高中 必修1 第一讲 集合

-1-博途教育学科教师辅导讲义(一）学员姓名:戴宇威年级：高一日期：2012.7.25辅导科目：数学学科教师：刘云丰时间：课题高一必修1：第一讲集合授课日期2012年7月25教学目标1、了解集合的含义；深刻理解集合元素的确定性、互异性、无序性；2、理解集合之间包含与相等关系，能识别给定集合的子集和真子集；3、理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的交集与并集.教学内容集合〖教学重点与难点〗◆教学重点：理解集合的含义与三个性质，并会用不同的方法表示集合理解集合之间包含与相等关系，理解子集、真子集、空集交集与并集概念◆教学难点：集合三个性质的正确理解子集与真子集的识别理解交集与并集的概念及符号之间的区别与联系〖教学过程〗[来源:Zxxk.Com]一、知识导入在初中我们已经接触过一些集合，例如：自然数的集合，有理数的集合，不等式x-73的解集，到一个定点的距离等于定长的点的集合，到一条线段的两个端点距离相等的点的集合等等，那么，我们能给集合一个什么样的叙述性概念呢？这就是我们今天所要学习的内容。我们先来看下面的一些实例：(1)1—20以内的所有质数；(2)我国古代的四大发明；(3)所有的正方形；(4)海南省在2004年9月之前建成的所有立交桥；(5)到一个角的两边距离相等的所有的点；(6)方程2560xx的所有实数根；(7)不等式30x的所有解；(8)萧山中学2004年9月入学的高一学生的全体.-2-例（1）中，我们把1—20以内的每一个质数作为元素，这些元素的全体就是一个集合；同样例（2）中，把我国古代四大发明中的每一个发明作为元素，这些元素的全体也是一个集合。思考:例（3）到例（8）也都能组成集合吗？二、集合的概念一般地，我们把研究对象统称为元素（element）,把一些元素组成的总体叫做集合（set）(简称为集)。我们一般用大写拉丁字母A、B、C、...表示集合，用小写拉丁字母a、b、c、...表示元素。如果用A表示萧山中学全体高一学生组成的集合，用a表示萧山中学高一学生中的一位同学,b是高二年级的一位同学，那么a、b与集合A分别有什么关系?由此可推出元素与集合之间有什么关系呢？结论：a是集合A的元素，b不是集合A的元素.我们得出元素与集合的关系有两种:属于和不属于.简而言之，就是：a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作aA；b不是集合A的元素，就说b不属于集合A，记作Ab。三、集合的性质（也称作：集合三要素）1、确定性给定的集合，它的元素必须是确定的，也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中是确定的。例如“中国的省会城市”构成一个集合，杭州、南昌、南京······就在这个集合中，而宁波、嘉兴、湖州·······就不在这个集合中。再比如“我们班身材高大的男生”就不能构成集合，因为组成它的元素是不确定的。2、互异性一个给定的集合中，它的元素是互不相同的。也就是说，集合中的元素不能重复出现。3、无序性只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的。为了加深大家的理解，我们一起做做下面的几道题1大于3小于11的偶数能否构成集合？（引申：你能说出它们的元素吗）2我国的小河流能否构成集合？（引申：若不能，为什么？若能，你能说出它的元素吗？）3由实数31、23、34、31组成的集合有几个元素？（你能说出原因吗？）4由实数31、23、34组成的集合记为M，由实数23、31、34组成的集合记为N，这两个集合中的元素相同吗？这说明集合中的元素具有什么性质？由此类比实数相等，你发现集合有什么结论？-3-四、常见的基本数集常见数集的专用符号：N：非负整数集(或自然数集)(全体非负整数的集合)；N*或N+：正整数集(非负整数集N内排除0的集合)；Z：整数集(全体整数的集合)；Q：有理数集(全体有理数的集合)；R；实数集(全体实数的集合)；这些常见的基本数集在今后的学习中会经常被用到，同学们要牢记哦！五、集合的表示方法在上面的例子中，我们都是用字母表示法和自然语言来描述一个集合的，那么除这两种方法之外，还能用什么方法表示集合呢？字母表示法：大写的英文字母表示集合，例如常见的数集N、Q，所有的正方形组成的集合记为A等等；自然语言：用文字语言来描述出的集合，例如“所有的正方形”组成的集合等等.还可以用下列方法：列举法：把集合中的全部元素一一列举出来，并用大括号“{}”括起来表示集合，这种表示集合的方法叫做列举法；描述法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及其取值(或变化)范围,再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.这种用集合所含元素的共同特征表示集合的方法叫做描述法.例如：不等式37x解集中所含元素的共同特征是37-,xRx且，即10x，所以我们可以把这个集合表示为：10|xRxD，又如所有偶数的集合可以表示为ZkkxZxA,2|注:在不致混淆的情况下,也可以简写成列举法的形式,只是去掉竖线和元素代表符号,例如:所有直角三角形的集合可以表示为{x|x是直角三角形},也可以写成{直角三角形}.所以，表示一个集合有四种方法:字母表示法、自然语言、列举法、描述法.【注意】：一个集合的描述方法不单单是一种，有时候是可以用多种描述方法的，譬如方程x2-4=0-4-的解组成的集合，可以用列举法：{2，-2}；可以用描述法：}04{2xx.【教学效果】：对于列举法，一定要让同学们明白，列举法是对于集合元素较少或者元素排列有规律的集合而言的；而对于描述法，需要学生们注意的是点集和数集的代表元素是不同的.这一部分同学们的自学效果很好，对于点集和数集，在做练习三的时候，具体的讲了一下，学生们的反响也很不错巩固练习练习一：用列举法表示下列集合：1所有绝对值等于8的数的集合A；2所有绝对值小于4的整数的集合B.练习二：分别用列举法和描述法描述方程x2-9=0的解组成的集合.六、集合间的基本关系(—)创设情景，揭示课题问题l：实数有相等.大小关系，如5=5，5＜7，5＞3等等，类比实数之间的关系，你会想到集合之间有什么关系呢？让学生自由发言，教师不要急于做出判断。而是继续引导学生；欲知谁正确，让我们一起来观察.研探.(二)研探新知问题2：观察下面几个例子，你能发现两个集合间有什么关系了吗？（1）{1,2,3},{1,2,3,4,5}AB；(2)设A为萧山中学高一(3)班男生的全体组成的集合，B为这个班学生的全体组成的集合；(3)设{|},{|};CxxDxx是两条边相等的三角形是等腰三角形(4){2,4,6},{6,4,2}EF.请同学们充分讨论.交流，试着去发现两个集合所含元素范围存在的各种关系，从而类比得出两个集合之间的关系:①一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为B的子集.记作：()ABBA或读作：A包含于B(或B包含A).②如果两个集合所含的元素完全相同，那么我们称这两个集合相等.-5-为了更直观地表示集合间的关系，我们常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图。如图l和图2分别是表示问题2中实例1和实例3或4的Venn图.图1图2问题3：与实数中的结论“若,,abbaab且则”相类比，在集合中，你能得出什么结论?思考得出结论:若,,ABBAAB且则.问题4：例①中集合A是集合B的子集,例③中集合C是集合D的子集，同样是子集，有什么区别？你能由此得出真子集的描述性定义吗？例子①中AB,但有两个元素4∈B，5∈B且4A，5A；而例子③中集合C和集合D中的元素完全相同；由此，我们可以得到真子集的描述性定义：如果集合AB，但存在元素,Bx，且Ax，我们称集合A是B的真子集，记作：AB（或BA）我们知道，方程012x是没有实数根的，所以它的实数根组成的集合中是没有元素的。那么我们怎么去表示这样一个集合呢？我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作，并规定：空集是任何集合的子集。思考：1.包含关系{a}A与属于关系aA有什么区别？2.能否说任何一集合是它本身的子集，即AA?3.对于集合A，B，C，如果AB，BC，那么集合A与C有什么关系?(三)巩固练习1、试用Venn图表示例子（1）中集合A和集合B；若已知A=B,试用Venn图表示集合A和B的关系.如图：、、、BAA（B）-6-2、集合A中含有n个元素，那么集合A有多少个子集？多少个真子集？集合A中含有n个元素，那么集合A有n2个子集,由于一个集合不是其本身的真子集，所以集合A有12n个真子集.七、集合的基本运算(一)创设情景，揭示课题问题1：我们知道，实数有加法运算。类比实数的加法运算，集合是否也可以“相加”呢?请同学们考察下列各个集合，你能说出集合C与集合A.B之间的关系吗?(1){1,3,5},{2,4,6},{1,2,3,4,5,6};ABC(2)是全体实数，是无理数，是有理数xxCxxBxxA|||(二)研探新知l.并集—般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集.记作：A∪B.读作：A并B.其含义用符号表示为：{|,}ABxxAxB或用Venn图表示如下：请同学们用并集运算符号表示问题1中A，B，C三者之间的关系.练习(1)设A={4，5，6，8)，B={3，5，7，8)，求A∪B.(2)设集合{|12},{|13},.AxxBxxAB集合求让学生独立完成后，教师通过检查，进行反馈，并强调：（1）在求两个集合的并集时，它们的公共元素在并集中只能出现一次.ABA-7-(2)对于表示不等式解集的集合的运算，可借助数轴解题.2.交集（1）思考：求集合的并集是集合间的一种运算，那么，集合间还有其他运算吗？请同学们考察下面的问题，集合A.B与集合C之间有什么关系？①{2,4,6,8,10},{3,5,8,12},{8};ABC②{|20049}.Axx是新华中学年月入学的高一年级女同学B={x|x是新华中学2004年9月入学的高一年级同学}，C={x|x是新华中学2004年9月入学的高一年级女同学}.教师组织学生思考.讨论和交流，得出结论，从而得出交集的定义；一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集.记作：A∩B.读作：A交B其含义用符号表示为：{|,}.ABxxAxB且请同学们用Venn图表示交集运算.（2）练习设平面内直线1l上点的集合为1L，直线2l上点的集合为2L，试用集合的运算表示1l与2l的位置关系.八、本课小结1、集合的概念与表示，集合三要素。2、集合间的基本关系3、集合的基本运算AB-8-九、课后练习1．判断正误:(1)空集没有子集.()(2)空集是任何一个集合的真子集.()(3)任一集合必有两个或两个以上子集.()(4)若BA,那么凡不属于集合A的元素,则必不属于B.()2.已知集合{,,}Axyz中的三个元素可成为ABC的三边长，那么ABC一定不是（）.A锐角三角形.B直角三角形.C钝角三角形.D等腰三角形3.对于集合{2,4,6}A，若aA，则6aA，那么a的值为4.集合{(2,2),2,2}M，则集合M中元素的个数是5.集合A={x|-1x3,x∈Z},写出A的真子集6.已知集合A={-1,3,2m-1},集合B={3,2m}.若BA,则实数m=_______.7.已知集合A＝{1，3，5，7，9}，B＝{0，3，6，9，12}，则A∩B＝8.设U=Z，A={1,3,5,7,9}，B={1,2,3,4,5}，则图中阴影部分表示的集合是_______．9.已知A＝{x|2a≤x≤a＋3}，B＝{x|x－1或x5}，若A∩B＝Ø，求a的取值范围．10.某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组．已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为