高考专题训练

1高考专题训练(二十三)数形结合思想数形结合思想的实质就是把抽象的数学语言、数量关系和直观的图形结合起来，它在解选择题和填空题的时候非常有用，在解答高考大题的时候也可以帮助打开思路．数形结合作为一种重要的数学思想方法，历年来一直是高考考查的重点之一，纵观近两年的高考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果．从目前高考“注重通法，淡化技巧”的命题原则来看，应重点关注解析几何中图象的几何意义以及函数图象的充分利用．要点串讲数形结合思想包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一种是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；另一种是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质．在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点1.要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；2．恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做2好数形转化；3．正确确定参数的取值范围．数形结合思想在高考中占有非常重要的地位．近几年的高考题中的解析几何问题、函数与不等式问题、参数范围问题、集合问题、立体几何问题等都用到了数形结合的思想方法．数形结合思想不仅是我们解题的一种思想方法，还是我们进一步学习、研究数学的有力武器．应用数形结合思想方法解题，通常可以从以下几个方面入手：1.函数式与函数图象．2.不等式与函数图象．3.圆与方程．4.参数本身的几何意义．5.代数式的结构特点．6.概念自身的几何意义．7.可行域与目标函数的最值.8.利用向量的两重性.高频考点一、选择题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项填在括号里．1．已知直线l1：4x－3y＋6＝0和l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是()A．2B．3C.115D.3716解析3设P到l1的距离为d1，P到l2的距离为d2，由抛物线的定义知d2＝|PF|，F(1,0)为抛物线焦点，所以d1＋d2＝d1＋|PF|.过F作FH⊥l1于H，设F到l1的距离为d3，则d1＋|PF|≥d3.当且仅当H，P，F三点共线时，d1＋d2最小，由点到直线距离公式易得d3＝105＝2.答案A2．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率的取值范围是()A．(1,2]B．(1,2)C．[2，＋∞)D．(2，＋∞)解析4如图所示，根据直线与渐近线斜率的大小关系：ba＝c2－a2a＝e2－1≥3，从而e≥2.答案C3．已知OB→＝(2,0)，OC→＝(2,2)，CA→＝(2cosα，2sinα)，则向量OA→与OB→的夹角的取值范围为()A.0，π4B.π4，512πC.512π，π2D.π12，512π解析如图，在以O为原点的平面直角坐标系中，B(2,0)，C(2,2)，A点轨迹是以2为半径的圆C，OD，OE为⊙C的切线，易得∠COB5＝π4，∠COD＝∠COE＝π6，当A点位于D点时，OA→与OB→的夹角最小为π12，当A点位于E点时，OA→与OB→的夹角最大为512π，即夹角的取值范围为[π12，512π]．答案D4．函数y＝3cos2x＋π3－π6≤x≤π3与y＝3cos2x－73π76π≤x≤53π的图象和两直线y＝±3所围成的封闭区域的面积为()A．8πB．6πC．4πD．以上都不对解析∵函数y＝3cos(2x－73π)＝3cos2x－43π＋π3.∴y＝3cos(2x－73π)的图象是将函数y＝3cos2x＋π3的图象向右平移43π个单位得到的．由画图可知，所围成的区域的面积为43π×6＝8π.答案A5．设定义域为R的函数f(x)＝1|x－2|x≠2，1x＝2.若关于x的方程f2(x)＋af(x)＋b＝0有3个不同的实数解x1，x2，x3，且x1x2x3，则下列说法中错误的是()6A．x21＋x22＋x23＝14B．1＋a＋b＝0C．x1＋x3＝4D．x1＋x32x2解析作出f(x)的图象，图象关于x＝2对称，且x＝2时，f(x)＝1，故f(x)＝1有3个不同实数根x，除此之外，只有两个根或无根．又f2(x)＋af(x)＋b＝0有3个不同的实数解x1x2x3，x2＝2，而x1＋x3＝2x2＝4.又f(x)＝1，1|x－2|＝1，x1＝1，x3＝3，故A，B，C正确．答案D6．若函数f(x)＝logax－x＋a(a0且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围为()A．0a1B．a1C．a0且a≠1D．1a2解析设函数y＝logax(a0，且a≠1)和函数y＝x－a，则函数f(x)＝logax－x＋a有两个零点，就是函数y＝logax(a0，且a≠1)与函数y＝x－a有两个交点，由图象可知当0a1时，两函数只有一个交点，不符合；当a1时，函数y＝logax图象过点(1,0)，而直线y＝x－a与x轴交点(a,0)在点(1,0)右侧，所以一定有两个交点，故a1.答案B二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．7．设有一组圆Ck：(x－k＋1)2＋(y－3k)2＝2k4(k∈N*)．下列四个命题：A．存在一条定直线与所有的圆均相切B．存在一条定直线与所有的圆均相交C．存在一条定直线与所有的圆均不相交D．所有的圆不经过原点7其中真命题的代号是________．(写出所有真命题的代号)解析假设圆经过原点，则有(0－k＋1)2＋(0－3k)2＝2k4，即2k4－10k2＝－2k＋1，而上式左边为偶数，右边为奇数，故矛盾，所以D正确．而所有圆的圆心轨迹为x＝k－1，y＝3k，即y＝3x＋3.此直线与所有圆都相交，故B正确．由于圆的半径在变化，故A，C不正确．答案BD8．当0≤x≤1时，不等式sinπ2x≥kx，则实数k的取值范围是________．解析在同一坐标系下，作出y1＝sinπ2x与y2＝kx的图象，要使不等式sinπ2x≥kπ成立，由图可知需k≤1.答案k≤19．函数f(x)＝13x3＋ax2－bx在[－1,2]上是单调减函数，则a＋b的最小值为________．解析∵y＝f(x)在区间[－1,2]上是单调减函数，8∴f′(x)＝x2＋2ax－b≤0在区间[－1,2]上恒成立．结合二次函数的图象可知f′(－1)≤0且f′(2)≤0，即1－2a－b≤0，4＋4a－b≤0也即2a＋b－1≥0，4a－b＋4≤0.作出不等式组表示的平面区域如图：当直线z＝a＋b经过交点P－12，2时，z＝a＋b取得最小值，且zmin＝－12＋2＝32.∴z＝a＋b取得最小值32.答案32点评由f′(x)≤0在[－1,2]上恒成立，结合二次函数图象转化为关于a，b的二元一次不等式组，再借助线性规划问题，采用图解法求a＋b的最小值．10．用计算机产生随机二元数组成区域－1x1，－2y2.对每个二元数组(x，y)，用计算机计算x2＋y2的值，记“(x，y)”满足x2＋y21为事件A，则事件A发生的概率为________．解析9本题为几何概型问题，应转化为图形的面积比求解．如图，画出不等式组－1x1，－2y2及(x，y)满足x2＋y21的平面区域．∴P(A)＝π8.答案π8三、解答题：本大题共2小题，共25分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．11．(12分)若关于x的方程x2＋2kx＋3k＝0的两根都在－1和3之间，求k的取值范围．解10令f(x)＝x2＋2kx＋3k，其图象与x轴交点的横坐标就是方程f(x)＝0的解，由y＝f(x)的图象(如图)可知，要使两根都在－1,3之间，只需f(－1)0，f(3)0，f－b2a＝f(－k)0，－1－k3同时成立，解得－1k0，故k∈(－1,0)．12．(13分)设椭圆x2a2＋y2b2＝1，(ab0)的左右焦点分别为F1、F2，离心率e＝22，右准线为l，M、N是l上的两个动点，F1M→·F2N→＝0.(1)若|F1M→|＝|F2N→|＝25，求a、b的值；(2)求证：当|MN|取最小值时，F1M→＋F2N→与F1F2→共线．解由a2－b2＝c2与e＝ca＝22，得a2＝2b2.F1(－22a,0)，F222a，0，l的方程为x＝2a.设M(2a，y1)，N(2a，y2)，则F1M→＝322a，y1，F2N→＝22a，y2.11由F1M→·F2N→＝0得y1y2＝－32a20.①(1)由|F1M→|＝|F2N→|＝25，得322a2＋y21＝25.②22a2＋y22＝25.③由①②③三式，消去y1，y2，并求得a2＝4故a＝2，b＝22＝2.(2)证明：|MN|2＝(y1－y2)2＝y21＋y22－2y1y2≥－2y1y2－2y1y2＝－4y1y2＝6a2.当且仅当y1＝－y2＝62a或y2＝－y1＝62a时，|MN|取最小值6a.此时，F1M→＋F2N→＝322a，y1＋22a，y2＝(22a，y1＋y2)＝(22a,0)＝2F1F2→.故F1M→＋F2N→与F1F2→共线．