高三第一轮复习导学案3.4定积分与微积分基本定理教师版

2013级人教版数学一轮复习编号：编制时间：2015.4.10编制人：王文东1第第三章导数及其应用3.4定积分与微积分基本定理（仅限理科）【考纲要求】1.了解定积分的实际背景,了解定积分的基本思想,了解定积分的概念.2.了解微积分基本定理的含义.【考点预测】高考中对定积分的考查频率不是很高,主要是考查定积分的概念和几何性质,以及使用微积分基本定理计算定积分、使用定积分求曲边图形面积,并能解决一些简单的物理问题等.【使用说明与学法指导】1.复习教材选修2-2p34——p37，理解和掌握定义，并完成《优化设计》p47知识梳理部分，夯实基础。2.对探究部分认真审题并完成；3.找出自己的疑惑和需要讨论的问题准备课上讨论质疑。【双基自测】1.根据定积分的定义，dxx202=()A.nnini1121B.nninin1121limC.nnini2221D.nninin2221lim解析：由求定积分的四个步骤：分割，近似代替，求和，取极限.可知选项为D2.dxx10211()A.1B.4C.2D.解析：函数211xy的图像是圆心为0,1，半径为1的圆的上半部分.由定积分的几何意义知道，所求定积分为圆面积的41，也即是4，故选B.3．下列命题：①已知()fx在[]ab，上连续，且()0bafxdx，则()0fx；②应用微积分基本定理有211(2)(1)dxFFx，则()ln()Fxx；③ππ22π02cos2cosxdxxdx；④2π0sin4xdx．其中正确的是（）Ａ．①②③④Ｂ．③④Ｃ．②③④Ｄ．②③答案：Ｂ4．π20sin2xdx．班级：小组：姓名：教师评价：组内评价：2答案：π25列车以72km/h的速度行驶，当制动时列车获得加速度20.4m/sa，问列车应在进站前多长时间，以及离车站多远处开始制动？思路分析：因列车停在车站时，速度为０，故应先求速度的表达式，之后令0v，求出t，再据v和t应用定积分计算出路程.解：已知列车的速度072km/h20m/sv，列车制动时获得的加速度20.4m/sa．设列车由开始制动到经过t秒后的速度为v，则000200.4200.4ttvvadtdtt．令0v得50t（s）．设列车由开始制动到停止时所走过的路程为S，则有505000(200.4)500Svdttdt（m）．∴列车应在到站前50s，离车站500m处开始制动．评注：本题考查的是定积分在变速直线运动中的应用，两次使用定积分物理意义不同，应细心体会.【探究案】探究点一用定积分的定义计算定积分例1.求定积分103xdx的值.解析：（1）分割：把区间[0，1]等分成n个小区间[nini,1]（i=1，2，…，n）.其长度为△x=n1，把曲边梯形分成n个小曲边梯形，其面积记为△Si（i=1，2，…，n）.（2）近似代替：用小矩形面积近似代替小曲边梯形的面积，△Si=f（ni1）△x=3)1(312innini，（i=1，2，…，n）.（3）求和：nnnninSninii123)]1(21[3)1(32121.班级：小组：姓名：教师评价：组内评价：3（4）取极限：S=23123lim)1(3lim12nninnnin.∴103xdx23.点评：本题如果用微积分基本定理或定积分的几何意义来求，更为简单，在此仅仅为了说明用定积分的定义可以计算定积分.通常在用微积分基本定理或定积分的几何意义计算定积分比较困难时，再用定积分的定义计算定积分。探究点二用微积分基本定理计算定积分例2.求定积分21221dxxx的值.解析：21221dxxx=)2ln3(ln21]12)2ln(12[ln21)211(2121xxdxxx.点评：本题由21221dxxx想到被积函数的原函数可能是自然对数的形式，只是需要把xx212拆成x1与21x的差.运用微积分基本定理计算定积分的关键是找到被积函数的原函数。探究点三用定积分的几何意义计算定积分例3.求定积分102))1(1(dxxx的值.解析：102))1(1(dxxx表示圆(x-1)2+y2=1（y≥0）的一部分与直线y=x所围成的图形（如图所示）的面积，因此102))1(1(dxxx=2141121412.点评：本题如果用定积分的定义或微积分基本定理求解都比较麻烦，由102))1(1(dxxx联想到圆(x-1)2+y2=1（y≥0）的一部分与直线y=x，再联想到定积分的几何意义，从而简化了运算.这也是数学结合思想的又一体现。运用定积分的几何意义计算定积分，需要具备较强的观察能力、分析能力和逻辑推理能力。定积分的计算，在实际解题中，应因题而异，择优用之，灵活解题，才能快速而准确地解决问题。探据点四定积分的应用定积分的应用是学习的重点.为更好掌握它，现就其在两方面的应用进行例析.（一）求解复杂图形问题对于复杂平面图形往往要分成若干个简单图形，然后分别求出它们的面积，再求和.这样要计算若干曲线的交点坐标，还要注意图形的特点，如对称性等.例4求曲线3yx＝与直线2yx所围成的图形的面积．解：如图，先求出直线与曲线的交点，由方程组32yxyx，，解得02xx，．Oyx1班级：小组：姓名：教师评价：组内评价：4故交点坐标为(222)(00)(222)，，，，，．因此，积分区间应分为两部分[20][02]，，，，且由图象的对称性知，图形在两个积分区间上面积相等．故023320(2)(2)Sxxdxxxdx23224200012(2)222xxdxxx||．评注：本解法充分利用图形的对称性，减少了运算量.（二）、求解有关变速直线运动及变力做功等的问题例5列车以72km/h的速度行驶，当制动时列车获得加速度20.4m/sa，问列车应在进站前多长时间，以及离车站多远处开始制动？思路分析：因列车停在车站时，速度为０，故应先求速度的表达式，之后令0v，求出t，再据v和t应用定积分计算出路程.解：已知列车的速度072km/h20m/sv，列车制动时获得的加速度20.4m/sa．设列车由开始制动到经过t秒后的速度为v，则000200.4200.4ttvvadtdtt．令0v得50t（s）．设列车由开始制动到停止时所走过的路程为S，则有505000(200.4)500Svdttdt（m）．∴列车应在到站前50s，离车站500m处开始制动．评注：本题考查的是定积分在变速直线运动中的应用，两次使用定积分物理意义不同，应细心体会.班级：小组：姓名：教师评价：组内评价：5【训练案】一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）．1．将和式的极限)0(.......321lim1pnnPppppn表示成定积分（）A．dxx101B．dxxp10C．dxxp10)1(D．dxnxp10)(2．下列等于1的积分是（）A．dxx10B．dxx10)1(C．dx101D．dx10213．dxx|4|102=（）A．321B．322C．323D．3255．曲线]23,0[,cosxxy与坐标周围成的面积（）A．4B．2C．25D．37．求由1,2,yxeyx围成的曲边梯形的面积时，若选择ｘ为积分变量，则积分区间为（）A．［0，2e］B．［0，2］C．［1，2］D．［0，1］8．由直线1,xyxy，及ｘ轴围成平面图形的面积为（）A．dyyy101B．dxxx2101C．dyyy2101D．dxxx10110．将边长为1米的正方形薄片垂直放于比彼一时为的液体中，使其上距液面距离为2米，则该正方形薄片所受液压力为（）A．32dxxB．212dxxC．10dxxD．321dxx二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题6分，共24分）．11．将和式)21.........2111(limnnnn表示为定积分．13．由xycos及x轴围成的介于0与2π之间的平面图形的面积，利用定积分应表达为．14．按万有引力定律，两质点间的吸引力221rmmkF，ｋ为常数，21,mm为两质点的质量，ｒ为两点间距离，若两质点起始距离为ａ，质点1m沿直线移动至离2m的距离为ｂ处，试求所作之功（ｂ＞a）．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共76分)．15．（12分）计算下列定积分的值（1）312)4(dxxx；（2）215)1(dxx；班级：小组：姓名：教师评价：组内评价：6（3）dxxx20)sin(；（4）dxx222cos；16．（12分）求曲线xxxy223与x轴所围成的图形的面积．17．（12分）求由抛物线axy42与过焦点的弦所围成的图形面积的最小值.18．（12分）一物体按规律x＝bt3作直线运动，式中x为时间t内通过的距离，媒质的阻力正比于速度的平方．试求物体由x＝0运动到x＝a时，阻力所作的功．19．（14分）设y=f（x）是二次函数,方程f（x）=0有两个相等的实根，且f′（x）=2x+2.（1）求y=f（x）的表达式；（2）求y=f（x）的图象与两坐标轴所围成图形的面积.（2）若直线x=－t（0＜t＜1＝把y=f（x）的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求t的值.20．（14分）抛物线y=ax2＋bx在第一象限内与直线x＋y=4相切．此抛物线与x轴所围成的图形的面积记为S．求使S达到最大值的a、b值，并求Smax．C一、1．B；2．C；3．C；4．C；5．D；6．D；7．B；8．C；9．A；10．A；二、11．dxx1011；12．dxx102)1(；13．dxx20|cos|；14．)11(21bamkm；三、15．（1）（2）（3）（4）班级：小组：姓名：教师评价：组内评价：7OxyFABCDEG图16．解：首先求出函数xxxy223的零点：11x，02x，23x.又易判断出在)0,1(内，图形在x轴下方，在)2,0(内，图形在x轴上方，所以所求面积为dxxxxA0123)2(dxxxx2023)2(123717．解：焦点坐标为)0,(aF，设弦AB、CD过焦点F，且OFAB．由图得知：FBDFBEAGFACFSSSS，故AFBDOAACFDOASS．所求面积为：22023842adyayaAa．18．解：物体的速度233)(btbtdtdxV．媒质阻力422229)3(tkbbtkkvFzu，其中k为比例常数，k0．当x=0时，t=0；当x=a时，311)(batt，又ds=vdt，故阻力所作的功为3277130320302727727)3(111baktkbdtbtkdtvkdtvkvdsFWtttzuzu19．解：（1）设f（x）=ax2+bx+c，则f′（x）=2ax+b，又已知f′（x）=2x+2∴a=1，b=2.∴f（x）=x2+2x+c又方程f（x）=0有两个相等实根，∴判别式Δ=4－4c=0，即c=1.故f（x）=x2+2x+1.（2）依题意，有所求面积=31|)31()12(0123201xxxdxxx.（3）依题意，有xxxxxxttd)12(d)12(2021，∴023123|)31(|)31(ttxxxxxx，－31t3+t