高考二次函数复习案

一轮备考学案---函数部分高三数学备课组第1页二次函数一、教学目标：掌握二次函数的概念、图象及性质；能利用二次函数研究一元二次方程的实根分布条件；能求二次函数的区间最值．二、教学重点：二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的关系．三、教学过程设计：（一）知识复习：1.二次函数的概念：一般地，形如2yaxbxc（abc，，是常数，0a）的函数，叫做二次函数。注意：⑴与一元二次方程类似，二次项系数0a，而bc，可以为零．二次函数的定义域是全体实数）⑵等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．⑶abc，，是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．2.二次函数的解析式的三种形式：一般式，顶点式，两根式．(1).一般式：2yaxbxc（a，b，c为常数，0a）；(2).顶点式：2()yaxhk（a，h，k为常数，0a）；(3).两根式：12()()yaxxxx（0a，1x，2x是抛物线与x轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即240bac时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.3.二次函数的图象及性质4.二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的关系．(1)二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x轴交点情况）：一元二次方程20axbxc是二次函数2yaxbxc当函数值0y时的特殊情况.图象与x轴的交点个数：①当240bac时，图象与x轴交于两点1200AxBx，，，12()xx，其中的12xx，是一元二函数的图象图象特点函数性质①当a０时向上无限伸展；当a０时向下无限伸展．①自变量x的取值范围是全体实数．②a０时开口向上；a０时开口向下；顶点为(－ab2,abac442)．②aO时，当x=－ab2时，y有最小值为abac442；aO时，当x=－ab2时，y有最大值为abac442．③对称轴为x=－ab2，a０时，对称轴左侧图象从左到右下降，对称轴右侧图象从左到右上升；a０时，对称轴左侧图象从左到右上升，对称轴右侧图象从左到右下降．③aO时，当x－ab2时，y随x的增大而减小；当x－ab2时，y随x增大而增大；aO时，当x－ab2时，y随x的增大而增大；当x－ab2时，y随x增大而减小．一轮备考学案---函数部分高三数学备课组第2页次方程200axbxca的两根．这两点间的距离2214bacABxxa.②当0时，图象与x轴只有一个交点；③当0时，图象与x轴没有交点.1'当0a时，图象落在x轴的上方，无论x为任何实数，都有0y；2'当0a时，图象落在x轴的下方，无论x为任何实数，都有0y．（二）主要方法：1.讨论二次函数02acbxaxy在指定区间qp,上的最值问题：①注意对称轴abx2与区间qp,的相对位置；②函数02acbxaxy在区间qp,上的单调性.2．讨论二次函数的区间根的分布情况一般需从三方面考虑：①判别式；②区间端点的函数值的符号；③对称轴与区间的相对位置．（三）典例讲练：专题一：二次函数的解析式问题1．根据下列条件，求出二次函数的解析式.(1)抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点(0，1)，(1，3)，(－1，1)三点；(2)抛物线顶点P(－1，－8)，且过点A(0，－6)；(3)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过(3，0)，(2，－3)两点，并且以x＝1为对称轴；(4)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过一次函数y＝－23x＋3的图象与x轴、y轴的交点；且过(1，1)，求这个二次函数解析式，并把它化为y＝a(x－h)2＋k的形式.问题2．设二次函数()fx满足(2)(2)fxfx，且图象在y轴上的截距为1，在x轴截得的线段长为22，求()fx的解析式.练习1：已知二次函数)0(2acbxaxy的图象如图。（1）求此函数的解析式；（2）用配方法求抛物线的顶点坐标；（3）根据图象回答，当x为何值时，y0，当x为何值时，y0.2：已知二次函数的对称轴为2x，截x轴上的弦长为4，且过点(0,1)，求函数的解析式．专题二：二次函数图像与性质的应用方法点精：1.求二次函数最值的类型及解法(1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动,不论哪种类型,解决的关键是对称轴与区间的关系,当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论；一轮备考学案---函数部分高三数学备课组第3页(2)常结合二次函数在该区间上的单调性或图象求解，最值一般在区间的端点或顶点处取得．2.二次函数单调性问题的解法结合二次函数图象的升、降对对称轴进行分析讨论求解.【提醒】配方法是解决二次函数最值问题的常用方法,但要注意自变量范围与对称轴之间的关系.类型A：轴定区间定问题1．当22x时，求函数223yxx的最大值和最小值．练习：当12x时，求函数21yxx的最大值和最小值．类型B：轴定区间动问题2．当1txt时，求函数21522yxx的最小值(其中t为常数)．类型C：轴动区间定问题3．求12)(2axxxf在区间]2,0[上的最大值和最小值。练习：已知关于x的函数222yxax在55x上．(1)当1a时，求函数的最大值和最小值；(2)当a为实数时，求函数的最大值．类型D：二次函数图象、性质综合问题问题4．已知二次函数2()fxaxbx（,ab为常数，且0a）满足条件：(5)(3)fxfx，且方程()fxx有等根.1求()fx的解析式；2是否存在实数m、n（mn），使()fx的定义域和值域分别是,mn和3,3mn.如果存在，求出m、n的值；如果不存在，请说明理由.一轮备考学案---函数部分高三数学备课组第4页问题5．对于函数()fx，若存在0xR，使00()fxx，则称0x是()fx的一个不动点，已知函数2()(1)(1)(0)fxaxbxba，1当1,2ab时，求函数()fx的不动点；2对任意实数b，函数()fx恒有两个相异的不动点，求a的取值范围；专题小练1：已知以x为自变量的二次函数y＝(m－2)x2＋m2－m－2额图像经过原点，则m的值是.2：如图，如果函数y＝kx＋b的图像在第一、二、三象限内，那么函数y＝kx2＋bx－1的图像大致是（）3：已知函数2yxbxc且)()1(xfxf，则下列不等式中成立的是（）.A)2()0()2(fff.B)2()2()0(fff.C)2()2()0(fff.D)2()0()2(fff4：函数2()45fxxmx在区间2,上是增函数，则(1)f的取值范围是（）.A(1)f≥25.B(1)25f.C(1)f≤25.D(1)25f专题三：二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的综合问题方法点精：二次函数问题的解题思路：(1)解决一元二次方程根的分布问题的方法，常借助于二次函数的图象数形结合来解，一般从①开口方向②对称轴位置③判别式④端点函数值符号四个方面(2)解决一元二次不等式的有关问题的策略，一般需要借助于二次函数的图象、性质、求解.问题6．设函数f(x)=ax2-2x+2，对于满足1x4的一切x值都有f(x)0，求实数a的取值范围.练习：已知f(x)=－3x2+a(6－a)x+b.若方程f(x)=0有一根小于1，另一根大于1，当b－6且b为常数时，求实数a的取值范围.专题四：二次函数与其他函数复合的综合问题问题7若f(x)=x2+bx+c，不论、为何实数，恒有f(sin)≥0，f(2+cos)≤0．(I)求证：b+c=－1；(II)求证：c≥3；(III)若函数f(sin)的最大值为8，求b、c的值．练习：一轮备考学案---函数部分高三数学备课组第5页函数y=cos2x+sinx的值域是__________．