高考圆锥曲线的基本公式推导(学长整合版)

圆锥曲线的几大大题特征公式：焦半径、准线、弦长、切线方程、弦中点公式、极线方程/*另外，针对“计算不好”的同学，本人提供“硬解定理”供大家无脑使用。具体的请参考本目录下的【硬解定理的推导和使用】文章。*/圆锥曲线的切线方程在历年高考题中出现，但是在高中教材及资料都涉及较少。本文主要探索圆锥曲线的切线方程及其应用。从而为解这一类题提供统一、清晰、简捷的解法。【基础知识1：切线方程、极线方程】【1-0】公式小结：x2换成xx0，y2换成yy0，x换成(x+x0)/2,y换成(y+y0)/2.【1-1】椭圆的切线方程：①椭圆12222byax上一点),(00yxP处的切线方程是12020byyaxx。②过椭圆12222byax外一点),(00yxP所引两条切线的切点弦方程是12020byyaxx。③椭圆12222byax与直线0CBxAx相切的条件是022222CbBaA(也就是下篇文档所讲的硬解定理公式△=0的充要条件)【1-2】双曲线的切线方程：①双曲线12222byax上一点),(00yxP处的切线方程是12020byyaxx。②过椭圆12222byax外一点),(00yxP所引两条切线的切点弦方程是12020byyaxx。③椭圆12222byax与直线0CBxAx相切的条件是022222CbBaA【1-3】抛物线的切线方程：②
物线pxy22上一点),(00yxP处的切线方程是)(200xxpyy②过抛物线pxy22外一点处所引两条切线是)(200xxpyy③抛物线pxy22与直线0CBxAx相切的条件是ACpB22【1-4】基础知识的证明：【公式一：曲线C上切点公式证明】1、第1种证明思路：过曲线上一点的切线方程设曲线C上某一点处),(00yxP的切线方程为)(00xxkyy,联立方程，令0,得到k的表达式，再代入原始式，最后得切线方程式1)()(2202202020byaxbyyaxx（注:k的表达式可以在草稿中巧用点差法求,具体见下）2、第2种证明思路：点差法(求斜率，其余跟第一种方法一样)证明：设某直线与曲线C交于M、N两点坐标分别为),(11yx、),(22yx，中点P),(00yx则有)2(.1)1(,1222222221221byaxbyax)2()1(，得.02222122221byyaxx2212121212abxxyyxxyy又.22,000021211212xyxyxxyyxxyykMN2200abxykMN(弦中点公式的椭圆基本表达式。双曲线则是2200abxykMN)当M、N无限趋近时，P在椭圆C上。即得切线斜率0022yxabk3、第三种证明思路(注意：仅供理解，考试使用可能分证明：由2（圆锥曲线切线证明）（同一目录下文章）可知圆上一点的切线方程。222222000022','=''+1,1''''+11xaxybyxyxyabxxyyxxyyab坐标变幻，令,因为圆方程为从而得到变形后椭圆表达式因为圆切线方程为从而得到椭圆切线方程附言：第1种证明思路中，抛物线证明过程中稍微有些不同。③①切线斜率可用导数表示。②得到式子后，要利用pxy220把20y消去。【公式二：曲线外一点引切线，过切点作直线的通式证明】(称为极线方程)证明思路：过),(00yxP作两条曲线C的切线，切点为A),(11yx，B),(22yx。002211CByAxCByAx。所以过A、B两点直线ABl方程为0CBxAx证明(就举椭圆为例)解：过),(00yxP作两条曲线C的切线，切点为A),(11yx，B),(22yx。过A点切线:12121byyaxx，过B点切线：12222byyaxx。过A、B两点直线ABl方程为12020byyaxx【公式三：由公式一的思路可得】【基础知识2：焦半径与准线】(具体关系与内容省略，详情看圆锥曲线知识表格)【1-0】【1-1】焦半径公式(具体推导用“两点间距离公式”也可解决，之后类似“求长度”的题型，求长度式子写“两点间举例公式”，结果可以直接靠背。对于焦半径PF，口诀：椭圆F左加右减。exa(记忆：a大则在前)双曲线F左加右减，双曲线上点P左减右加。aex焦半径与点到准线距离关系如下。即(exa)/e=准线距离xca2推广应用:通过nm,比例e的值cos的值ktan的值巧用公式enmnm1cos(注：双曲线交于同侧、抛物线类似)不过需要注意的是，双曲线交于异侧时，公式就变为enmnm1cos，具体自己推导吧【基础知识3：弦中点公式及系列类似结论拓展】(坐标变幻只能用于证明部分内容)【结论一：弦中点公式】【证明】：设某直线与曲线C交于M、N两点坐标分别为),(11yx、),(22yx，中点P),(00yx则有)2(.1)1(,1222222221221byaxbyax)2()1(，得.02222122221byyaxx2212121212abxxyyxxyy又.22,000021211212xyxyxxyyxxyykMN2200abkkxykOPMNMN即(常用)结论：斜率不变的直线与椭圆交于两点，所得两点中点的轨迹是一条过原点的直线。【抽象理解型证明】具体理解，可以用“坐标系变幻理解”证明：设某斜率为定值k的直线与曲线C交于M、N两点坐标分别为),(11yx、),(22yx，中点P),(00yx22221xyab，令',='xaxyby22(')+(')1xy。∵变幻后，xayb轴缩短倍，轴缩短倍，得到中点轨迹方程始终与MN垂直''2''2'1''OPMNOPMNOPMNybybkkkkxaxabbbkkkkaaa又【结论二：顶点连线斜率乘积公式】(用坐标变幻好理解)(部分设元会用它比较方便)22APBPbkka,具体证明见下面的“拓展性证明”,若要抽象理解的话坐标变幻后两个垂直，证明方法和上面一样。至于双曲线，则是22APBPbkka。结论可以直接背，不过引用的时候还得按照下面的方法老实推导。【结论三：（上一结论的延伸）对称点连线斜率乘积公式】(没法用坐标变幻)证明：不建议设直线，直接设两个元最后消元即可(此处只列椭圆的，双曲线的证明类似)A),(nm、B),(nm在椭圆上，且关于原点对称。则有)2(.1)1(,12222221221bnambyax)2()1(，得222222abmxny222222==APBPynynynbkkxmxmxma∴