高中三角函数期末精讲精练

第1页共8页三角函数期末精讲精练三角函数精讲一、基本概念、定义：1.角的概念推广后，包括、、，与α终边相同的角表示为。终边角：x轴上y轴上第一象限第二象限第二四象限直线y＝x上2.弧度制：把叫1弧度的角。公式：|α|＝—换算：180°＝弧度；1弧度＝度；1°＝弧度扇形：弧长L＝＝，面积S＝＝3.任意角的三角函数：①定义：角α终边上任意一点P(x，y)，则r＝，六个三角函数的定义依次是、、、、、。②三角函数线：角的终边与单位圆交于点P，过点P作轴的垂线，垂足为M，则。过点A(1,0)作，交于点T，则。③同角三角函数关系式：平方关系：商数关系：倒数关系：④诱导公式：角xSinxCosxTanxSin(2－α)＝cos(2－α)＝Tan(2－α)＝能推导：2＋α；23＋α；23－α口诀：函数名变反，符号看象限。π—απ＋α—α2π-α2kπ+α口诀二、基本三角公式：（1～2要求能熟练运用：顺用、逆用、变形用，3～6要求能证明，不记忆）1．和、差角公式)sin()cos()tan(2．二倍角公式2sin2cos＝＝2tan倍角公式变形：降幂公式cossin2sin2cos3．半角公式(书P45～46)2cos12sin,2cos12cos,sincos1cos1sincos1cos12tan4．万能公式：2tan12tan2sin2；2tan12tan1cos22；2tan12tan2tan2．5．积化和差公式(书P46～47)第2页共8页)]sin()[sin(21cossin；)]sin()[sin(21sincos；)]cos()[cos(21coscos；)]cos()[cos(21sinsin．6．和差化积公式(书P46～47)2cos2sin2sinsin；2sin2cos2sinsin；2cos2cos2coscos；2sin2sin2coscos．应用公式解题的基本题型：化简、求值、证明基本技巧：①1的妙用：1＝＝＝②变角：(x+y)＋(x－y)＝(x+y)＋(x－y)＝α＝＝＝等③变名：切化弦；弦化切④化一：asinx＋bcosx＝三、三角函数性质函数正弦函数y＝sinx余弦函数y=cosx正切函数y＝tanx图像定义域值域值域：当x＝时y最小；当x＝时y最大；值域：当x＝时y最小；当x＝时y最大；值域：周期/奇偶周期T＝奇偶性：周期T＝奇偶性：周期T＝奇偶性：单调性增：减：增：减：增区间：对称中心对称轴四、y＝Asin(ωx＋ψ)的图像和性质：1、作图：五点法，依次取ωx＋ψ＝2、周期T＝3、单调区间：Aω0时，增区间：解不等式≤ωx＋ψ≤减区间：解不等式≤ωx＋ψ≤Aω0时，增区间：解不等式≤ωx＋ψ≤减区间：解不等式≤ωx＋ψ≤4、最大值：A0时，当ωx＋ψ＝时，y取最大值A。最小值：A0时，当ωx＋ψ＝时，y取最小值－A。5、概念：振幅；周期T＝；频率f＝；初相；相位。6、三角变换：(A0，ω0)将y＝sinx的图像—————————y＝sin(x＋ψ)——————————y＝sin(ωx＋ψ)第3页共8页——————————y＝Asin(ωx＋ψ)或者：将y＝sinx的图像—————————y＝sin(ωx)—————————y＝sin(ωx＋ψ)——————————y＝Asin(ωx＋ψ)7、联系：y＝tan((ωx＋ψ)(ω0)的周期是T＝，单调区间是解不等式。五、反三角定义：1.在闭区间上，符合条件sinx＝a(-1≤a≤1)的角x叫a的反正弦，记作：x＝在闭区间上，符合条件cosx＝a(-1≤a≤1)的角x叫a的反余弦，记作：x＝在开区间上，符合条件tanx＝a的角x叫a的反正切，记作：x＝2.反三角的三角函数、三角函数的反三角：例：sin(arcsinx)＝，其中x∈[-1,1]；arcsin（sinx）＝，其中x∈[－2，2]；六、数学思想方法：数形结合思想，例如：解三角不等式可以用、或；整体思想，例如：研究函数y＝Asin(ωx＋ψ)的图像和性质可以把看成整体三角函数精练A⒈已知α是钝角，那么α2是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第一与第二象限角D．不小于直角的正角2．角α的终边过点P（－4k，3k）(k＜0}，则cosα的值是（）A．35B．45C．－35D．－453．已知点P(sinα－cosα，tanα)在第一象限，则在［0，2π］内，α的取值范围是()A．(π2，3π4)∪(π，5π4)B．(π4，π2)∪(π，5π4)C．(π2，3π4)∪(5π4，3π2)D．(π4，π2)∪(3π4，π)4．若sinx=－35，cosx=45，则角2x的终边位置在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限5．若4π＜α＜6π，且α与－2π3终边相同，则α=．6．角α终边在第三象限，则角2α终边在象限．7．已知｜tanx｜=－tanx，则角x的集合为．8．如果θ是第三象限角，则cos(sinθ)·sin(sinθ)的符号为什么？9．已知扇形AOB的周长是6cm，该扇形中心角是1弧度，求该扇形面积．B1．sin600°的值是（）A．12B．－12C．32D．－322．sin(π4+α)sin（π4－α）的化简结果为（）A．cos2αB．12cos2αC．sin2αD．12sin2α3．已知sinx+cosx=15，x∈［0，π］，则tanx的值是（）第4页共8页A．－34B．－43C．±43D．－34或－434．已知tanα=－13，则12sinαcosα+cos2α=．5．1－2sin10°cos10°cos10°－1－cos2170°的值为．6．证明1+2sinαcosαcos2α－sin2α=1+tanα1－tanα．7．已知2sinθ+cosθsinθ－3cosθ=－5，求3cos2θ+4sin2θ的值．8．已知锐角α、β、γ满足sinα+sinγ=sinβ，cosα－cosγ=cosβ，求α－β的值．C.1．已知0＜α＜π2＜β＜π，sinα=35，cos(α+β)=－45，则sinβ等于（）A．0B．0或2425C．2425D．0或－24252．sin7°+cos15°sin8°cos7°－sin15°sin8°的值等于（）A．2+3B．2+32C．2－3D．2－323．△ABC中，3sinA+4cosB=6，4sinB+3cosA=1，则∠C的大小为（）A．π6B．5π6C．π6或5π6D．π3或2π34．若α是锐角，且sin(α－π6)=13，则cosα的值是．5．cosπ7cos2π7cos3π7=．6．已知tanθ=12，tanφ=13，且θ、φ都是锐角．求证：θ+φ=45°．7．已知cos(α－β)=－45，cos(α+β)=45，且（α－β）∈（π2，π），α+β∈（3π2，2π），求cos2α、cos2β的值．8．已知sin(α+β)=12，且sin(π+α－β)=13，求tanαtanβ．D1．cos75°+cos15°的值等于（）A．62B－62C．－22D．222．a=22（sin17°+cos17°），b=2cos213°－1，c=22，则（）A．c＜a＜bB．b＜c＜aC．a＜b＜cD．b＜a＜c3．化简1+sin2θ-cos2θ1+sin2θ+cos2θ=．4．化简sin(2α+β)－2sinαcos(α+β)=．5．在△ABC中，已知A、B、C成等差数列，则tanA2+tanC2+3tanA2tanC2的值为．6．化简sin2A+sin2B+2sinAsinBcos(A+B)．7化简sin50°(1+3tan10°)．8已知sin(α+β)=1，求证：sin(2α+β)+sin(2α+3β)=0．E1．函数y=lg(2cosx－1)的定义域为（）第5页共8页A．{x｜－π3＜x＜π3}B．{x｜－π6＜x＜π6｝C．{x｜2kπ－π3＜x＜2kπ+π3，k∈Z}D．{x｜2kπ－π6＜x＜2kπ+π6，k∈Z}2．如果α、β∈（π2，π），且tanα＜cotβ，那么必有（）A．α＜βB．β＜αC．α+β＜3π2D．α+β＞3π23．若f(x)sinx是周期为π的奇函数，则f(x)可以是（）A．sinxB．cosxC．sin2xD．cos2x4．下列命题中正确的是（）A．若α、β是第一象限角，且α＞β，且sinα＞sinβB．函数y=sinxcotx的单调递增区间是（2kπ－π2，2kπ+π2），k∈ZC．函数y=1－cos2xsin2x的最小正周期是2πD．函数y=sinxcos2φ－cosxsin2φ的图象关于y轴对称，则φ=kπ2＋π4，k∈Z5．函数y=sinx2+cosx2在（－2π，2π）内的递增区间是．6．y=sin6x+cos6x的周期为．7．比较下列函数值的大小：（1）sin2，sin3，sin4；(2)cos2θ，sin2θ，tan2θ（π4＜θ＜π2）．8．设f(x)=sin(k5x+π3)(k≠0)．(1)写出f(x)的最大值M，最小值m，以及最小正周期T；（2）试求最小的正整数k，使得当自变量x在任意两个整数间（包括整数本身）变化时，函数f(x)至少有一个M与m．F.1．函数y=12sin(2x+θ)的图象关于y轴对称的充要条件是（）A．θ=2kπ+π2B．θ=kπ+π2C．θ=2kπ+πD．θ=kπ+π(k∈Z)2．先将函数y=sin2x的图象向右平移π3个单位长度，再将所得图象作关于y轴的对称变换，则所得函数图象对应的解析式为（）A．y=sin(－2x+π3)B．y=sin(－2x－π3)C．y=sin(－2x+2π3)D．y=sin(－2x－2π3)3．右图是周期为2π的三角函数y=f(x)的图象，那么f(x)可以写成（）A．sin(1+x)B．sin(－1－x)C．sin(x－1)D．sin(1－x)4．y=tan(12x－π3)在一个周期内的图象是（）yx－111yyyyxxxxOOO3336665673232323534BACD第6页共8页5．已知函数y=2cosx(0≤x≤2π)的图象与直线y=2围成一个封闭的平面图形，则该封闭图形面积是．6．将y=sin(3x－π6)的图象向（左、右）平移个单位可得y=sin(3x+π3）的图像．7．已知函数y=Asin(ωx+φ)，在同一个周期内，当x=π9时取得最大值12，当x=4π9时取得最小值－12，若A＞0，ω＞0，｜φ｜＜π2，求该函数的解析表达式．8．已知函数y=3sinx+cosx，x∈R．(1)当y取得最大值时，求自变量x的取值集合；（2）该函数的图象可由y=sinx(x∈R)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？9．如图：某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数y=Asin(ωx+φ)+b．（1）求这段时间的最大温差；（2）写出这段曲线的函数解析式．G1．函数y=12+sinx+cosx的最大值是（）A．22－1B．22＋1C．1－22D．－1－222．若2α+β=π，则y=cosβ－6sinα的最大值和最小值分别为（）A．7，5B．7，－112C．5，－112D．7，－53．当0≤x≤π2时，函数f(x)=sinx+1cosx+1的（）A．最大值为2，最小值为12B．最大值为2，最小值为0C．最大值为2，最小值不存在D．最大值不存在，最小值为04．已知关于x的方程cos2x－sinx+a=0，若0＜x＜π2时方程有解，则a的取值范围是（）A．［－1，1］B．（－1，1）C．［－1，0］D．（－∞，－54）5．要使sinα－3cosα=4m－64－m有意义，则m的取值