高考复习专题之三角函数的图像

选校网专业大全历年分数线上万张大学图片大学视频院校库学科:数学年级：高一版本：人教版期数：2333本周教学内容：4.9函数y=Asin(ω+φ)的图像【基础知识精讲】1.用五点法作y=Asin(ωx+φ)(ω＞0)的图像时，我们采用换元法，将ωx+φ看成y=sinx中的x，模仿y=sinx的五点法来作.ωx1+φ=0x1=-,ωx2+φ=2x2=2ωx3=πx3=,ωx4+φ=23x4=23,ωx5+φ=2πx5=2.即五点(-,0),(2,A),(,0).(23,-A).(2,0)2.函数y=Asin(ωx+φ)的图像与y=sinx的图像关系.(1)振幅变换函数y=Asinx(A＞0,且A≠1)的图像，可以看作是y=sinx图像上所有点的纵坐标伸长(A＞1)或缩短(0＜A＜1)到原来的A倍(横坐标不变)而得到的.这种变换叫振幅变换，它实质上是纵向的伸缩.(2)周期变换函数y=sinωx(ω＞0,且ω≠1)的图像，可以看作是把y=sinx的图像上各点的横坐标都缩短(ω＞1)或伸长(0＜ω＜1)到原来的1倍(纵坐标不变)而得到的，由y=sinx的图像变换为y=sinωx的图像，其周期由2π变2.这种变换叫做周期变换.它实质上是横向的伸缩.(3)相位变换函数y=sin(x+φ)(φ≠0)的图像，可以看作是把y=sinx的图像上各点向左(φ＞0)或向右(φ＜0)平移｜φ｜个单位而得到的.这种由y=sinx的图像变换为y=sin(x+φ)的图像的变换，使相位x变为x+φ,我们称它为相位变换.它实质上是一种左右平移变换.应用振幅变换、周期变换、相位变换(左右平移变移)和上下平移变换可由y=sinx的图像得到y=Asin(ωx+φ)+k的图像.事实上，设f、t、h分别表示相位变换，周期变换，振幅变换，则变换作图法共有以下不同的程序.(1)f→t→h;(2)f→g→t(3)t→h→f;(4)t→f→h;(5)h→f→t;(6)h→t→f3.y=Asin(ωx+φ)(A＞0，ω＞0)与振动在物理学中，y=Asin(ωt+φ)(A＞0,ω＞0),其中t∈［0，+∞)，表示简谐振动的运动方程.这时参数A，ω，φ有如下物理意义.A称为振幅，它表示振动时物体离开平衡位置的最大距离.T=2称为周期，它表示振动一次所需的时间(亦即函数y的最小正周期).f=T1=2称为振动的频率，它表示单位时间内往复振动的次数，ωt+φ叫做相位，当t=0时的相位，即φ称为初相.选校网函数图像的对称变换一个函数的图像经过适当的变换(例如对称、平移、伸缩等)得到与其图像有关函数的图像，叫做函数的初等变换.前面的平移、伸缩变换均属初等变换.对称变换主要指下面几种：(1)函数y=-f(x)的图像与y=f(x)的图像关于x轴对称.(2)函数y=f(-x)的图像与y=f(x)的图像关于y轴对称.(3)函数y=f(-x)的图像与y=-f(x)的图像关于原点对称.(4)函数y=f-1(x)(或x=f(y))的图像与y=f(x)的图像关于直线y=x对称.(5)函数m-x=f(m-y)的图像与y=f(x)的图像关于直线y=m-x对称.(6)函数x-m=f(y+m)的图像与y=f(x)的图像关于直线x=y+m对称.【重点难点解析】重点：用“五点法”画函数y=Asin(ωx+φ)的简图及三角函数的图像变换.难点：三角函数的图像变换.即由y=sinx的图像变换到y=Asin(ωx+φ)的过程.关键：理解A、ω、φ的对图像变化所起的作用.例1函数y=3cos(2x-4)的图像可以由y=sinx的图像经过怎样的变换得到?解：y=3cos(2x-4)=3sin［2+(2x-4)］=3sin(2x+4).先将y=sinx的图像向右平移4个单位，得到y1=sin(x+4)的图像.再将y1的图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍，得到y2=sin(2x+4)的图像.再将y2的图像上各点的纵坐标伸长到原来的3倍，就得到所求函数的图像.评析：这种图像变换的顺序通常是先作相位变换，再作周期变换，最后作振幅变换.本题中若将相位变换与周期变换的顺序交换，得到的结果将是y=3sin(2x+8)而不是y=3sin(2x+4).例2用五点法作出函数y=4sin(2x+3)在一个周期内的简图.解：函数y=4sin(2x+3)的振幅A=4，周期T=4π,令2x+3=0,得初始值x0=-32(初始值指图像由x轴下方向上经过x轴时的横截距).列表：2x+302π232πx-3233437310y040-40评注：注意到五点的横坐标是从x0开始，每次增加周期的41，即xi=xi-1+4T(i=1,2,3,4)可简化x的五个值的运算.选校网(x)=sin(5kx+3)(k≠0).(1)写出f(x)的最大值M，最小值m和最小正周期T；(2)试求最小正整数k，使得当自变量x在任意两个整数间(包括整数本身)变化时，函数f(x)至少有一个值是M，一个值是m.解：(1)M=1,m=-1,T=52k=k10.(2)f(x)在它的每一个周期中都恰好有一个值是M与一个值是m，而任意两个整数间的距离都≥1，因此要使任意两个整数间函数f(x)至少有一个值是M与一个值m，必须且只须f(x)的周期≤1，即k10≤1,｜k｜≥10π=31.4,可见，k=32就是这样的最小整数.例4已知正弦数y=Asin(ωx+φ)(其中A＞0，ω＞0)的一个周期的图像如图所示，试求函数的解析式.分析：求函数的解析式，就是确定解析式中A，ω，φ的值.由图像中三个已知点的坐标列出A，ω，φ的方程组求解.若令X=ωx+φ,要注意x0=-25是初始值，对应于X=0,x=-π时对应于X=π.选校网专业大全历年分数线上万张大学图片大学视频院校库∴函数解析式为y=2sin(32x+35).【难题巧解点拔】例1指出将y=sinx的图像变换为y=sin(2x+3)的图像的两种方法.思路1x→2x→2(x+6)=2x+3.解法1y=sinx纵坐标不变横坐标缩短为原来的21y=sin2x单位向左平移6y=sin［2(x+6)］=sin(2x+3).思路2x→x+3→2x+3.解法2y=sinx单位向左平移3y=sin(x+3)纵坐标不变横坐标缩短为原来的21y=sin(2x+3).说明：在解法1中，先伸缩，后平移.在解法2中，先平移，后伸缩.表面上看来，两种变换方法中的平移是不同的(即6和3)，但由于伸缩变换的影响，所以实质上都是一致的.例2函数f(x)的横坐标伸长到原来的两倍，再向左平移2个单位，所得到的曲线是y=21sinx的图像，试求函数y=f(x)的解析式.分析：这个问题有两种解法，一是考虑以上变换的“逆变换”(所谓“逆变换”，即将以上变换倒过来，由y=21sinx变换到y=f(x);二是代换法，即设y=Asin(ωx+φ),然后按题设中的变换分两步得：y=Asin［2(x+2)+φ］,它就是y=21sinx，即可求得A、ω、φ的值.解法1：问题即是将y=21sinx的图像先向右平移2个单位，得y=21sin(x-2);再将横坐标压缩到原来的21，得y=21sin(2x-2),即y=-21cos2x.这就是所求函数f(x)的解析式.解法2：设y=Asin(ωx+φ),将它的横坐标伸长到原来的两倍，得y=Asin(2x-φ);再将其图像向左平移2个单位，得y=Asin［2(x+2)+φ］=Asin(2x+4+φ)=21sinx.选校网专业大全历年分数线上万张大学图片大学视频院校库说明：以上两种解法各有“千秋“，均为求解类似问题的好方法.例3求下列函数的单调区间：(1)y=sin(4-2x);(2)y=log21cos(3x+4);(3)y=-｜sin(x+4)｜解：(1)此题可看作是由y=sint和t=4-2x复合成的复合函数，应注意t=4-2x中t是x的减函数，∵2kπ-2≤4-2x≤2kπ+2,∴-kπ-8≤x≤-kπ+83(k∈Z).∴函数y的单调递减区间是［kπ-8,kπ-83］(k∈Z),又由2kπ+2≤4-2x≤2kπ+23,即得-kπ-85≤x≤-kπ-8(k∈Z),∴函数y的单调递增区间是［kπ-85］,kπ-8］(k∈Z)，此题也可将函数改写成y=-sin(2x-4)的形式，然后求解.(2)此题应注意两个方面，首先是对数应有意义，cos(3x+4)＞0,其次是以21为底的对数函数是减函数.由2kπ-2＜3x+4≤2kπ得6kπ-49＜k≤6kπ-43(k∈Z),由2kπ≤3x+4＜2kπ+2,得6kπ-43≤x＜6kπ+43(k∈Z).∴单调递增区间是(6kπ-43,6kπ+43)(k∈Z);单调递减区间是(6kπ-49,6kπ-43](k∈Z).(3)设x+4=u,y=-｜sinu｜的大致图像如图，函数的周期是π，u∈［kπ-2,kπ］(k∈Z)时函数递增，u∈［kπ,kπ+2］(k∈Z)时函数递减，即x∈［kπ-43,4k］(k∈Z)时函数递增，x∈［kπ-4,kπ+4］(k∈Z)时函数递减.【课本难题解答】选校网页，习题4.9第5题：(1)2πgl(2)约24.8cm.【命题趋势分析】在历届高考试题中，本节内容多以选择题、填空题题型出现，属于偏难的基本题，重点考查函数y=Asin(ωx+φ)的五点法作图，图像的对称性.周期性、单调性及图像变换等.【典型热点考题】例1关于函数f(x)=4sin(2x+3)(x∈R),有下列命题：①由f(x1)=f(x2)=0，可得x1-x2必为π的整数倍；②y=f(x)的表达式可改写为y=4cos(2x-6)；③y=f(x)的图像关于点(-6，0)对称；④y=f(x)的图像关于x=-6对称.其中正确的命题的序号是(注：把你认为正确的命题的序号都填上)分析：只要将四命题逐个分析即可.对①若f(x1)=f(x2)=0则sin(2x1+3)=sin(2x2+3)=0∴2x1+3=k1π,2x2+3=k2π,k1、k2∈Z.x1-x2=221kkπ,而221kk不能保证是整数.从函数图像上来看满足f(x１)＝f(x2)=0的x2、x2必为图像与x轴交点的横坐标，x1-x2为2T的整数倍(T为最小正周期)，T=π.∴x1-x2=2k,(k∈Z),2k不一定为整数.对②，f(x)=4sin(2x+3)=4cos［2-(2x+3)］=4cos(6-2x)=4cos(2x-6),命题正确.对③，令2x+3=0,得x=-6,所以点(-6，0)为