高考二轮小专题圆锥曲线题型归纳

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第1页共6页高考二轮小专题:圆锥曲线题型归纳基础知识:1.直线与圆的方程;2.椭圆、双曲线、抛物线的定义与标准方程公式;3.椭圆、双曲线、抛物线的几何性质等相关知识:a、b、c、e、p、渐近线。基本方法:1.待定系数法:求所设直线方程中的系数,求标准方程中的待定系数a、b、c、e、p等等;2.齐次方程法:解决求离心率、渐近线、夹角等与比值有关的问题;3.韦达定理法:直线与曲线方程联立,交点坐标设而不求,用韦达定理写出转化完成。要注意:如果方程的根很容易求出,就不必用韦达定理,而直接计算出两个根;4.点差法:弦中点问题,端点坐标设而不求。也叫五条等式法:点满足方程两个、中点坐标公式两个、斜率公式一个共五个等式;5.距离转化法:将斜线上的长度问题、比例问题、向量问题转化水平或竖直方向上的距离问题、比例问题、坐标问题;基本思想:1.“常规求值”问题需要找等式,“求范围”问题需要找不等式;2.“是否存在”问题当作存在去求,若不存在则计算时自然会无解;3.证明“过定点”或“定值”,总要设一个或几个参变量,将对象表示出来,再说明与此变量无关;4.证明不等式,或者求最值时,若不能用几何观察法,则必须用函数思想将对象表示为变量的函数,再解决;5.有些题思路易成,但难以实施。这就要优化方法,才能使计算具有可行性,关键是积累“转化”的经验;6.大多数问题只要忠实、准确地将题目每个条件和要求表达出来,即可自然而然产生思路。一、求直线、圆锥曲线方程、离心率、弦长、渐近线等常规问题例.【浙江理数】设1F、2F分别为双曲线22221,xyab(a0、b0)的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点,满足212PFFF,且2F到直线1PF的距离等于双曲线的实轴长,则该双曲线的渐近线方程为()A.B.C.D.【答案】C例.【辽宁文数】设双曲线的一个焦点为,虚轴的一个端点为,如果直线与该双曲线的一条渐近线垂直,那么此双曲线的离心率为()A.B.C.D.【答案】D例.(14分)已知椭圆22221xyab(0)ab.过点(2,—1)且方向向量为11(,)22a的直线L交椭圆与A、B两点。⑴若线段AB的中点为M,求直线OM的斜率(用ab、表示);第2页共6页⑵若椭圆的离心率为33,焦距为2,求线段AB的长;⑶在⑵的条件下,设椭圆的左焦点为1F,求1ABF的面积。点评:常规求值问题的方法:待定系数法,先设后求,关键在于找等式。二、“是否存在”问题例.(14分)已知定点A(-2,-4),过点A作倾斜角为45度的直线L,交抛物线22ypx(p0)于B、C两点,且线段BC长为210。(I)求抛物线的方程;(II)在(I)中的抛物线上是否存在点D,使得DB=DC成立?若存在,求出点D的坐标,若不存在,请说明理由。(答:22yx。存在点D(2,2)或(8,-4))例.【北京理数】在平面直角坐标系xOy中,点B与点A(-1,1)关于原点O对称,P是动点,且直线AP与BP的斜率之积等于.(Ⅰ)求动点P的轨迹方程;(Ⅱ)设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M,N,问:是否存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由。三、过定点、定值问题例、(14分)已知抛物线S的顶点在坐标原点,焦点在x轴上,ABC的三个顶点都在抛物线上,且ABC的重心为抛物线的焦点,若BC所在直线L的方程为4x+y-20=0.(Ⅰ)求抛物线S的方程;(Ⅱ)若O是坐标原点,P、Q是抛物线S上的两动点,且满足OPOQ。试说明动直线PQ是否过一个定点。(答:216yx,定点为M(16,0))例.(14分)已知椭圆C:22221xyab(ab0),过焦点垂直于长轴的弦长为1,且焦点与短轴两端点构成等边三角形。(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)过点Q(—1,0)的直线L交椭圆于A、B两点,交直线x=—4于点E,设AQQB,AEEB。求证:为定值,并计算出该定值。点评:距离转化法把斜线上的转化为垂直与水平上的,比如向量中的比例以坐标转化,比如抛物线中焦半径与到准线距离的转化。例.(14分)过抛物线24yax(a0)的焦点F作任意一条直线分别交抛物线于A、B两点,如果AOB(O为第3页共6页原点)的面积是S,求证:2SAB为定值。(答:3a)点评:证明定值问题的方法:⑴常把变动的元素用参数表示出来,然后证明计算结果与参数无关;⑵也可先在特殊条件下求出定值,再给出一般的证明。处理定点问题的方法:⑴常把方程中参数的同次项集在一起,并令各项的系数为零,求出定点;⑵也可先取参数的特殊值探求定点,然后给出证明。四.最值问题例.(14分)定长为3的线段AB的两个端点在抛物线2yx上移动,记线段AB的中点为M,求点M到y轴的最短距离,并求此时点M的纵坐标。(答:最短距离为54,M的纵坐标为22)点评:最值问题的方法:几何法、配方法(转化为二次函数的最值)、三角代换法(转化为三角函数的最值)、利用切线的方法、利用均值不等式的方法等。五、求参数范围问题。常用思路:寻找不等式。将各限制条件都列出,再求交集。不要遗漏限制条件。常用建立不等式的途径:(1)直线与曲线有交点时判别式大于等于零;⑵圆锥曲线中变量X、Y的取值范围;⑶点与曲线的位置关系,如弦的中点在曲线内部;⑷已知题设中有的范围;⑸正弦函数、余弦函数的有界性;⑹均值不等式;⑺焦半径的取值范围;⑻函数的值域;⑼三角形图形中两边之和大于第三边。例:1.若直线y=kx+1与焦点在x轴上的椭圆2215xyt恒有公共点,则t的取值范围为_________.(答:1,52.【福建文数】若点O和点F分别为椭圆22143xy的中心和左焦点,点P为椭圆上的任意一点,则OPFP的最大值为()A.2B.3C.6D.8【答案】C(利用圆锥曲线中变量X、Y的取值范围;)3.设a1,则双曲线22221(1)xyaa的离心率e的取值范围为_________;(答:2,5)4.若1F、2F是双曲线22221xyab的左右焦点,过1F作垂直于x轴的直线交双曲线于A、B两点,若2ABF为锐角三角形,则双曲线的离心率的取值范围为____________;(答:1,12)5.若M是椭圆22194xy上的任意一点,1F、2F是椭圆的左、右焦点,则12MFMF的最大值为____;(答:9)(利用均值不等式)第4页共6页6.若点P是抛物线22yx上的一个动点,则点P到点(0,2)的距离与点P到准线的距离之和的最小值为__________;(答:172)(利用三角形两边之和大于第三边)六、规范解题解析几何在高考中经常是两小题一大题:两小题经常是常规求值类型,一大题中的第一小题也经常是常规求值问题,故常用方程思想先设后求即可。解决第二小题时常用韦达定理法结合以上各种题型进行处理,常按照以下七步骤:一设直线与方程;(提醒:①设直线时分斜率存在与不存在;②设为y=kx+b与x=mmy+n的区别)二设交点坐标;(提醒:之所以要设是因为不去求出它,即“设而不求”)三则联立方程组;四则消元韦达定理;(提醒:抛物线时经常是把抛物线方程代入直线方程反而简单)五根据条件重转化;常有以下类型:①“以弦AB为直径的圆过点0”OAOB121KK(提醒:需讨论K是否存在)0OAOB12120xxyy②“点在圆内、圆上、圆外问题”“直角、锐角、钝角问题”“向量的数量积大于、等于、小于0问题”1212xxyy0;③“等角、角平分、角互补问题”斜率关系(120KK或12KK);④“共线问题”(如:AQQB数的角度:坐标表示法;形的角度:距离转化法);(如:A、O、B三点共线直线OA与OB斜率相等);⑤“点、线对称问题”坐标与斜率关系;⑥“弦长、面积问题”转化为坐标与弦长公式问题(提醒:注意两个面积公式的合理选择);六则化简与计算;七则细节问题不忽略;①判别式是否已经考虑;②抛物线问题中二次项系数是否会出现0.七、站在系统的高度探究问题的本原“直线与圆锥曲线的位置关系”中文科主要考察“直线与抛物线”,这里就仅举直线与抛物线的位置关系为例。请证明以下命题:案例一:抛物线22ypx(p0),过焦点F(2p,0)作一条弦AB交抛物线于A、B两点,其中A(1x,1y)、B(2x,2y)。如图(一)有关定值问题:第5页共6页(1)221212,4pxxyyp;(2)4OAOBkk(3)234OAOBP(4)112FAFBP;(5)过抛物线的焦点作两条垂直的弦AB,CD,则1112ABCDP;(二)与数列有关的问题(1)AB为焦点弦,T为准线上任意一点,则TA、TF、TB的斜率成等差数列;(2)AB为焦点弦,过点A、B的切线相交于点M,则MA、MF、MB成等比数列;(三)有关圆的问题(1)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切;以11AB为直径的圆与抛物线的弦AB相切;(2)以AF为直径的圆与y轴相切;以BF为直径的圆与y轴相切;(3)其中性质(1)抛物线的准线与x轴的交点E在以AB为直径的圆外。(四)有关共线问题(1)A、O、1B三点共线;(2)B、O、1A三点共线;(五)有关平分问题:EF平分AEB0AEBEKK(六)有关面积问题(1)22sinOABPS;(2)238OABSPAB;(3)111124AFBFBBFAASSS;(七)有关定点问题符合以上任一条性质的弦AB过一定点F(即抛物线的焦点)。案例二:抛物线22ypx(p0),过点P(2p,0)作一条弦AB交抛物线于A、B两点,其中A(1x,1y)、B第6页共6页(2x,2y)。则(一)OAOB;(二)以AB为直径的圆经过原点;(三)OABS的最小值为24p,此时ABx轴;(四)当ABx轴时,以AB为直径的圆的面积最小;(五)过O作OMAB,垂足为M,则M点必在一个圆的圆周上;(答:222()xpyp,除原点外);案例三:抛物线22ypx(p0),过点M(p,0)作一条弦AB交抛物线于A、B两点,其中A(1x,1y)、B(2x,2y)。(一)2OAOBP;(二)222111PMAMB;(三)111124AFBFBBFAASSS。

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