高考圆锥曲线经典真题

第1页共12页高考圆锥曲线经典真题知识整合：直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等.突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法，要求考生分析问题和解决问题的能力、计算能力较高，起到了拉开考生“档次”，有利于选拔的功能.1.（江西卷15）过抛物线22(0)xpyp的焦点F作倾角为30的直线，与抛物线分别交于A、B两点（A在y轴左侧），则AFFB．132(2008年安徽卷)若过点A(4,0)的直线l与曲线22(2)1xy有公共点,则直线l的斜率的取值范围为()A.[3,3]B.(3,3)C.33[,]33D.33(,)333(2008年海南---宁夏卷)设双曲线221916xy的右顶点为A,右焦点为F,过点F平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B,则三角形AFB的面积为-___________.热点考点探究：考点一：直线与曲线交点问题例1.已知双曲线C：2x2－y2=2与点P(1，2)(1)求过P(1，2)点的直线l的斜率取值范围，使l与C分别有一个交点，两个交点，没有交点.解：(1)当直线l的斜率不存在时，l的方程为x=1,与曲线C有一个交点.当l第2页共12页的斜率存在时，设直线l的方程为y－2=k(x－1),代入C的方程，并整理得(2－k2)x2+2(k2－2k)x－k2+4k－6=0(*)(ⅰ)当2－k2=0,即k=±2时，方程(*)有一个根，l与C有一个交点(ⅱ)当2－k2≠0,即k≠±2时Δ=［2(k2－2k)］2－4(2－k2)(－k2+4k－6)=16(3－2k)①当Δ=0,即3－2k=0,k=23时，方程(*)有一个实根，l与C有一个交点.②当Δ＞0,即k＜23,又k≠±2,故当k＜－2或－2＜k＜2或2＜k＜23时，方程(*)有两不等实根，l与C有两个交点.③当Δ＜0，即k＞23时，方程(*)无解，l与C无交点.综上知：当k=±2,或k=23，或k不存在时，l与C只有一个交点；当2＜k＜23,或－2＜k＜2,或k＜－2时，l与C有两个交点；当k＞23时，l与C没有交点.(2)假设以Q为中点的弦存在，设为AB，且A(x1,y1),B(x2,y2)，则2x12－y12=2,2x22－y22=2两式相减得：2(x1－x2)(x1+x2)=(y1－y2)(y1+y2)又∵x1+x2=2,y1+y2=2∴2(x1－x2)=y1－y1即kAB=2121xxyy=2但渐近线斜率为±2,结合图形知直线AB与C无交点，所以假设不正确，即以Q为中点的弦不存在.第3页共12页(2)若Q(1，1)，试判断以Q为中点的弦是否存在.考点二：圆锥曲线中的最值问题对于圆锥曲线问题上一些动点，在变化过程中会引入一些相互联系、相互制约的变量，从而使变量与其中的参变量之间构成函数关系，此时，用函数思想与函数方法处理起来十分方便。例2直线m：1kxy和双曲线122yx的左支交于A、B两点，直线l过P（0,2）和AB线段的中点M，求l在y轴上的截距b的取值范围。解：由)1(1122xyxkxy消去y得022)1(22kxxk，由题意，有：0120120)1(8422122122kxxkkxxkk21k设M（00,yx），则200221011112kkxykkxxx由P（0,2）、M（2211,1kkk）、Q（b,0）三点共线，可求得2222kkb设22)(2kkkf817)41(22k，则)(kf在)2,1(上为减函数。所以)1()()2(fkff，且0)(kf所以1)()22(kf所以)22(b或2b考点三：弦长问题涉及弦长问题，应熟练地利用韦达定理设而不求计算弦长，涉及垂直关系往往也是利用韦达定理，设而不求简化运算.第4页共12页例3.如图所示，抛物线y2=4x的顶点为O，点A的坐标为(5，0)，倾斜角为4的直线l与线段OA相交(不经过点O或点A)且交抛物线于M、N两点，求△AMN面积最大时直线l的方程，并求△AMN的最大面积.解：由题意，可设l的方程为y=x+m,－5＜m＜0.由方程组xymxy42,消去y,得x2+(2m－4)x+m2=0①∵直线l与抛物线有两个不同交点M、N，∴方程①的判别式Δ=(2m－4)2－4m2=16(1－m)＞0,解得m＜1,又－5＜m＜0,∴m的范围为(－5，0)设M(x1,y1),N(x2,y2)则x1+x2=4－2m，x1·x2=m2,∴|MN|=4)1(2m.点A到直线l的距离为d=25m.∴S△=2(5+m)m1,从而S△2=4(1－m)(5+m)2=2(2－2m)·(5+m)(5+m)≤2(35522mmm)3=128.∴S△≤82,当且仅当2－2m=5+m,即m=－1时取等号.故直线l的方程为y=x－1，△AMN的最大面积为82.考点4：圆锥曲线关于直线对称问题例4.已知椭圆的中心在圆点,一个焦点是F(2,0),且两条准线间的距离为(4),(I)求椭圆的方程;(II)若存在过点A(1,0)的直线l,使点F关于直线l的对称点在椭圆上,求的取值范围.第5页共12页【解析】(I)设椭圆的方程为22221(0)xyabab由条件知2222,,acac且所以,2224bac故椭圆的方程是221(4)4xy(II)依题意,直线l的斜率存在且不为0,记为k,则直线l的方程是(1)ykx,设点F(2,0)关于直线l的对称点为/00(,)Fxy,则0002002022(1)2212121yxkxkykkyxk解得因为/00(,)Fxy在椭圆上,所以222222()()1114kkk即422(4)2(6)(4)0kk故2kt,则22(4)2(6)(4)0tt因为2(4)4,0(4)所以于是,当且仅当23[2(6)]4(4)0,2(6)0,(4)(*)上述方程存在正实根,即直线l存在.解(*)得16,1643346所以即的取值范围是1643规律总结1.判定直线与圆锥曲线位置关系时,应将直线l方程与圆锥曲线C的方程联立,第6页共12页消去y(也可消去x)得一个关于变量x的一元方程220.axbx①当0a时,若有0,则l与C相交;若0,则l与C相切;若0,则l与C相离.②当0a时,得到一个一元一次方程,若方程有解,则有直线l与C相交,此时只有一个公共点;若C为双曲线,则l平行于双曲线的渐近线;若C为抛物线,则l平行于抛物线的轴.所以只有当直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时,直线与双曲线、抛物线可能相切,也可能相交.2.“设而不求”的方法若直线l与圆锥曲线C有两个交点A和B时,一般地,首先设出交点A(11,xy)、B(22,xy),它们是过渡性参数,不须求出,有时运用韦达定理解决问题,有时利用点在曲线上代入曲线方程整体运算求解.3.韦达定理与弦长公式斜率为k的直线被圆锥曲线截得弦AB,若A(11,xy),B(22,xy)则2|||12|1ABxxk21|12|1(0)yykk,然后再结合韦达定理可求出弦长等.专题能力训练：一、选择题1.斜率为1的直线l与椭圆42x+y2=1相交于A、B两点，则|AB|的最大值为()A.2B.554C.5104D.51082.抛物线y=ax2与直线y=kx+b(k≠0)交于A、B两点，且此两点的横坐标分别为x1,x2,直线与x轴交点的横坐标是x3,则恒有()A.x3=x1+x2B.x1x2=x1x3+x2x3第7页共12页C.x1+x2+x3=0D.x1x2+x2x3+x3x1=01.解析：弦长|AB|=55422t≤5104.答案：C2.解析：解方程组bkxyaxy2,得ax2－kx－b=0,可知x1+x2=ak,x1x2=－ab,x3=－kb,代入验证即可.答案：B3.斜率为2的直线l过双曲线22221(0,0)xyabab的右焦点,且与双曲线的左、右两支分别相交,则双曲线的离心率e的取值范围是(D)A.2eB.13eC.15eD.5e4.过点A(4,0)的直线与抛物线24yx交于另外两点B、C,O是坐标原点,则三角形BOC是(C)A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.形状不确定二、填空题5.已知两点M(1，45)、N(－4，－45)，给出下列曲线方程：①4x+2y－1=0,②x2+y2=3,③22x+y2=1,④22x－y2=1,在曲线上存在点P满足|MP|=|NP|的所有曲线方程是_________..解析：点P在线段MN的垂直平分线上，判断MN的垂直平分线于所给曲线是否存在交点.答案：②③④6.正方形ABCD的边AB在直线y=x+4上，C、D两点在抛物线y2=x上，则正方形第8页共12页ABCD的面积为_________.7.在抛物线y2=16x内，通过点(2，1)且在此点被平分的弦所在直线的方程是_________.6解析：设C、D所在直线方程为y=x+b,代入y2=x,利用弦长公式可求出|CD|的长，利用|CD|的长等于两平行直线y=x+4与y=x+b间的距离，求出b的值，再代入求出|CD|的长.答案：18或507.解析：设所求直线与y2=16x相交于点A、B，且A(x1,y1),B(x2,y2),代入抛物线方程得y12=16x1,y22=16x2,两式相减得，(y1+y2）(y1－y2)=16(x1－x2).即21212116yyxxyykAB=8.故所求直线方程为y=8x－15.答案：8x－y－15=0三、解答题8.已知抛物线y2=2px(p＞0),过动点M(a,0)且斜率为1的直线l与该抛物线交于不同的两点A、B，且|AB|≤2p.(1)求a的取值范围.(2)若线段AB的垂直平分线交x轴于点N，求△NAB面积的最大值.9.知中心在原点，顶点A1、A2在x轴上，离心率e=321的双曲线过点P(6，6).第9页共12页(1)求双曲线方程.(2)动直线l经过△A1PA2的重心G，与双曲线交于不同的两点M、N，问：是否存在直线l,使G平分线段MN，证明你的结论.10.已知双曲线C的两条渐近线都过原点，且都以点A(2，0)为圆心，1为半径的圆相切，双曲线的一个顶点A1与A点关于直线y=x对称.(1)求双曲线C的方程.(2)设直线l过点A，斜率为k,当0＜k＜1时，双曲线C的上支上有且仅有一点B到直线l的距离为2，试求k的值及此时B点的坐标.11.已知过双曲线方程22142xy(1)过M(1,1)的直线交双曲线于A、B两点,若M为弦AB的中点,求直线AB的方程;(2)是否存在直线l,使1(1,)2N为l被双曲线所截得弦的中点,若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由.8解：(1)设直线l的方程为：y=x－a,代入抛物线方程得(x－a)2=2px,即x2－2(a+p)x+a2=0∴|AB|=224)(42apa≤2p.∴4ap+2p2≤p2,即4ap≤－p2又∵p＞0,∴a≤－4p.(2)设A(x1,y1)、B(x2,y2)，AB的中点C(x,y),由(1)知，y1=x1－a,y2=x2－a,x1+x2=2a+2p,则有x=222,2212121axxyyypaxx=p.∴线段AB的垂直平分线的方程为y－p=－(x－a－p),从而N点坐标为(a+2p,0）第10页共12页点N到AB的距离为papa22|2|从而S△NAB=2222224)(4221pap