高考专题训练15椭圆双曲线抛物线(含解析)

高考专题训练(十五)椭圆、双曲线、抛物线A级——基础巩固组一、选择题1．以双曲线x23－y2＝1的左焦点为焦点，顶点在原点的抛物线方程是()A．y2＝4xB．y2＝－4xC．y2＝－42xD．y2＝－8x解析由题意知：抛物线的焦点为(－2,0)．又顶点在原点，所以抛物线方程为y2＝－8x.答案D2．已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F(3,0)，离心率等于32，则C的方程是()A.x24－y25＝1B.x24－y25＝1C.x22－y25＝1D.x22－y25＝1解析双曲线中c＝3，e＝32，故a＝2，b＝c2－a2＝5，故双曲线方程为x24－y25＝1.答案B3．已知方程x22－k＋y22k－1＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是()A.12，2B．(1，＋∞)C．(1,2)D.12，1解析2k－12－k，2－k0，∴1k2.答案C4.(2014·浙江考试院抽测)如图，F1，F2是双曲线C1：x2－y23＝1与椭圆C2的公共焦点，点A是C1，C2在第一象限的公共点．若|F1F2|＝|F1A|，则C2的离心率是()A.13B.23C.15D.25解析由题知|AF1|＋|AF2|＝2a(设a为椭圆的长半轴)，|AF1|－|AF2|＝2，而|F1F2|＝|F1A|＝4，因此可得2×|F1A|＝2a＋2，∴8＝2a＋2，∴a＝3，又c＝2，故C2的离心率e＝23.答案B5．(2014·山东卷)已知ab0，椭圆C1的方程为x2a2＋y2b2＝1，双曲线C2的方程为x2a2－y2b2＝1，C1与C2的离心率之积为32，则C2的渐近线方程为()A．x±2y＝0B.2x±y＝0C．x±2y＝0D．2x±y＝0解析由题意知e1＝c1a，e2＝c2a，∴e1·e2＝c1a·c2a＝c1c2a2＝32.又∵a2＝b2＋c21，c22＝a2＋b2，∴c21＝a2－b2，∴c21c22a4＝a4－b4a4＝1－ba4，即1－ba4＝34，[来源:]解得ba＝±22，∴ba＝22.令x2a2－y2b2＝0，解得bx±ay＝0，∴x±2y＝0.答案A6．(2014·重庆卷)设F1，F2分别为双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF1|＋|PF2|＝3b，|PF1|·|PF2|＝94ab，则该双曲线的离心率为()A.43B.53C.94D．3解析联立已知条件和双曲线的定义，建立关于a，b，c的方程，求离心率．不妨设P为双曲线右支上一点，|PF1|＝r1，|PF2|＝r2.根据双曲线的定义，得r1－r2＝2a，又r1＋r2＝3b，故r1＝3b＋2a2，r2＝3b－2a2.又r1·r2＝94ab，所以3b＋2a2·3b－2a2＝94ab，解得ba＝43(负值舍去)．故e＝ca＝a2＋b2a2＝ba2＋1＝432＋1＝53，故选B.答案B二、填空题7．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：x225＋y29＝1的左、右焦点分别是F1、F2，P为椭圆C上的一点，且PF1⊥PF2，则△PF1F2的面积为________．解析∵PF1⊥PF2，∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，由椭圆方程知a＝5，b＝3，∴c＝4.∴|PF1|2＋|PF2|2＝4c2＝64，|PF1|＋|PF2|＝2a＝10.解得|PF1||PF2|＝18，∴△PF1F2的面积为12|PF1|·|PF2|＝12×18＝9.答案98．(2014·福建卷)椭圆Γ：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左，右焦点分别为F1，F2，焦距为2c.若直线y＝3(x＋c)与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于________．解析由直线方程为y＝3(x＋c)，知∠MF1F2＝60°，又∠MF1F2＝2∠MF2F1，所以∠MF2F1＝30°，MF1⊥MF2，所以|MF1|＝c，|MF2|＝3c，所以|MF1|＋|MF2|＝c＋3c＝2a.即e＝ca＝3－1.[来源:]答案3－19．抛物线C1：y＝12px2(p0)的焦点与双曲线C2：x23－y2＝1的右焦点的连线交C1于第一象限的点M.若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p＝________.解析经过第一象限的双曲线的渐近线为y＝33x.抛物线的焦点为F0，p2，双曲线的右焦点为F2(2,0)．y′＝1px，由题意知在Mx0，x202p处的切线斜率为33，即1px0＝33，所以x0＝33p，点F0，p2，F2(2,0)，M33p，p6共线，所以p2－00－2＝p6－p233p－0，即p＝433.答案433三、解答题10．(2014·课标全国卷Ⅱ)设F1，F2分别是椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N.(1)若直线MN的斜率为34，求C的离心率；(2)若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|＝5|F1N|，求a，b.解(1)根据c＝a2－b2及题设知Mc，b2a，b2a2c＝34，2b2＝3ac.将b2＝a2－c2代入2b2＝3ac，解得ca＝12，ca＝－2(舍去)．故C的离心率为12.(2)由题意，原点O为F1F2的中点，MF2∥y轴，所以直线MF1与y轴的交点D(0,2)是线段MF1的中点，故b2a＝4，即b2＝4a.①由|MN|＝5|F1N|得|DF1|＝2|F1N|.[来源:]设N(x1，y1)，由题意知y10，则2－c－x1＝c，－2y1＝2，即x1＝－32c，y1＝－1.代入C的方程，得9c24a2＋1b2＝1.②将①及c＝a2－b2代入②得9a2－4a4a2＋14a＝1.解得a＝7，b2＝4a＝28，故a＝7，b＝27.11．(2014·天津卷)设椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，上顶点为B.已知|AB|＝32|F1F2|.(1)求椭圆的离心率；(2)设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点F1，经过点F2的直线l与该圆相切于点M，|MF2|＝22.求椭圆的方程．解(1)设椭圆右焦点F2的坐标为(c,0)．由|AB|＝32|F1F2|，可得a2＋b2＝3c2.又b2＝a2－c2，则c2a2＝12.所以，椭圆的离心率e＝22.(2)由(1)知a2＝2c2，b2＝c2.故椭圆方程为x22c2＋y2c2＝1.设P(x0，y0)．由F1(－c,0)，B(0，c)，有F1P→＝(x0＋c，y0)，F1B→＝(c，c)．由已知，有F1P→·F1B→＝0，即(x0＋c)c＋y0c＝0.又c≠0，故有x0＋y0＋c＝0.①因为点P在椭圆上，故x202c2＋y20c2＝1.②由①和②可得3x20＋4cx0＝0.[来源:]而点P不是椭圆的顶点，故x0＝－43c，代入①得y0＝c3，即点P的坐标为－4c3，c3.设圆的圆心为T(x1，y1)，则x1＝－43c＋02＝－23c，y1＝c3＋c2＝23c，所以圆的半径r＝x1－02＋y1－c2＝53c.由已知，有|TF2|2＝|MF2|2＋r2，又|MF2|＝22，故有c＋23c2＋0－23c2＝8＋59c2，解得c2＝3.所以，所求椭圆的方程为x26＋y23＝1.B级——能力提高组1．(2014·四川卷)已知F为抛物线y2＝x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，OA→·OB→＝2(其中O为坐标原点)，则△ABO与△AFO面积之和的最小值是()A．2B．3[来源:]C.1728D.10解析设出直线AB的方程，用分割法表示出△ABO的面积，将S△ABO＋S△AFO表示为某一变量的函数，选择适当方法求其最值．设直线AB的方程为x＝ny＋m(如图)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，∵OA→·OB→＝2，∴x1x2＋y1y2＝2.又y21＝x1，y22＝x2，∴y1y2＝－2.联立y2＝x，x＝ny＋m，得y2－ny－m＝0，∴y1y2＝－m＝－2，∴m＝2，即点M(2,0)．又S△ABO＝S△AMO＋S△BMO＝12|OM||y1|＋12|OM||y2|＝y1－y2，S△AFO＝12|OF|·|y1|＝18y1，∴S△ABO＋S△AFO＝y1－y2＋18y1＝98y1＋2y1≥298y1·2y1＝3，当且仅当y1＝43时，等号成立．答案B2．设点P是双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)与圆x2＋y2＝a2＋b2在第一象限的交点，其中F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，且|PF1|＝2|PF2|，则双曲线的离心率为________．解析由已知可得，△PF1F2为直角三角形，且|PF1|2＋|PF2|2＝4c2，又|PF1|－|PF2|＝2a，∴(|PF1|－|PF2|)2＋2|PF1|·|PF2|＝|PF1|2＋|PF2|2，即2|PF1|·|PF2|＝4c2－4a2＝4b2，把|PF1|＝2|PF2|代入得，|PF2|＝b，|PF1|＝2b，代入|PF1|2＋|PF2|2＝4c2得5b2＝5c2－5a2＝4c2，∴c2＝5a2，e＝ca＝5.答案53．已知动点C是椭圆Ω：x2a＋y2＝1(a1)上的任意一点，AB是圆G：x2＋(y－2)2＝94的一条直径(A，B是端点)，CA→·CB→的最大值是314.(1)求椭圆Ω的方程；(2)已知椭圆Ω的左、右焦点分别为点F1，F2，过点F2且与x轴不垂直的直线l交椭圆Ω于P，Q两点.在线段OF2上是否存在点M(m,0)，使得以MP，MQ为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求实数m的取值范围；若不存在，请说明理由．解(1)设点C的坐标为(x，y)，则x2a＋y2＝1，连接CG，由CA→＝CG→＋GA→，CB→＝CG→＋GB→＝CG→－GA→，又G(0,2)，可得CA→·CB→＝CG→2－GA→2＝x2＋(y－2)2－94＝a(1－y2)＋(y－2)2－94＝－(a－1)y2－4y＋a＋74，其中y∈[－1,1]．因为a1，故当y＝421－a≤－1，即1a≤3时，取y＝－1，得CA→·CB→有最大值－(a－1)＋4＋a＋74＝274，与条件矛盾；当y＝421－a－1，即a3时，CA→·CB→的最大值是41－aa＋74－1641－a，由条件得41－aa＋74－1641－a＝314，即a2－7a＋10＝0，解得a＝5或a＝2(舍去)．综上所述，椭圆Ω的方程是x25＋y2＝1.(2)设点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，PQ的中点坐标为(x0，y0)，则满足x215＋y21＝1，x225＋y22＝1，两式相减，整理得y2－y1x2－x1＝－x2＋x15y2＋y1＝－x05y0，从而直线PQ的方程为y－y0＝－x05y0(x－x0)，又右焦点F2的坐标是(2,0)，将点F2的坐标代入PQ的方程得－y0＝－x05y0(2－x0)，因为直线l与x轴不垂直，故2x0－x20＝5y200，从而0x02.假设在线段OF2上存在点M(m,0)(0m2)，使得以MP，MQ为邻边的平行四边形是菱形，则线段PQ的垂直平分线必过点M，而线段PQ的垂直平分线方程是y－y0＝5y0x0(x－x0)，将点M(m,0)代入得－y0＝5y0x0(m－x0)，得m＝45x0，从而m∈0，85.