高三第一轮复习数学---等比数列

高三第一轮复习数学---等比数列一、教学目标：掌握等等比数列的定义，通项公式和前n项和的公式，并能利用这些知识解决有关问题，培养学生的化归能力．二、教学重点：对等差数列和等比数列的判断，通项公式和前n项和的公式的应用．三、教学过程：（一）主要知识：1．定义与定义式从第二项起,每一项与它前一项的比等于同一个常数的数列称作等比数列.)(1为不等于零的常数qqaann2．通项公式11nnqaa,推广形式:mnmnqaa,变式),,(Nnmmnaaqmnmn3．前n项和)10(11)1()1(111qqqqaaqqaqnaSnnn且注:应用前n项和公式时,一定要区分11qq与的两种不同情况,必要的时候要分类讨论.4．等比中项:若a、b、c成等比数列,则b是a、c的等比中项,且acb5．在等比数列na中有如下性质:(1)若qpnmaaaaNqpnmqpnm则,,,,(2)下标成等差数列的项构成等比数列(3)连续若干项的和也构成等比数列.6．证明数列为等比数列的方法:(1)定义法:若为等比数列数列nnnaNnqaa)(1(2)等比中项法:若为等比数列数列且nnnnnnnaaaaNnaaa)0(21221(3)通项法:若为等比数列数列的常数均是不为nnnaN，nqccqa)0,((4)前n项和法:若为等比数列数列且为常数nnnaqq，qAAAqS)1,0,(7．解决等比数列有关问题的常见思维方法(1)方程的思想(“知三求二”问题)(2)分类的思想①运用等比数列的求和公式时,需要对11qq和讨论②当为递增数列等比数列时或naqaqa,10,01,011()1(111qqaaannn)为递减数列等比数列时或naqaqa,10,01,011（二）主要方法：1．涉及等比数列的基本概念的问题，常用基本量1,aq来处理；2．使用等比数列前n项和公式时，必须弄清公比q是否可能等于1还是必不等于1，如果不能确定则需要讨论；3．若奇数个成等差数列且和为定值时，可设中间三项为,,adaad；若偶数个成等差数列且和为定值时，可设中间两项为,adad，其余各项再根据等差数列的定义进行对称设元．若干个数个成等比数列且积为定值时，设元方法与等差数列类似．4．在求解数列问题时要注意运用函数思想，方程思想和整体消元思想，设而不求．（三）例题分析：1．关于基本量的计算例1．数列na为等比数列,求下列各值,(1)已知.,2118367463naaaaan求(2).,15367382qaaaa求公比已知(3).),21(15,218aSq求已知思维分析:运用等比数列的基本公式和基本性质”知三求二”问题解(1)21,36,18)(63636374qaaaaqqaqaaa9212)21(3232,36)1(833333333363nqaaaqaqaaaannnn(2),03615,,1536273738273两根是方程xxaaaaaaaa222414,3,1212,3447373qqqqaaaa或或或(3)1)21()21()21(1521)15(21])2(1[11818aaaS例2．.设一个等比数列的首项为a(a0),公比为q(q0),其前n项和为80,而其中最大的一项为54,又其前2n项和是6560,求a和q.思维分析:运算等比数列的求和公式及整体代换思想和分类讨论思想,解:若q=1,则na=80,∴2na=160矛盾,1q于是)3(541,081)1()2()2(65601)1()1(801)1(11211nnnnnqaaqqqqqaqqa又得3,2548111)3)(1(81qaqaqaqn及得代入练习:设等比数列na的前n项和为Sn,若S3+S6=2S9,求数列的公比q.答案:243q2.关于等比数列的证明例3.已知数列na,Sn是它的前n项和,且1),(2411aNnaSnn(1)设)(21Nnaabnnn,求证:数列nb是等比数列(2)设nnnac2,,求证:数列nc是等差数列思维分析:证明数列是等差数列还是等比数列.应紧扣定义式;而数列的前n项和Sn已知可求an解:(1)nnnnnnnnnnnaaaaaSSaSaS444424,2412112121即nnnnnnnnnbbaabaaaa22),2(2211112而,由此可得nb是等比数列且首项112123,2,32nnbqaab公比(2)43223222,2111111nnnnnnnnnnnnnbaaccbc可知nc是首项43,21211dac公差的等差数列,4143ncn练习:变式2:数列na的前n项和)(3为常数bbSnn,那么数列是等比数列吗?为什么?解:：，Nnaabnn此时数列是等比数列均成立对任意时当,3,11此数列不是等比数列时当，b1例4.数列nnba,的通项公式分别是,23,2nbannn它们公共项由小到大排列的数列是nc,①写出nc的前5项②证明nc是等比数列思维分析:容易证明nc是等比数列,由定义式,只需找出nc中任意相邻两项关系即可.解(1)nc的前5项为:8、32、128、512、2048（2）设1)12(3)23(222,232,1ppapccbammmnnpm而中在又中不在bnappabammmnm221,2)24(3)23(424,是等比数列故项中的项即是nnnnnmccccca,4,1123.数学应用题----数列建模例5.一个球应从100米高处自由下落,每次着地后又跳回到原高度的一半落下,当它第10次着地时,共经过了多少米?思维分析:数列建模过程中，关键是建立递推关系式，然而求出na，再结合数列相关性质解题。解：球第一次着地时经过了100米，从这时到球第二次着地时，一上一下共经过了米10021002，因此球第十次着地时共经过的路程为米300211])21(1[100100210021002100100100982练习变式4：一对夫妇为了给他们的独生孩子支付将来上大学的费用，从孩子一出生就在每年生日，到银行储蓄a元,一年定期，若年利润率为r，保持不变，且每年到期时，存款（含利息）自动转为新的一年定期，当孩子18岁上大学时，将所有存款（含利息）全部取回，则取回总钱数为多少？解:)]1()1[()1()1()1(191718rrrararara备用题：从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少51，本年度当地旅游收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加41（1）设n年内（本年度为第一年）总投入为an万元，旅游业收入为bn万元，写出an、bn的表达式。（2）至少经过多少年旅游业总收入才能超过总投入？思维分析：建立等比数列模型解：（1）])54(1[400)511(800)511(8008001nnna]1)45[(1600)411(400)411(4004001nnbn（2）50nabnn，至少经过5年。（四）巩固练习：1．（1）设数列{}na是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项为2．（2）已知等差数列{}na的公差0d，且139,,aaa成等比数列，则1392410aaaaaa1316．2．有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个书的和是12，求这四个数．解：设这四个数为：2(),,,adadaada，则2()16212adadaad解得：48ad或96ad，所以所求的四个数为：4,4,12,36；或15,9,3,1．3．由正数组成的等比数列{}na，若前2n项之和等于它前2n项中的偶数项之和的11倍，第3项与第4项之和为第2项与第4项之积的11倍，求数列{}na的通项公式．解：当1q时，得11211nana不成立，∴1q，∴221122331111(1)11(1)1111nnaqaqqqqaqaqaqaq由①得110q，代入②得110a，∴21()10nna．说明：用等比数列前n项和公式时，一定要注意讨论公比是否为1．4．已知等差数列110,116,122,，（1）在区间[450,600]上，该数列有多少项？并求它们的和；（2）在区间[450,600]上，该数列有多少项能被5整除？并求它们的和.解：1106(1)6104nann，（1）由4506104600n，得5882n，又*nN,∴该数列在[450,600]上有25项,其和58821()25131002nSaa．（2）∵1106(1)nan，∴要使na能被5整除，只要1n能被5整除，即15nk，∴51nk，∴585182k，∴1216k，∴在区间[450,600]上该数列中能被5整除的项共有5项即第61,66,71,76,81项，其和61815()26502aaS．四、小结：1．等比数列的定义、通项、中项、求和；2．方程的思想、整体代换思想、分类讨论思想；3．适当注意等比数列性质的应用，以减少运算量而提高解题速度。五、作业：①②