cotα＞cotβD.secα＜secβ解析：A与D互斥，B与C等价，则只要判断A与D对错即可.利用单位圆或特殊值法，易知选A.答案：A3.已知tan110°=a，则tan50°=_________.解析：tan50°=tan（110°－60°）=60tan110tan160tan110tan=aa313.答案：aa3134.（2004年北京东城区二模题）已知sinα+cosα=51，那么角α是第_______象限的角.解析：两边平方得1+2sinαcosα=251，∴sinαcosα=－2512＜0.∴α是第二或第四象限角.答案：第二或第四5.若sinα·cosα＜0，sinα·tanα＜0，化简2sin12sin1+2sin12sin1.解：由所给条件知α是第二象限角，则2是第一或第三象限角.原式=2sin12sin12sin12=|2cos|2=.22sec222sec2是第三象限角）（是第一象限角），（6.化简）（）（）（）（πcosπsinπ1cosπ1sinkkkk（k∈Z）.解：当k=2n（n∈Z）时，原式=）（）（）（）（π2cosπ2sinππ2cosππ2sinnnnn=cossincossin）（=－1.当k=2n+1（n∈Z）时，原式=）（）（）（）（ππ2cosππ2sinπ22cosπ22sinnnnn=）（cossincossin=－1.综上结论，原式=－1.培养能力7.（2005年北京东城区模拟题）已知tan（4π+α）=2，求：（1）tanα的值；（2）sin2α+sin2α+cos2α的值.（1）解：tan（4π+α）=tantan1=2，∴tanα=31.（2）解法一：sin2α+sin2α+cos2α=sin2α+sin2α+cos2α－sin2α=2sinαcosα+cos2α=2coscossin2=222cossincoscossin2=2tantan2=23.解法二：sin2α+sin2α+cos2α=sin2α+sin2α+cos2α－sin2α=2sinαcosα+cos2α.①∵tanα=31，∴α为第一象限或第三象限角.当α为第一象限角时，sinα=101，cosα=103，代入①得2sinαcosα+cos2α=23；当α为第三象限角时，sinα=－101，cosα=－103，代入①得2sinαcosα+cos2α=23.综上所述sin2α+sin2α+cos2α=23.8.已知sinθ=aa11，cosθ=aa113，若θ是第二象限角，求实数a的值.解：依题意得.11131101131111022）（）（，，aaaaaaaa解得a=91或a=1（舍去）.故实数a=91.9.设α∈（0，2π），试证明：sinα＜α＜tanα.证明：如下图，在平面直角坐标系中作单位圆，设角α以x轴正半轴为始边，终边与单位圆交于P点.xyPOMTA∵S△OPA＜S扇形OPA＜S△OAT，∴21|MP|＜21α＜21|AT|.∴sinα＜α＜tanα.探究创新10.是否存在α、β，α∈（－2π，2π），β∈（0，π）使等式sin（3π－α）=2cos（2π－β），3cos（－α）=－2cos（π+β）同时成立?若存在，求出α、β的值；若不存在，请说明理由.解：由条件得②①，cos2cos3sin2sin①2+②2得sin2α+3cos2α=2，∴cos2α=21.∵α∈（－2π，2π），∴α=4π或α=－4π.将α=4π代入②得cosβ=23.又β∈（0，π），∴β=6π，代入①可知，符合.将α=－4π代入②得β=6π，代入①可知，不符合.综上可知α=4π，β=6π.●思悟小结1.要熟悉任意角的概念、弧度制与角度制的互化、弧度制下的有关公式、任意角的三角函数概念.2.在已知一个角的三角函数值，求这个角的其他三角函数值时，要注意题设中角的范围，并就不同的象限分别求出相应的值.3.注意公式的变形使用，弦切互化、三角代换、消元是三角变换的重要方法，要尽量减少开方运算，慎重确定符号.4.注意“1”的灵活代换，