高三第一轮复习数学

2.3基本不等式随堂演练巩固1.已知2x+3y=6,且x、yR那么xy的最大值为.【答案】32【解析】∵623223xyxy∴96xy即32xy.当且仅当2x=3y即312xy时取等号.2.已知a,b,c都是正数,且a+2b+c=1,则111abc的最小值是.【答案】642【解析】111abc111()(2)abcabc224()()()642bacacbabacbc.3.设xyR,a1,b1,若323xyabab则11xy的最大值为.【答案】1【解析】∵3xyab∴x=log3aylog3b.∴11xylog3()ablog23()12ab.4.函数422331xxyx的最小值是.【答案】3【解析】令21tx则1t且21xt∴2(1)3(1)3ttyt2111ttttt.∵1t∴1122tttt.当且仅当1tt即t=1时等号成立.∴当t=1时12tt.故当x=0时,函数y的最小值为3.课后作业夯基1.如果lgm+lgn=0,那么m+n的最小值是.【答案】2【解析】∵lgm+lgn=0,∴lg(mn)=0.∴mn=1.又∵22mnmn∴m+n的最小值为2.2.已知xyzR23xyz0,则2yxz的最小值为.【答案】3【解析】由x-2y+3z=0得1(3)2yxz∴2222(3)9644yxzxzxzxzxzxz.∵x0,z0,∴222229696344xzxzxzxzxzxz即23yxz当且仅当229xz即x=3z时等号成立.3.已知a1,0b1,则logablogba的最大值为.【答案】-2【解析】因为log0ab所以-log0ab.所以-log112(log)2loglogaaaabbbb.所以log12logaabb即logablog2ba当且仅当log1logaabb即ab=1时取等号.4.设a,b0且a+b=1,则1111ab的最小值是.【答案】4【解析】∵a,b0,a+b=1,∴111112211abbaabab又a,b0且a+b=1,故12abab即12ab.所以1111ab的最小值为4.5.已知2211(2)()(0)22xmaanxa则m,n之间的大小关系是.【答案】mn【解析】m=11(2)22(2)2422aaaa当且仅当122aa即a=3时等号成立,所以4m.又由x0,得22211()()422xn所以mn.6.设a0,b0.若3是3a与3b的等比中项,则11ab的最小值为.【答案】4【解析】3是3a与3b的等比中项33333ababa+b=1,∵a0,b0,∴11224ababab.∴1111414abababab.7.已知函数1(01)xyaaa的图象恒过定点A,若点A在直线mx+ny-1=0(mn0)上,则11mn的最小值为.【答案】4【解析】由题意,得A(1,1),从而m+n=1,所以11(mnm+n11)()2224nmnmmnmnmn当且仅当12mn时等号成立.8.若直角三角形的周长为21则它的最大面积为.【答案】14【解析】设两条直角边长为a,b,则斜边长为22ab依题设2221abab.因为2abab且222abab所以2222abababab(22)ab即(22)21ab于是22ab即222S所以14S当且仅当a=b时,等号成立,故max14S.9.若对任意2031xxaxx恒成立,则a的取值范围是.【答案】1[)5【解析】因为x0,所以12(xx当且仅当x=1时取等号),所以有21111235313xxxxx即231xxx的最大值为15故15a.10.已知a0,b0,c0,且a(a+b+c)423bc求2a+b+c的最小值.【解】因为2222(2)4442abcabcabacbc24a22()442bcabacbc22424424()abcabacbcaabbcca=4[a(a+b+c)+bc]4(423)2[2(31)]所以22(31)abc当且仅当b=c且31ab时等号成立.故min(2)232abc.11.记F(x,y)=x(22)yaxxyxyR.若对任意的xyR恒有()0Fxy请求出实数a的取值范围.【解】若()0Fxy对任意的xyR恒成立,则x+y(22)axxy对任意的xyR恒成立.∵x0,y0,∴22xyaxxy且对xyR恒成立.∴a的最大值为min()22xyxxy.∵222xyxy∴1(2)222xyxyxxyxxy当且仅当x=2y0时,等号成立,即a的最大值为12故实数a的取值范围是1(]2.12.如图1,OA,OB是某地一个湖泊的两条垂直的湖堤,线段CD和曲线EF分别是湖泊中的一条栈桥和防波堤.为观光旅游需要,拟过栈桥CD上某点M分别修建与OA,OB平行的栈桥MG,MK,且以MG,MK为边建一个跨越水面的三角形观光平台MGK.建立如图2所示的直角坐标系,测得CD的方程是x+2y=20(020)xEF的方程是xy=200(x0),设点M的坐标为(s,t).(题中所涉及长度单位均为米,栈桥及防波堤都不计宽度)(1)求三角形观光平台MGK面积的最小值;(2)若要使△MGK的面积不小于320平方米,求t的范围.【解】(1)由题意,得200200()()(0KsGtsstt0),又因为M(s,t)在线段CD:220(020)xyx上,所以s+2t=20(0s20),20020011()()22MGKSMGMKstts1(2st40000400)st.由20222stst得050st当且仅当s=10,t=5时等号成立.令st=u,则400001()(400)2MGKfuSuuu(0,50].又f′2400001()(1)02uu故f(u)在(0,50]上单调递减,所以min()(50)225fuf此时s=10,t=5.所以△MGK面积的最小值为225平方米.(2)由题意得()320fu当400001(400)3202uu解得u=40或u=1000(舍去),由(1)知40st即(202)40tt解之得5555tt.所以t的范围是(055][5510).