高考专题训练二十七坐标系与参数方程(选修4-4)

高考专题训练二十七坐标系与参数方程(选修4－4)班级_______姓名_______时间：45分钟分值：100分总得分_______一、填空题(每小题6分，共30分)1．(2011·陕西)直角坐标系xOy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，设点A，B分别在曲线C1：x＝3＋cosθy＝4＋sinθ(θ为参数)和曲线C2：ρ＝1上，则|AB|的最小值为________．解析：C1：(x－3)2＋(y－4)2＝1C2：x2＋y2＝1.最小值为|C1C2|－2＝5－2＝3.答案：32．(2011·湖北)如图，直角坐标系xOy所在的平面为α，直角坐标系x′Oy′(其中y′与y轴重合)所在平面为β，∠xOx′＝45°.(1)已知平面β内有一点P′(22，2)，则点P′在平面α内的射影P的坐标为________；(2)已知平面β内的曲线C′的方程是(x′－2)2＋2y′2－2＝0，则曲线C′在平面α内的射影C的方程是________．解析：(1)如图P′(22，2)在α上坐标P(x，y)x＝22cos45°＝22×22＝2，y＝2，∴P(2,2)．(2)β内曲线C′的方程x′－222＋y′2＝1同上解法．中心(1,0)即投影后变成圆(x－1)2＋y2＝1.答案：(1)P(2,2)(2)(x－1)2＋y2＝13．(2011·深圳卷)已知点P是曲线C：x＝3cosθy＝4sinθ(θ为参数，0≤θ≤π)上一点，O为原点．若直线OP的倾斜角为π4，则点P坐标为________．解析：由x＝3cosθy＝4sinθ(0≤θ≤π)可得x29＋y216＝1(0≤y≤4)，由于直线OP的方程为y＝x，那么由x29＋y216＝1y＝x0≤y≤4⇒x＝125y＝125.答案：125，1254．(2011·佛山卷)在极坐标系中，和极轴垂直且相交的直线l与圆ρ＝4相交于A、B两点，若|AB|＝4，则直线l的极坐标方程为________．解析：设极点为O，由该圆的极坐标方程为ρ＝4，知该圆的半径为4，又直线l被该圆截得的弦长|AB|为4，所以∠AOB＝60°，∴极点到直线l的距离为d＝4×cos30°＝23，所以该直线的极坐标方程为ρcosθ＝23.答案：ρcosθ＝235．在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ2π)中，曲线ρ＝2sinθ与ρcosθ＝－1的交点的极坐标为________．分析：本题考查极坐标方程与普通方程的互化．解析：由ρ＝2sinθ，得ρ2＝2ρsinθ，其普通方程为x2＋y2＝2y，ρcosθ＝－1的普通方程为x＝－1，联立x2＋y2＝2yx＝－1，解得x＝－1y＝1，点(－1,1)的极坐标为2，3π4.答案：2，3π4二、解答题(每小题7分，共70分)6．已知曲线C1：x＝cosθ，y＝sinθ(θ为参数)，曲线C2：x＝22t－2，y＝22t(t为参数)．(1)指出C1，C2各是什么曲线，并说明C1与C2公共点的个数；(2)若把C1，C2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线C1′，C2′.写出C1′，C2′的参数方程．C1′与C2′公共点的个数和C1与C2公共点的个数是否相同？说明你的理由．解：(1)C1是圆，C2是直线．C1的普通方程为x2＋y2＝1，圆心为(0,0)，半径r＝1.C2的普通方程为x－y＋2＝0.因为圆心(0,0)到直线x－y＋2＝0的距离为1，所以C2与C1只有一个公共点．(2)压缩后的参数方程分别为C1′：x＝cosθ，y＝12sinθ(θ为参数)，C2′：x＝22t－2，y＝24t(t为参数)．化为普通方程分别为C1′：x2＋4y2＝1，C2′：y＝12x＋22，联立消元得2x2＋22x＋1＝0，其判别式Δ＝(22)2－4×2×1＝0，所以压缩后的直线C2′与椭圆C1′仍然只有一个公共点，和C1与C2公共点的个数相同．7．已知直线l：x＝－1－22ty＝2＋22t与抛物线y＝x2交于A，B两点，求线段AB的长．解：把x＝－1－22t，y＝2＋22t，代入y＝x2，得t2＋2t－2＝0，∴t1＋t2＝－2，t1t2＝－2.由参数的几何意义，得|AB|＝t1＋t22－4t1t2＝10.8．(2011·福建)在直角坐标系xOy中，直线l的方程为x－y＋4＝0，曲线C的参数方程为x＝3cosα，y＝sinα(α为参数)．(1)已知在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，点P的极坐标为4，π2，判断点P与直线l的位置关系；(2)设点Q是曲线C上一个动点，求它到直线l的距离的最小值．解：(1)把极坐标系下的点P4，π2化为直角坐标系，得P(0,4)．因为点P的直角坐标(0,4)满足直线l的方程x－y＋4＝0，所以点P在直线l上．(2)因为点Q在曲线C上，故可设点Q的坐标为(3cosα，sinα)从而点Q到直线l的距离为：d＝|3cosα－sinα＋4|2＝2cosα＋π6＋42＝2cosα＋π6＋22，由此得，当cosα＋π6＝－1时，d取得最小值，且最小值为2.9．已知曲线C的极坐标方程为ρ2－42ρcosθ－π4＋6＝0，求：(1)曲线C的普通方程；(2)设点P(x，y)是曲线C上任意一点，求xy的最大值和最小值．解：(1)原方程可化为ρ2－42ρcosθ·cosπ4＋sinθ·sinπ4＋6＝0，即ρ2－4ρcosθ－4ρsinθ＋6＝0.∵ρ2＝x2＋y2，x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，∴x2＋y2－4x－4y＋6＝0，即(x－2)2＋(y－2)2＝2，此方程即为所求普通方程．(2)设x－22＝cosθ，y－22＝sinθ，则xy＝(2＋2cosθ)(2＋2sinθ)＝4＋22(cosθ＋sinθ)＋2cosθsinθ.设t＝cosθ＋sinθ，则t＝2sinθ＋π4，∴t∈[－2，2]，t2＝1＋2cosθsinθ，从而2cosθsinθ＝t2－1.∴xy＝3＋22t＋t2.当t＝－2时，xy取得最小值1；当t＝2时，xy取得最大值9.10．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsinθ＋π4＝22.圆O的参数方程为x＝－22＋rcosθy＝－22＋rsinθ(θ为参数，r0)．(1)求圆心的极坐标；(2)当r为何值时，圆O上的点到直线l的最大距离为3?解：(1)圆心坐标为－22，－22，设圆心的极坐标为(ρ，θ)，则ρ＝－222＋－222＝1，所以圆心的极坐标为1，54π.(2)直线l的极坐标方程为ρ22sinθ＋22cosθ＝22，∴直线l的普通方程为x＋y－1＝0，∴圆上的点到直线l的距离d＝－22＋rcosθ－22＋rsinθ－12，即d＝－2＋2rsinθ＋π4－12.∴圆上的点到直线l的最大距离为2＋2r＋12＝3，∴r＝4－22.11．(2011·哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学第一次联考)已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合，且两个坐标系的单位长度相同，已知直线l的参数方程为x＝－1＋tcosαy＝1＋tsinα(t为参数)，曲线C的极坐标方程为ρ＝4cosθ.(1)若直线l的斜率为－1，求直线l与曲线C交点的极坐标；(2)若直线l与曲线C的相交弦长为23，求直线l的参数方程．解：(1)直线l的普通方程为y－1＝－1(x＋1)，即y＝－x，①曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－4x＝0.②①代入②得：2x2－4x＝0，解得x＝0或x＝2.∴A(0,0)，B(2，－2)，极坐标为A(0,0)，B22，7π4.(2)由题意可得圆心C(2,0)到相交弦的距离为22－32＝1，设直线l的斜率为k，则l的方程为y－1＝k(x＋1)，则y＝kx＋k＋1，∴|2k＋k＋1|k2＋1＝1，∴k＝0或k＝－34.∴l：x＝－1＋ty＝1(t为参数)或x＝－1－45ty＝1＋35t(t为参数)．12．已知A、B是椭圆x29＋y24＝1与x轴、y轴的正半轴的两交点，在第一象限的椭圆弧上求一点P，使四边形OAPB的面积最大．解：设点P的坐标为(3cosθ，2sinθ)，其中0θπ2，∵S四边形AOBP＝S△APB＋S△AOB，其中S△AOB为定值，故只需S△APB最大即可．因为AB为定长，故只需点P到AB的距离最大即可．AB的方程为2x＋3y－6＝0，点P到AB的距离为d＝|6cosθ＋6sinθ－6|13＝613·2sinθ＋π4－1，∴θ＝π4时，d取最大值，从而S△APB取最大值，这时点P的坐标为322，2.13．已知圆C的参数方程为x＝1＋2cosθy＝2sinθ(θ为参数)，P是圆与y轴的交点，若以圆心C为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求过点P的圆的切线的极坐标方程．解：依题意，圆C：x＝1＋2cosθy＝2sinθ是以(1,0)为圆心，2为半径的圆，与y轴交于(0，±3)，如图所示．设R是切线上一点，∵PR为圆C的切线，∴△CPR为直角三角形，∴CR·cos∠RCP＝CP，又∠PCO＝π3，∴极坐标方程为ρcosθ－2π3＝2；若取圆与y轴负轴交点，则极坐标方程为ρcosθ＋2π3＝2.14．(2011·辽宁)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x＝cosφy＝sinφ(φ为参数)，曲线C2的参数方程为x＝acosφ，y＝bsinφ，(ab0，φ为参数)．在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l：θ＝α与C1，C2各有一个交点．当α＝0时，这两个交点间的距离为2，当α＝π2时，这两个交点重合．(1)分别说明C1，C1是什么曲线，并求出a与b的值；(2)设当α＝π4时，l与C1，C2的交点分别为A1，B1，当α＝－π4时，l与C1，C2的交点分别为A2，B2，求四边形A1A2B2B1的面积．解：(1)C1是圆，C2是椭圆．当α＝0时，射线l与C1，C2交点的直角坐标分别为(1,0)，(a,0)，因为这两点间的距离为2，所以a＝3.当α＝π2时，射线l与C1，C2交点的直角坐标分别为(0,1)，(0，b)，因为这两点重合，所以b＝1.(2)C1，C2的普通方程分别为x2＋y2＝1和x29＋y2＝1，当α＝π4时，射线l与C1交点A1的横坐标为x＝22，与C2交点B1的横坐标为x′＝31010.当α＝－π4时，射线l与C1，C2的两个交点A2，B2分别与A1，B1关于x轴对称，因此四边形A1A2B2B1为梯形．故四边形A1A2B2B1的面积为2x′＋2xx′－x2＝25.15．(2011·课标)在直线坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x＝2cosαy＝2＋2sinα(α为参数)，M是C1上的动点，P点满足OP→＝2OM→，P点的轨迹为曲线C2.(1)求C2的方程；(2)在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ＝π3与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求|AB|.解：(1)设P(x，y)，则由条件知Mx2，y2，由于M点在C1上，所以x2＝2cosα，y2＝2＋2sinα.即x＝4cosα，y＝4＋4sinα.从而C2的参数方程为x＝4cosα，y＝4＋4sinα.(α为参数)(2)曲线C1的极坐标方程为ρ＝4sinθ，曲线C2的极坐标方程为ρ＝8sinθ.射线θ＝π3与C1的交点A的极径为