高考函数部分经典大题解析

1.（2009江苏卷）(本小题满分16分)设为实数，函数.(1)若，求的取值范围；(2)求的最小值；(3)设函数，直接写出．．．．(不需给出演算步骤)不等式的解集.解本小题主要考查函数的概念、性质、图象及解一元二次不等式等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力。满分16分（1）若，则（2）当时，当时，综上（3）时，得，当时，；当时，△0,得：讨论得：当时，解集为;当时，解集为;当时，解集为.a2()2()||fxxxaxa(0)1fa()fx()(),(,)hxfxxa()1hx(0)1f20||111aaaaaxa22()32,fxxaxa22min(),02,0()2(),0,033faaaafxaafaaxa22()2,fxxaxa2min2(),02,0()(),02,0faaaafxfaaaa22min2,0()2,03aafxaa(,)xa()1hx223210xaxa222412(1)128aaa6622aa或0,(,)xa6622a223232()()033aaaaxxxa26(,)22a(,)a62(,)22a223232(,][,)33aaaaa22[,]22a232[,)3aa2.(2007广东)已知a是实数，函数，如果函数在区间上有零点，求a的取值范围.解析若,,显然在上没有零点,所以.令,解得①当时,恰有一个零点在上;②当，即时，在上也恰有一个零点.③当在上有两个零点时,则或解得或综上所求实数的取值范围是或3.(2007年安徽省六校)已知函数,在R上有定义，对任意的有且（1）求证：为奇函数（2）若，求的值解（1）对，令x=u-v则有f(-x)=f(v-u)=f(v)g(u)-g(v)f(u)=f(u-v)=-[f(u)g(v)-g(u)f(v)]=-f(x)………………4分（2）f(2)=f{1-(-1)}=f(1)g(-1)-g(1)f(-1)=f(1)g(-1)+g(1)f(1)=f(1){g(-1)+g(1)}∵f(2)=f(1)≠0axaxxf3222xfy1,10a()23fxx1,10a248382440aaaa372a372ayfx1,105111aaff15ayfx1,1yfx1,1208244011121010aaaaff208244011121010aaaaff5a352aa1a352a()fx()gx,xyR()()()()()fxyfxgygxfy(1)0f()fx(1)(2)ff(1)(1)ggxR∴g(-1)+g(1)=14.(07上海)已知函数（1）判断函数的奇偶性；（2）若在区间是增函数，求实数的取值范围。解析（1）当时，为偶函数；当时，既不是奇函数也不是偶函数.（2）设，，由得，要使在区间是增函数只需，即恒成立，则。另解（导数法）：，要使在区间是增函数，只需当时，恒成立，即，则恒成立，故当时，在区间是增函数。已知定义域为R的函数是奇函数.（1）求a,b的值；（2）若对任意的，不等式恒成立，求k的取值范围.解（1）因为是R上的奇函数，所以从而有又由，解得（2）解法一：由（1）知由上式易知在R上为减函数，又因是奇函数，从而不等式等价于因是R上的减函数，由上式推得即对一切从而解法二：由（1）知),0(2Raxxaxxfxfxf,2a0a2xxf0axf212xx22212121xaxxaxxfxfaxxxxxxxx21212121212xx162121xxxx0,02121xxxxxf,2021xfxf02121axxxx16a22'xaxxfxf,22x0'xf022xax,1623xa16axf,2abxfxx122)(Rt0)2()2(22ktfttf)(xf1,021,0)0(babf解得即.212)(1axfxxaaff1121412)1()1(知2a,121212212)(1xxxxf)(xf)(xf0)2()2(22ktfttf).2()2()2(222ktfktfttf)(xf.2222kttt,0232kttRt有31,0124kk解得,2212)(1xxxf又由题设条件得即整理得，因底数21，故上式对一切均成立，从而判别式5.（2009广东三校一模）设函数.(1)求的单调区间;(2)若当时,(其中)不等式恒成立,求实数的取值范围;(3)试讨论关于的方程:在区间上的根的个数.解（1）函数的定义域为.1分由得;2分由得,3分则增区间为,减区间为.4分(2)令得,由(1)知在上递减,在上递增,6分由,且,8分时,的最大值为,故时,不等式恒成立.9分(3)方程即.记,则.由得;由得.所以g(x)在[0,1]上递减，在[1，2]上递增.而g(0)=1，g(1)=2-2ln2，g(2)=3-2ln3，∴g(0)＞g(2)＞g(1)10分0221222121221222222ktkttttt0)12)(22()12)(22(2222212212ktttttkt12232ktt0232kttRt.31,0124kk解得xxxf1ln212xf1,11eex718.2emxfmxaxxxf22,0,,11221112xxxxxxf0xf0x0xf01x,00,1,0122xxxxf0xxf0,11e1,0e,21112eef212eef21222ee1,11eexxf22e22emmxf,2axxxfaxx1ln21xxxg1ln2111121xxxxg0xg1x0xg11x所以，当a＞1时，方程无解；当3-2ln3＜a≤1时，方程有一个解，当2-2ln2＜a≤a≤3-2ln3时，方程有两个解；当a=2-2ln2时，方程有一个解；当a＜2-2ln2时，方程无解.13分字上所述，a时，方程无解；或a=2-2ln2时，方程有唯一解；时，方程有两个不等的解.14分6.(陕西长安二中2008届高三第一学期第二次月考)定义在R上的函数y=f(x)，f(0)≠0，当x0时，f(x)1，且对任意的a、b∈R，有f(a+b)=f(a)f(b)，（1）求证：f(0)=1；（2）求证：对任意的x∈R，恒有f(x)0；（3）证明：f(x)是R上的增函数；（4）若f(x)·f(2x-x2)1，求x的取值范围。解（1）令a=b=0，则f(0)=[f(0)]2∵f(0)≠0∴f(0)=1（2）令a=x，b=-x则f(0)=f(x)f(-x)∴由已知x0时，f(x)10，当x0时，-x0，f(-x)0∴又x=0时，f(0)=10∴对任意x∈R，f(x)0(3)任取x2x1，则f(x2)0，f(x1)0，x2-x10∴∴f(x2)f(x1)∴f(x)在R上是增函数（4）f(x)·f(2x-x2)=f[x+(2x-x2)]=f(-x2+3x)又1=f(0)，f(x)在R上递增∴由f(3x-x2)f(0)得：3x-x20∴0x37.（2009上海卷文）（本题满分16分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分10分.有时可用函数描述学习某学科知识的掌握程度.其中表示某学科知识的学习次数（），表示对该学科知识的掌握程度，正实数a与学科知识有关.)2ln22,(),1(]1,3ln23(a]3ln23,2ln22(a)(1)(xfxf0)(1)(xfxf1)()()()()(121212xxfxfxfxfxf0.115ln,6,()4.4,64axaxfxxx　　　　　　x*xN()fx（1）证明：当x7时，掌握程度的增长量f（x+1）-f(x)总是下降；（2）根据经验，学科甲、乙、丙对应的a的取值区间分别为（115，121］,(121,127］,(127,133］.当学习某学科知识6次时，掌握程度是85%，请确定相应的学科.证明（1）当时，而当时，函数单调递增，且故函数单调递减当时，掌握程度的增长量总是下降(2)有题意可知整理得解得…….13分由此可知，该学科是乙学科……………..14分8.（2009福州八中）某造船公司年造船量是20艘，已知造船艘的产值函数为R(x)=3700x+45x2-10x3（单位：万元），成本函数为C(x)=460x+5000（单位：万元），又在经济学中，函数f(x)的边际函数Mf(x)定义为Mf(x)=f(x+1)-f(x)。（Ⅰ）求利润函数P(x)及边际利润函数MP(x)；（提示：利润=产值成本）（Ⅱ）问年造船量安排多少艘时，可使公司造船的年利润最大？（Ⅲ）求边际利润函数MP(x)单调递减时x的取值范围，并说明单调递减在本题中的实际意义是什么？解（Ⅰ）P(x)=R(x)-C(x)=-10x3+45x2+3240x-5000,(xN*,且1≤x≤20);MP(x)=P(x+1)-P(x)=-30x2+60x+3275，(xN*,且1≤x≤19)（Ⅱ）.∴当0＜x＜12时＞0,当x＜12时，＜0.∴x=12，P（x）有最大值.即年造船量安排12艘时，可使公司造船的年利润最大．（Ⅲ）∵MP（x）=-30x2+60x+3275=-30(x-1)2+3305,所以，当x≥1时，MP（x）单调递减，x的取值范围为[1,19]，且xN*是减函数的实际意义：随着产量的增加，每艘船的利润在减少．9.（2009福建省）已知某企业原有员工2000人,每人每年可为企业创利润3.5万元.为应对国际金融危机给企业带来的不利影响,该企业实施“优化重组,分流增效”的策略,分流出一部分员工待岗.为维护生产稳定,该企业决定待岗人数不超过原有员工的5％,并且每年给每位待岗员工发放生活补贴O.5万元.据评估,当待岗员工人数x不超过原有员工1％时,留岗员工每人每年可为企业多创利润(1-)万元；当待岗员工人数x超过原有员工1％时,留7x0.4(1)()(3)(4)fxfxxx7x(3)(4)yxx(3)(4)0xx(1)()fxfx7x(1)()fxfx0.115ln0.856aa0.056aea0.050.05620.506123.0,123.0(121,127]1eaex)9)(12(3032409030)(2xxxxxP)(xP)(xP()MPxx10081岗员工每人每年可为企业多创利润O.9595万元.为使企业年利润最大,应安排多少员工待岗?解设重组后,该企业年利