高考压轴题中的几类特殊函数

1高考数学压轴题中的几种特殊函数数学与应用数学（金融数学）2009189934黄霜指导老师：黄汉那摘要：随着课程改革的不断深入，素质教育的全面实施，近几年来高考数学命题创造性地把数学教育的新思想，新观点融合其中，相继出现了立意新、情境新、构思精妙的特殊函数，常常处于压轴题的位置。为高三的教师和学生复习备战高考提供帮助，这篇论文结合近几年的高考数学试题，分类列举了高考中出现的几类特殊函数，如：补函数、耐克函数、伪二次函数、单峰函数、特征函数，并对这些特殊函数的概念及相关题型做出了适当的分析，挖掘出特殊函数在高考压轴题中的题型规律并给出相应的解决方法。关键词：高考数学；压轴题；特殊函数引言随着课程改革的不断深入，素质教育的全面实施，能力立意仍然是各省市高考试题强调的核心理念，同时，高考数学压轴题的命题视角呈多元化的趋势，命题者往往会结合能力、素质、应用以及创新等几个方面综合考查进行设计。因此高考中出现很多具有立意鲜明、构思精妙、情景新颖、表达方式鲜活的特殊函数，它不拘泥于课本材料，注重考查学生的阅读能力、理解能力、提炼数学问题和信息的迁移能力。为了适应新课程标准不同层次的要求，每年高考结束之后，每个省市的研究人员都会针对当年本省的数学试题进行详细的探讨，如分析试题的难度及分值、题型规律等。而这篇论文全局分析研读高考数学试题中的函数创新题，挖掘出隐含其中的函数题型规律以及给出相应的解题方法，并在文后指出了一些复习备考建议。这对提高高考备考效率具有非常积极的指导作用，值得广大中学教师和参加高考的学生仔细研读和深入思考。1.试题创新特点及函数命题趋势1.1高考数学压轴题的命题趋势为了顺应新课程改革的实施，高考试题的命题趋向也在不断的发生变化，新2课程改革的程理念必将体现在高考的试题中。数学高考题强调“能力立意”和必要的区分度，以利于高校对人才的选拔。因此各省市的压轴题综合题、灵活性、探索性都很强，具有挑战性和思考性。近几年，在高考压轴题的设计上更注重对考生知识的灵活运用能力、信息的分析处理能力、创新意识和应用意识的考查，因此所设计的压轴题既不受课本教材的约束，又不超越教学大纲，所设计的题目具有新颖的情景、巧妙的构思、富有时代气息而且又切合实际，这些压轴题主要有一下特点：1.1.1立意的鲜明性高考数学试题以能力立意为核心理念，以数学思想、数学基础知识、基本方法为指导思想，它体现了新课程理念的基本要求，试题的立意呈多元化的趋势，如考查学生的抽象思维能力、在新情境下知识的迁移能力、提炼信息的能力、创新意识和应用意识等。而以特殊函数为背景的试题是近几年高考试题中出现的一类创新型函数题。特殊函数的出现更符合我们现阶段中学实施素质教育的需要和实际，具有高考数学“鲜明的立意、灵活的设问、新颖的情景、清晰的层次”的特点。这有利于高校选拔对人才的选拔。1.1.2背景的深刻性以高等数学的基本概念、基本思想、基本方法渗透到高考压轴题中，为高考压轴题提供了深刻的背景，命题专家构思十分巧妙，使得这类题目给人有一种常考常新的感觉。而高中的竞赛数学是处在初等数学与高等数学的中间位置，以竞赛数学为背景来命制压轴题，成为高考数学压轴题的一个新趋向，为各个高校选拔优秀人才提供了良好的素材。这类题目在课本练习、各种复习资料或模拟题中难以找到，解题思路独特、解决方法新颖，从而使得这类题目有很好的区分度，因此，背景新颖的压轴题十分受到命题者的青睐。1.1.3情景的新颖性情景新颖的压轴题，一般包括新的概念、新的定理、新的方法、新的公式、新的规则等，这类题目可以考查学生在新情景下知识的灵活运用能力和理解新知3识的能力。这些题目构思精妙、立意新、解题方法新，靠题海战术和解题套路一般难以解决，对广大考生来说是十分公平的。近几年来，高考命题对这类题目比较热衷。1.2高考函数的命题趋势函数作为高中数学最广泛的知识点，它易于其他知识点相结合，是贯穿高中数学的一条主线，是连接初等数学和高等数学的纽带，最能体现学生的能力和水平。随着数学试题的不断创新，函数问题的创新题型必定会成为高考数学命题的重点和热点内容。以对函数概念的深化理解与函数的基本性质及图象做为命题的核心，这是对函数考查的一个基本特点。随着新课程理念的全面实施和数学试题的不断创新，高考函数的命题趋势有以下特点：（1）注重各个知识点间的交汇函数的广泛性使函数与其他知识点的内在联系非常的紧密，新课改强调能力立意的命题理念决定了函数与其他知识进行交汇仍然是一个热点。新教材引入了向量、概率、统计、数列、极限等内容，扩大了函数问题的命题空间，因此在高考中出现了很多新的交汇题型，例如：函数与向量、函数与解析几何、函数与概率等交汇题常常受到命题者的喜爱。预计在今后的高考中将会设计得更加灵活，更能体现与其他知识点间的紧密联系。（2）高等数学知识为背景以高等数学为背景，通过给出新的概念，新的定理或设置新的情景，考查学生的创新意识、应用意识、阅读理解新知识的能力。高考是为了向高校输送人才，而高中数学与高等数学相互衔接，而且函数又是高中数学的主干知识，所以函数与高等数学知识在高考中创新交汇就显得合乎情理了，这是高考命题的又一个新走向。（3）抽象函数久热不冷抽象函数通常只给出了一些条件，例如：函数的值域或者定义域、函数的性质等，而没有给出具体的解析式。抽象函数的概念和性质都具有抽象性，所以理解和研究起来都比较困难，富有思考性和挑战性，它既是中学数学教学的重点和难点，又是今年来各地模拟题和高考的热点。抽象函数对培养学生观察、联想、4类比猜测、理性思维等探索能力,增强用数学的意识,有着十分重要的作用，在近几年的高考中占的比重越来越大。其中以特殊函数为背景的创新型函数题压轴题在高考数学试题频繁出现，旨在提高试题的区分度，在试卷中充当把关的角色。2.高考数学压轴题中的几类特殊函数2.1以函数的图像和性质为背景——伪二次函数、耐克函数形如2()=(0,0)fxaxbxcInxac的函数有人称为“伪二次函数”。例题1：（2011广东文科）设0k，讨论函数2()=(1-)-2(1-)+Infxkkxkxx的单调性.解：2=4(1-)-8(1-)=4(3-1)(-1)kkkkk（1）当0时，即(3-1)(-1)0kk，即113k时，=(1-)0akk，所以()fx在(0,+)上为增函数.（2）0即103k或1k时①若103k时，=(1-)0,=-2(1-)0,=10akkbkc，()fx的图像如图1，所以()fx在12(0,),(,+)xx上为增函数，在12(,)xx上为减函数.②若1k时，=(1-)0akk，=10c，()fx的图像如图2，所以1()(0,)fxx在上为增函数，在2(,+)x上为减函数。综上所述，()fx的单调区间如下表：103k113k1k1(0,)x12(,)xx2(,+)x(0,+)1(0,)x2(,+)x耐克函数的概念及性质：耐克函数是指形如：2121=+(0,0,0)xyxx，函数在12=x处取得最小值，且该函数在12(0,]x上单调递减，在512[,+)x上单调递增.例题2（2006年上海卷.理）已知函数=+ayxx有如下性质：如果常数0a，那么该函数在(0,]a上是减函数，在[,+)a上是增函数.（Ⅰ）如果函数2=+(0)byxxx的值域为[6,+)，求b的值；（Ⅱ）研究函数22=+(c0)cyxx常数在定义域内的单调性，并说明理由；解：（1）由所给函数)0(axaxy性质知，当x0时，ax时函数取最小值.2a所以对于函数,222,2bbbxxxy时取最小值当所以,92,622bb∴b=log29.（2）设cttctytxt由条件知在则)0(,2时为单调增函数，ct0时为单调递减函数，而t=x2在（0，+∞）为单调增函数，在（－∞，0）上为单调减函数，所以由复合函数单调性知在222200xcxyxcxxcx时和均单调递增，解得,044xccx和即.0,,4422c、cxcxy的单调增区间为当xcxyxcxxcx时和0022均单调递减，解得440cxcx和即函数.,,04422c、cxcxy的单调减区间为小结：纵览历年高考试题，伪二次函数和耐克函数在试卷中频繁出现，主要考查它们的图像，单调性、最值等性质，以考查学生灵活运用所学过的知识解决新问题的能力。（1）了解了伪二次函数2()=(0,0)fxaxbxcInxac的图像与系数abc、、的关系，就可以快速地画出它的函数的图像，从而研究它的性质。形如：2()=(0,0)fxaxbxcInxac的函数在高考试题中屡见不鲜，如2008年湖北卷第21题(理科)、2010年辽宁卷第21题（理科）、2011年辽宁卷第21题6（理科）、2011年浙江第21题(文科)等，这些题目用伪二次函数的图像来解答让人眼前一亮。（2）耐克函数在近几年高考中也经常出现，特别是它的单调性及其应用尤为广泛.如2006年安徽卷第20题。2.2以高等数学的基本概念为命题背景——补函数、单峰函数例题1：（2012年江西理科）若函数h(x)满足（1）h(0)=1，h(1)=0；（2）对任意，有h(h(a))=a；（3）在（0,1）上单调递减。则称h(x)为补函数。已知函数11-()=()(-1,0)1+pppxhxpx（1）判函数h(x)是否为补函数，并证明你的结论；（2）略解：函数()hx是补函数.证明如下：①111-01-1(0)=(=1(1)==01+01+pphh），（）②对任意[0,1],a有1111-1-1-(1+)1+(())=(())==()=1-1+1+1+1+ppppppppppaaaahhahaaaa③令()=(())gxhx、，有-1-1-122-(1+)-(1-)-(1+)()==(1+)(1+)ppppppppxxxpxpxgxxx、因为-1,p0,所以当(0,1)x时，()0gx、，所以函数()(0,1)gx在上单调递减，故函数()hx在(0,1)上单调递减。因此函数()hx是补函数。例题2：（2005年北京理科）设()fx是定义在[0,1]上的函数，若存在(0,1)x，使得()fx在[0,]x上单调递增，在[,1]x上单调递减，则称()fx为[0,1]上的单峰0,1a7函数，x为峰点，包含峰点的区间为含峰区间．对任意的[0,1]上的单峰函数()fx，下面研究缩短其含峰区间长度的方法．（I）证明：对任意的1212122,(0,1),,()()0xxxxfxfxx若，则（，）为含峰区间；若12()()1fxfxx，则（，）为含峰区间；（II）对给定的(00.5)rr，证明：存在12,(0,1)xx，满足12-2xxr，使得由（I）所确定的含峰区间的长度不大于0.5+r；证明：（I）证明：设为()fx的峰点为x，由单峰函数的定义可知，()fx在[,1]x上单调递减，在[[0,]x上单调递增．当12()()fxfx)时，假设2(0,)xx，则12xxx，从而21()()()fxfxfx，这与12()()fxfx矛盾，所以2(0,)xx，即2(0,)x是含峰区间.当21()()fxfx时，假设2(,1)xx，则12xxx，从而12()()()fxfxfx，这与12()()fxfx矛盾，所以1(,1)xx，即1(,1)x是含峰区间.（II）证明：由（I）的结论可知：当12()()fxfx时，含峰区间的长度为12=lx；当12()()fxfx时，含峰区间的长度为21=1-lx；对于上述两种情况，由题意得121-0.5+0.5+xrxr①由①得211+-1+2xxr，即21-2