高三第一轮复习数学---二次函数

人教版高三第一轮复习数学教案孟繁露第1页共6页高三第一轮复习数学---二次函数（1）一、教学目标：掌握二次函数的概念、图象及性质；能利用二次函数研究一元二次方程的实根分布条件；能求二次函数的区间最值．二、教学重点：1．二次函数的图象与性质、二次函数、二次方程与二次不等式的关系是重点，2．二次函数最值问题、一元二次方程根的分布及二次函数的图象性质灵活应用是难点。三、教学过程：（一）主要知识：一）正比例函数，一次函数，反比例函数1.正比例函数)0(kkxy2.一次函数)0(kbkxy其图象为一直线，0k时增函数，0k时减函数。而0k时为常数函数。3.反比例函数)0(kxky定义域),0()0,(，值域),0()0,(，图象是双曲线，0k时在),0()0,(和上递减，0k时在),0()0,(和递增。二）二次函数1．二次函数的解析式的三种形式(1)一般式：f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，其中a是开口方向与大小，c是Y轴上的截距，而ab2是对称轴。(2)顶点式（配方式）：f(x)=a(x-h)2+k其中(h,k)是抛物线的顶点坐标。(3)两根式（因式分解）：f(x)=a(x-x1)(x-x2),其中x1,x2是抛物线与x轴两交点的坐标。求一个二次函数的解析式需三个独立条件，如：已知抛物线过三点，已知对称轴和两点，已知顶点和对称轴。又如，已知f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，方程f(x)-x=0的两根为21,xx，则可设f(x)-x=,21xxxxaxxf或xxxxxaxf21。2．二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的图象是一条抛物线，对称轴abx2，顶点坐标)44,2(2abacab（1）a0时，抛物线开口向上，函数在]2,(ab上单调递减，在),2[ab上单调递增，abx2时，abacxf44)(2min（2）a0时，抛物线开口向下，函数在]2,(ab上单调递增，在),2[ab上单调递减，人教版高三第一轮复习数学教案孟繁露第2页共6页abx2时，abacxf44)(2max3．二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)当042acb时图象与x轴有两个交点M1(x1,0),M2(x2,0)axxxxxxMM2122121214)(4．二次函数与一元二次方程关系方程)0(02acbxax的根为二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)0y的x的取值。二次函数与一元二次不等式的关系一元二次不等式)0(02cbxax的解集为二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0))0(0y的x的取值范围。二次函数△情况一元二次方程一元二次不等式解集Y=ax2+bx+c(a0)△=b2-4acax2+bx+c=0(a0)ax2+bx+c0(a0)ax2+bx+c0(a0)图象与解△0abxabx222121xxxxx或21xxxx△=0abxx2210xxx△0方程无解R（二）主要方法：1．讨论二次函数的区间最值问题：①注意对称轴与区间的相对位置；②函数在此区间上的单调性；2．讨论二次函数的区间根的分布情况一般需从三方面考虑：①判别式；②区间端点的函数值的符号；③对称轴与区间的相对位置．（三）例题分析：1.正比例函数，一次函数，反比例函数例1作函数123xxy的图象，并指出函数的定义域、值域，单调区间，对称轴、对称中人教版高三第一轮复习数学教案孟繁露第3页共6页心及顶点坐标。分析：先通过图象变换法则作出函数的图象，由图象推断各性质。解：112112xyxy，所以其图象为双曲线从而，定义域),1()1,(、值域),2()2,(，在),1).(1,(上递减，对称轴3,1xyxy、对称中心（1，-2），顶点坐标12123xyxxy（0，-3）和（2，-1）。而且渐近线2,1yx点评；从新的、深化的角度理解反比例函数。例2.若函数1log6log1323axaxaxfy在1,0a上恒为正值，求实数x的取值范围。解析：若把此函数视为关于x3log的二次函数，则问题变得较为复杂，而若把此函数视作关于a的函数，则为一次函数xaxxagy23323log11log6log，可使之简单化。解：原函数化为：xaxxagy23323log11log6log为关于a的一次函数，所以，只需02log60log1010033xxgg33333131log1log1xxx。点评：1.充分利用一次函数的恒单调性。2.学会换个角度看问题。2求二次函数的解析式例3已知二次函数f(x)满足f(2)=-1，xfxf1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数。思维分析：恰当选择二次函数的解析式，且xfxf1得xf的对称轴为21x，故或f(-1)=-1，故有：解：法一：利用一般式1-2oxyy=-2x=1（1，-2）人教版高三第一轮复习数学教案孟繁露第4页共6页设f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，由题意得：84411242abaccbacba或8442121242abacabcba解得：744cba∴f(x)=-4x2+4x+7法二：利用顶点式∵对称轴21x又最大值是8∴可设)0(8)21()(2axaxf，由f(2)=-1可得a=-47448)21(4)(22xxxxf法三：由已知f(x)+1=0的两根为x1=2,x2=-1，故可设f(x)+1=a(x-2)(x+1)即f(x)=ax2-ax-2a-1,又84)12(482maxaaaay即得a=-4或a=0(舍)∴f(x)=-4x2+4x+7练习（变式1）已知二次函数f(x)=ax2+bx+c满足下列条件：(1)图象过原点(2)f(-x+2002)=f(x-2000)(3)方程f(x)=x有重根。解：由(1)得：c=0,由(2)对称轴1220002002xxx可确定12ab，由(3)f(x)=x即ax2+（b-1）x+c=0有重根.2110)1(:))1(0(02abbc从而得由xxxf221)(例4.97高考题(24)(本小题满分12分)设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a0),方程f(x)-x=0的两个根21,xx满足(Ⅰ)当x∈(0,1x)时,证明xf(x)1x;.本小题主要考查一元二次方程、二次函数和不等式的基础知识,考查综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力.满分证明:(Ⅰ)令F(x)=f(x)-x.因为21,xx是方程f(x)-x=0的根,所以F(x)=a(x-1x)(x-2x).当x∈(0,1x)时,由于1x2x,得(x-1x)(x-2x0,又a0,得人教版高三第一轮复习数学教案孟繁露第5页共6页F(x)=a(x-1x)(x-2x)0，即xf(x).x1-f(x)=x1-a(x-x1)(x-x2)-x=(x1-x)(1+a(x-x2))所以1x-x0,1+a(x-2x)=1+ax-a2x1-a2x0得1x-f(x)0.由此得f(x)1x.(Ⅱ)依题意知因为x1,x2是方程f(x)-x=0的根,即21,xx是方程a2x+(b-1)x+c=0的根..因为a2x1,所以.（四）巩固练习：1．函数2([0,))yxbxcx是单调函数的充要条件是（A）()A0b()B0b()C0b()D0b分析：对称轴2bx，∵函数2([0,)yxbxcx是单调函数，∴对称轴2bx在区间[0,)的左边，即02b，得0b．2．已知二次函数的对称轴为2x，截x轴上的弦长为4，且过点(0,1)，求函数的解析式．解：∵二次函数的对称轴为2x，设所求函数为2()(2)fxaxb，又∵()fx截x轴上的弦长为4，∴()fx过点(22,0)，()fx又过点(0,1)，∴4021abab，122ab，∴21()(2)22fxx．3．已知函数21sinsin42ayxax的最大值为2，求a的值．人教版高三第一轮复习数学教案孟繁露第6页共6页分析：令sintx，问题就转二次函数的区间最值问题．解：令sintx，[1,1]t，∴221()(2)24aytaa，对称轴为2at，（1）当112a，即22a时，2max1(2)24yaa，得2a或3a（舍去）．（2）当12a，即2a时，函数221()(2)24aytaa在[1,1]单调递增，由max111242yaa，得103a．（3）当12a，即2a时，函数221()(2)24aytaa在[1,1]单调递减，由max111242yaa，得2a（舍去）．综上可得：a的值为2a或103a．四、小结：1二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的图象形状、对称轴、开口方向等是处理二次函数问题的重要依据。2．二次函数在闭区间上，必有最大值和最小值，当含有参数时，须对参数分区间讨论。3．二次方程根的分布问题，可借助二次函数图象列不等式组求解。4．三个二次问题（二次函数、二次方程、二次不等式）是中学数学中基础问题，以函数为核心，三者密切相连。五、作业：