高三高考数学国步分项分类题及析答案十一

高三高考数学国步分项分类题及析答案十一3-1导数的概念及运算基础巩固强化1.(文)(2011·青岛质检)设f(x)＝xlnx，若f′(x0)＝2，则x0＝()A．e2B．eC.ln22D．ln2[答案]B[解析]f′(x)＝1＋lnx，∴f′(x0)＝1＋lnx0＝2，∴lnx0＝1，∴x0＝e，故选B.(理)已知函数y＝f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程是x－2y＋1＝0，则f(1)＋2f′(1)的值是()A.12B．1C.32D．2[答案]D[解析]由条件知，y＝f(x)在点(1，f(1))处切线的斜率f′(1)＝12，又点(1，f(1))在切线x－2y＋1＝0上，∴f(1)＝1，∴f(1)＋2f′(1)＝1＋2×12＝2.2．(文)(2011·广东省东莞市模拟)已知曲线y＝18x2的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为()A．4B．3C．2D.12[答案]C[解析]由条件知，k＝y′＝14x＝12，∴x＝2.(理)(2012·乌鲁木齐地区二诊)直线y＝12x＋b与曲线y＝－12x＋lnx相切，则b的值为()A．－2B．－1C．－12D．1[答案]B[解析]设切点(a，－12a＋lna)，y′＝－12＋1x，∴－12＋1a＝12，a＝1，故切点(1，－12)在直线y＝12x＋b上，有－12＝12＋b，∴b＝－1.3．(文)(2011·皖南八校联考)直线y＝kx＋b与曲线y＝x3＋ax＋1相切于点(2,3)，则b的值为()A．－3B．9C．－15D．－7[答案]C[解析]将点(2,3)分别代入曲线y＝x3＋ax＋1和直线y＝kx＋b，得a＝－3,2k＋b＝3.又k＝y′|x＝2＝(3x2－3)|x＝2＝9，∴b＝3－2k＝3－18＝－15.(理)(2011·广东华南师大附中测试)曲线y＝2x2在点P(1，2)处的切线方程是()A．4x－y－2＝0B．4x＋y－2＝0C．4x＋y＋2＝0D．4x－y＋2＝0[答案]A[解析]∵k＝y′|x＝1＝4x|x＝1＝4，∴切线方程为y－2＝4(x－1)，即4x－y－2＝0.4．已知y＝tanx，x∈0，π2，当y′＝2时，x等于()A.π3B.23πC.π4D.π6[答案]C[解析]y′＝(tanx)′＝sinxcosx′＝cos2x＋sin2xcos2x＝1cos2x＝2，∴cos2x＝12，∴cosx＝±22，∵x∈0，π2，∴x＝π4.5．(文)(2011·山东淄博一中期末)曲线y＝13x3＋x在点1，43处的切线与坐标轴围成的三角形面积为()A．1B.19C.13D.23[答案]B[解析]∵y′＝x2＋1，∴k＝2，切线方程y－43＝2(x－1)，即6x－3y－2＝0，令x＝0得y＝－23，令y＝0得x＝13，∴S＝12×13×23＝19.(理)(2012·烟台调研)设曲线y＝x＋1x－1在点(3,2)处的切线与直线ax＋y＋1＝0垂直，则a等于()A．2B．－2C．－12D.12[答案]B[解析]∵f′(x)＝x－1－x＋1x－12＝－2x－12，∴f′(3)＝－12，由条件知，－12×(－a)＝－1，∴a＝－2.6．(文)等比数列{an}中，a1＝2，a8＝4，函数f(x)＝x(x－a1)(x－a2)…(x－a8)，则f′(0)＝()A．26B．29C．212D．215[答案]C[解析]f′(x)＝x′·[(x－a1)(x－a2)…(x－a8)]＋[(x－a1)(x－a2)…(x－a8)]′·x＝(x－a1)(x－a2)…(x－a8)＋[(x－a1)(x－a2)…(x－a8)]′·x，所以f′(0)＝(0－a1)(0－a2)…(0－a8)＋[(0－a1)(0－a2)…(0－a8)]′·0＝a1a2…a8.因为数列{an}为等比数列，所以a2a7＝a3a6＝a4a5＝a1a8＝8，所以f′(0)＝84＝212.(理)(2013·辽宁大连二十四中上学期期中考试)设函数f(x)＝sinωx＋π6－1(ω0)的导函数f′(x)的最大值为3，则f(x)图象的一条对称轴方程是()A．x＝π9B．x＝π6C．x＝π3D．x＝π2[答案]A[解析]f′(x)＝ωcosωx＋π6的最大值为3，即ω＝3，∴f(x)＝sin3x＋π6－1.由3x＋π6＝π2＋kπ得，x＝π9＋kπ3(k∈Z)．故A正确．7．设θ为曲线y＝x3＋3x2＋ax＋2的切线的倾斜角，且所有θ组成的集合为[π4，π2)，则实数a的值为________．[答案]4[解析]设切线的斜率为k，则k＝y′＝3x2＋6x＋a，又∵k＝tanθ，θ∈[π4，π2)，∴k∈[1，＋∞)．又k＝3(x＋1)2＋a－3，∴当x＝－1时，k取最小值为a－3＝1.∴a＝4.8．(文)(2011·北京模拟)已知函数f(x)＝3x3＋2x2－1在区间(m,0)上总有f′(x)≤0成立，则m的取值范围为________．[答案][－49，0)[解析]∵f′(x)＝9x2＋4x≤0在(m,0)上恒成立，且f′(x)＝0的两根为x1＝0，x2＝－49，∴－49≤m0.(理)设a∈R，函数f(x)＝x3＋ax2＋(a－3)x的导函数是f′(x)，若f′(x)是偶函数，则曲线y＝f(x)在原点处的切线方程为________．[答案]y＝－3x[解析]f′(x)＝3x2＋2ax＋(a－3)，又∵f′(x)为偶函数，∴f′(－x)＝f′(x)，即3x2－2ax＋(a－3)＝3x2＋2ax＋(a－3)对任意x∈R都成立，∴a＝0，∴f′(x)＝3x2－3，f′(0)＝－3，∴曲线y＝f(x)在原点处的切线方程为y＝－3x.9．(2011·济南模拟)设曲线y＝xn＋1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，令an＝lgxn，则a1＋a2＋…＋a99的值为________．[答案]－2[解析]点(1,1)在曲线y＝xn＋1(n∈N*)上，点(1,1)为切点，y′＝(n＋1)xn，故切线的斜率为k＝n＋1，曲线在点(1,1)处的切线方程y－1＝(n＋1)(x－1)，令y＝0得切点的横坐标为xn＝nn＋1，故a1＋a2＋…＋a99＝lg(x1x2…x99)＝lg(12×23×…×99100)＝lg1100＝－2.10．(文)设函数y＝ax3＋bx2＋cx＋d的图象与y轴交点为P，且曲线在P点处的切线方程为12x－y－4＝0.若函数在x＝2处取得极值0，试确定函数的解析式.[解析]∵y＝ax3＋bx2＋cx＋d的图象与y轴的交点为P(0，d)，又曲线在点P处的切线方程为y＝12x－4，P点坐标适合方程，从而d＝－4；又切线斜率k＝12，故在x＝0处的导数y′|x＝0＝12而y′|x＝0＝c，从而c＝12；又函数在x＝2处取得极值0，所以y′|x＝2＝0，f2＝0.即12a＋4b＋12＝0，8a＋4b＋20＝0.解得a＝2，b＝－9，所以所求函数解析式为y＝2x3－9x2＋12x－4.(理)已知函数f(x)＝ax2＋blnx在x＝1处有极值12.(1)求a、b的值；(2)判断函数y＝f(x)的单调性并求出单调区间．[解析](1)因为函数f(x)＝ax2＋blnx，所以f′(x)＝2ax＋bx.又函数f(x)在x＝1处有极值12，所以f′1＝0，f1＝12，即2a＋b＝0，a＝12，可得a＝12，b＝－1.(2)由(1)可知f(x)＝12x2－lnx，其定义域是(0，＋∞)，且f′(x)＝x－1x＝x＋1x－1x.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(0,1)1(1，＋∞)f′(x)－0＋f(x)↘极小值↗所以函数y＝f(x)的单调减区间是(0,1)，单调增区间是(1，＋∞)．能力拓展提升11.(2013·辽宁省沈阳四校期中联考)若函数y＝x33－x2＋1(0x2)的图象上任意点处切线的倾斜角为α，则α的最小值是()A.π4B.π6C.5π6D.3π4[答案]D[解析]y′＝x2－2x＝(x－1)2－1，∵0x2，∴－1≤y′0，由题意知－1≤tanα0，∴3π4≤απ，故选D.12．(2011·广东省汕头市四校联考)已知函数f(x)(x∈R)满足f(1)＝1，且f(x)的导函数f′(x)12，则f(x)x2＋12的解集为()A．{x|－1x1}B．{x|x－1}C．{x|x－1或x1}D．{x|x1}[答案]D[解析]令φ(x)＝f(x)－x2－12，则φ′(x)＝f′(x)－120，∴φ(x)在R上是减函数，∵φ(1)＝f(1)－12－12＝1－1＝0，∴φ(x)＝f(x)－x2－120的解集为{x|x1}，选D.13．(文)二次函数y＝f(x)的图象过原点，且它的导函数y＝f′(x)的图象是过第一、二、三象限的一条直线，则函数y＝f(x)的图象的顶点在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限[答案]C[解析]由题意可设f(x)＝ax2＋bx，f′(x)＝2ax＋b，由于f′(x)图象是过第一、二、三象限的一条直线，故2a0，b0，则f(x)＝a(x＋b2a)2－b24a，顶点(－b2a，－b24a)在第三象限，故选C.(理)函数f(x)＝xcosx的导函数f′(x)在区间[－π，π]上的图象大致为()[答案]A[解析]∵f(x)＝xcosx，∴f′(x)＝cosx－xsinx，∴f′(－x)＝f′(x)，∴f′(x)为偶函数，排除C；∵f′(0)＝1，排除D；由f′π2＝－π20，f′(2π)＝10，排除B，故选A.14．(2011·朝阳区统考)若曲线f(x)＝ax3＋lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是________．[答案](－∞，0)[解析]由题意，可知f′(x)＝3ax2＋1x，又因为存在垂直于y轴的切线，所以3ax2＋1x＝0⇒a＝－13x3(x0)⇒a∈(－∞，0)．15．(文)已知曲线y＝13x3＋43.(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程；(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程．[解析]y＝13x3＋43，则y′＝x2.(1)由题意可知点P(2,4)为切点，y′|x＝2＝22＝4，所以曲线在点P(2,4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.(2)由题意可知点P(2,4)不一定为切点，故设切点为(x0，13x30＋43)，y′|x＝x0＝x20，曲线过点P(2,4)的切线方程为y－(13x30＋43)＝x20(x－x0)，所以4－(13x30＋43)＝x20(2－x0)，x30－3x20＋4＝0⇔(x30＋1)－3(x20－1)＝0⇔(x0＋1)(x20－4x0＋4)＝0.解得x0＝－1或x0＝2，即切点为(－1,1)或(2,4)．所以曲线过点P(2,4)的切线方程为x－y＋2＝0和4x－y－4＝0.(理)设函数f(x)＝ax＋bx的图象在点M(3，f(3))处的切线方程为2x－3y＋23＝0.(1)求f(x)的解析式；(2)求函数f(x)的单调递减区间；(3)证明曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，并求此定值．[解析](1)因为切点在切线上，所以将点M坐标代入切线方程解得f(3)＝433.∵f(x)＝ax＋bx，∴f′(x)＝a－bx2，根据题意，得关于a，b的方程组a－b3＝23，3a＋b3＝433，解得a＝1，b＝1.所以f(x)的解析式为f(x)＝x＋1x.(2)由f′(x)＝1－1x2(x≠0)，令f′(x)0，解得－1x0或0x1.所以f(x)的单调递减区间为(－1,0)，(0,1)．(3)证明：设P(x0，y0)为曲线上任一点，由y′＝1－1x2知曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝(1－1x20)(x－x0)，即y－(x0＋1x0