高中习题数学选修4-5-2

选修4-5第2节[知能演练]一、选择题1．若a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，则a＋b＋c的最大值为()A．1B.2C.3D．2解析：(a＋b＋c)2＝(1×a＋1×b＋1×c)2≤(12＋12＋12)(a＋b＋c)＝3.∴a＋b＋c≤3.当且仅当a＝b＝c＝13时等号成立．故a＋b＋c的最大值为3.故应选C.答案：C2．设a，b∈R，若a2＋b2＝5，则a＋2b的最大值为()A．2B．3C．4D．5解析：由柯西不等式得(a2＋b2)(12＋22)≥(a＋2b)2，因为a2＋b2＝5，所以(a＋2b)2≤25，即－5≤a＋2b≤5，当且仅当b＝2a且a2＋b2＝5时等号成立，故选D.答案：D3．已知a0，且M＝a3＋(a＋1)3＋(a＋2)3，N＝a2(a＋1)＋(a＋1)2(a＋2)＋a(a＋2)2，则M与N的大小关系是()A．M≥NB．MNC．M≤ND．MN解析：取两组数：a，a＋1，a＋2与a2，(a＋1)2，(a＋2)2，显然a3＋(a＋1)3＋(a＋2)3是顺序和；而a2(a＋1)＋(a＋1)2(a＋2)＋a(a＋2)2是乱序和，由排序不等式易知此题中，“顺序和”大于“乱序和”．故应选B.答案：B4．已知x，y均为正数，且x＋y＝2，则x＋4xy＋4y的最大值是()A．8B．9C．10D．11解析：x＋4xy＋4y＝(x＋2y)2≤(12＋22)[(x)2＋(y)2]＝5(x＋y)＝5×2＝10.∴x＋4xy＋4y≤10.当且仅当1×y＝2x.即y＝4x(x0)时等号成立．解y＝4xx＋y＝2得x＝25符合x0，∴x＋4xy＋4y的最大值为10，故应选C.答案：C二、填空题5．把一条长是m的绳子裁成三段，各围成一个正方形，则这三个正方形的面积和的最小值为________．解析：设三段的长度分别为x，y，z，则x＋y＋z＝m，三个正方形的面积和为S＝(x4)2＋(y4)2＋(z4)2＝116(x2＋y2＋z2)．因为(x2＋y2＋z2)(12＋12＋12)≥(x＋y＋z)2＝m2，当且仅当x＝y＝z＝m3时等号成立，所以x2＋y2＋z2有最小值m23，从而S有最小值m248.答案：m2486．设a，b，c均为实数，则a＋b－ca2＋2b2＋3c2的最大值为________．解析：∵a＋b－c＝a＋22·2b－33·3c，由柯西不等式得(a＋b－c)2＝(a＋22·2b－33·3c)2≤[12＋(22)2＋(－33)2](a2＋2b2＋3c2)，∴a＋b－c≤666a2＋2b2＋3c2.∴a＋b－ca2＋2b2＋3c2≤666.故所求的最大值为666.答案：666三、解答题7．在△ABC中，设其各边长为a，b，c，外接圆半径为R，求证：(a2＋b2＋c2)(1sin2A＋1sin2B＋1sin2C)≥36R2.证明：由正弦定理知：asinA＝bsinB＝csinC＝2R.(a2＋b2＋c2)(1sin2A＋1sin2B＋1sin2C)≥(asinA＋bsinB＋csinC)2＝(6R)2＝36R2.即(a2＋b2＋c2)(1sin2A＋1sin2B＋1sin2C)≥36R2.8．设a1、a2、…、an是1、2、…、n的一个排列，求证：12＋23＋…＋n－1n≤a1a2＋a2a3＋…＋an－1an.证明：设b1、b2、…、bn－1是a1、a2、…、an－1的一个排列，且b1b2…bn－1；c1、c2、…、cn－1是a2、a3、…、an的一个排列，且c1c2…cn－1，则1c11c2…1cn－1且b1≥1，b2≥2，…，bn－1≥n－1，c1≤2，c2≤3，…，cn－1≤n.利用排序不等式，有a1a2＋a2a3＋…＋an－1an≥b1c1＋b2c2＋…＋bn－1cn－1≥12＋23＋…＋n－1n.∴原不等式成立．[高考·模拟·预测]1．函数f(x)＝3x＋31－x的最大值＝________.解析：3x＋31－x＝3x＋3－3x，由柯西不等式得(3x＋3－3x)2≤(12＋12)[(3x)2＋(3－3x)2]＝6，∴3x＋3－3x≤1＋1·3x＋3－3x＝6.当且仅当3x＝3－3x即x＝12时等号成立．答案：62．若不等式|a－1|≥x＋2y＋2z，对满足x2＋y2＋z2＝1的一切实数x、y、z恒成立，则实数a的取值范围是________．解析：由柯西不等式得(x＋2y＋2z)2≤(12＋22＋22)(x2＋y2＋z2)＝9，由题意|a－1|≥3，∴a≥4或a≤－2.答案：a≥4或a≤－23．已知a＋b＋c＝1，且a、b、c是正数，求证：2a＋b＋2b＋c＋2c＋a≥9.证明：左边＝[2(a＋b＋c)](1a＋b＋1b＋c＋1c＋a)＝[(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)](1a＋b＋1b＋c＋1c＋a)≥(1＋1＋1)2＝9(或＝[(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)](1a＋b＋1b＋c＋1c＋a)＝3＋a＋bb＋c＋a＋bc＋a＋b＋ca＋b＋b＋cc＋a＋c＋aa＋b＋c＋ab＋c≥3＋2a＋bb＋c·b＋ca＋b＋2a＋bc＋a·c＋aa＋b＋2b＋cc＋a·c＋ab＋c＝9)，∴2a＋b＋2b＋c＋2c＋a≥9.4．已知实数m，n0.(1)求证：a2m＋b2n≥a＋b2m＋n；(2)求函数y＝2x＋91－2x〔x∈(0，12)〕的最小值．(1)证明：因为m，n0，利用柯西不等式，得(m＋n)(a2m＋b2n)≥(a＋b)2，所以a2m＋b2n≥a＋b2m＋n.(2)解：由(1)，函数y＝2x＋91－2x＝222x＋321－2x≥2＋322x＋1－2x＝25，所以函数y＝2x＋91－2x〔x∈(0，12)〕的最小值为25，当且仅当x＝15时取得．