高考复习指导讲义__直线

直线二、知识结构1.有向线段一条有向线段的长度，连同表示它的方向的正负号，叫做有向线段的数量.有向线段AB的数量用AB表示.若有向线段AB在数轴上的坐标为A(x1)，B(x2)，则它的数量AB=x2-x1它的长度｜AB｜=｜x2-x1｜平面上两点间的距离设P1(x1,y1),P2(x2,y2)是坐标平面上的任意两点，则它们的距离｜P1P2｜=212212)y-(y)x-(x当P1P2⊥Ox轴时，｜P1P2｜=｜y2-y1｜；当P1P2⊥Oy轴时，｜P1P2｜=｜x2-x1｜；点P(x,y)到原点O的距离，｜OP｜=22yx.三角形的中线长公式如图，AO是△ABC的BC边上的中线.则｜AB｜2+｜AC｜2=2［｜AO｜2+｜OC｜2］2.线段的定比分点有向直线l上的一点P，把l上的有向线段21PP分成两条有向线段PP1分成两条有向线段2PP，则PP1和2PP的数量之比λ=21PPPP定比分点公式若P1、P2两点坐标为(x,y1)，(x2,y2),点P(x,y)分有向线段21PP成定比λ=21PPPP(λ≠-1)，则P点坐标x=1xx21，y=1yy21.(1).中点公式设P1(x1,y1),P2(x2,y2)，则P1P2的中点P(x,y)的坐标是x=2xx21,y=2y21y.(2)三角形的重心公式若△ABC的各顶点坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)，则△ABC的重心G(x,y)的坐标是x=3xxx321，y=3y321yy.3.直线的方程直线方程的几种形式名称已知条件方程说明斜截式斜率k纵截距by=kx+bx不包括y轴和平行于y轴的直线点斜式点P1(x1,y1)斜率ky-y1=k(x-x1)不包括y轴和平行于y轴的直线两点式点P1(x1,y1)和P2(x2,y2)211yyyy=211xxxx不包括坐标轴和平行于坐标轴的直线截距式横截距a纵坐标bax+by=1不包括坐标轴，平行于坐标轴和原点的直线一般式—Ax+By+C=0A、B不同时为0两条直线的位置关系当直线不平行于坐标轴时：l1∶y=k1x+b1l2∶y=k2x+b2l1∶A1x+B1y+C1=0l2∶A2x+B2y+C2=0l1与l2组成的方程组平行k1=k2且b1≠b221AA=21BB≠21CC无解重合k1=k2且b1=b221AA=21BB=21CC有无数多解相交k1≠k221AA=21BB有唯一解垂直k1·k2=-1A1A2+B1B2=0两条直线的交角公式(1)直线l1到l2的角直线l1依逆时针方向旋转到与l2重合时所转的角，叫做l1到l2的角.计算公式设直线l1，l2的斜率分别是k1，k2，则tgθ=2112kk1kk(k1k2≠-1)(2)两条直线的夹角一条直线到另一条直线的角小于直角的角，即两条直线所成的锐直线方程位置关系角叫做两条直线所成的角，简称夹角.这时的计算公式为：tgθ=21121kkkk4.点与直线的位置关系点P(x0,y0)在直线Ax+By+C=0上的充要条件是Ax0+By0+C=0.点到直线的距离公式点P(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离是d=2200BACByAx据此可推出：(1)两平行线间的距离公式两平行直线Ax+By+C1=0和Ax+By+C2=0间的距离为d=2221BACC.5.直线关于点的对称直线关于点的对称直线一定是一条与已知直线平行的直线，由中点坐标公式可得直线Ax+By+C=0关于点P(x0,y0)的对称直线方程是A(2x0-x)+B(2y0-y)+C=0即Ax+By-(2Ax0+2By0+C)=0.“直线关于直线”对称(1)几种特殊位置的对称已知曲线f(x,y)=0，则它：①关于x轴对称的曲线是f(x,-y)=0；②关于y轴对称的曲线是f(-x,y)=0；③关于原点对称的曲线是f(-x,-y)=0；④关于直线y=x对称的曲线f(y,x)=0；⑤关于直线线y=-x对称的曲线f(-y,-x)=0；⑥关于直线x=a对称的曲线是f(2a-x,y)=0；⑦关于直线y=b对称的曲线是f(x,2b-y)=0三、知识点、能力点提示(一)有向线段、两点间距离、线段的定比分点例1在△ABC中，A(4，1)，B(7，5)，C(-4，7)，求∠BAC平分线的长.解：由两点距离公式求得│AB│=5，│AC│=10，设角平分线交BC于D(x，y)，由角平分线性质得λ=DCBD=ACAB=21，从而求得D(310，317)，故可得│AD│=3210.(二)直线方程，直线的斜率，直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程，直线方程的一般形式例2一直线过点P(-3，4)且在两坐标轴上的截距相等，求此直线方程.解：设截距a=b且均不为零，故可设所求直线方程为ax+ay=1.由P在直线上，解得a=1，∴所求直线方程为x+y-1=0.但还有一种情况，即a=b=0，直线过原点时也合题意，此时直线方程为4x+3y=0.故在使用截距式时必须检验截距为零是否适合，以防漏解.(三)两条直线平行与垂直的条件，两条直线所成的角，两条直线的交点，点到直线的距离说明这部分内容近年高考在填空、选择及解答题中都常考查到.使用公式求l1到l2的角时，应注意k1、k2的顺序.过两直线交点的直线系方程中不包括直线l2.例3光线由点(-1，4)射出，遇直线2x+3y-6=0被反射，已知反射光线过点(3，1362).求反射光线所在直线方程.解：设(-1，4)点关于已知直线对称点为(x′，y′).则点(-1，4)与点(x′，y′)的连线段被已知直线垂直平分，故可得14xy=23x′=-1329解得2(21x)+3(24y)-6=0y′=1328，再由两点式可得所求直线方程为13x-26y+85=0.(四)综合例题赏析例4如果A·C＜0且B·C＜0，那么直线Ax+By+C=0不通过()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解：∵A·C＜0，B·C＜0∴A≠0，B≠0，C≠0，∴Ax+By+C=0可化y=-BAx-BC.∵B·C＜0BC＜0-BC＞0，∴直线和y轴正半轴有交点.∵A·C＜0，即A和C异号，B·C＜0即B和C异号，∴A和B同号BA＞0-BA＜0，从而直线Ax+By+C=0过第一、二、四象限，不过第三象限.应选C.例5和直线3x-4y+5=0关于x轴对称的直线方程是()A.3x+4y-5=0B.3x+4y+5=0C.-3x+4y-5=0D.-3x+4y+5=0解：若曲线c的方程f(x,y)=0，曲线c和c′关于x轴对称，则曲线c′的方程是f(x，-y)=0.∴3x-4(-y)+5=0即3x+4y+5=0为所求.应选B.例6直线bx+ay=ab(a＜0，b＜0＝的倾斜角是()A.arctg(-ab)B.arctg(-ba)C.π-arctgabD.π-arctgba解：直线的倾角范围是［0，π］.由a＜0，b＜0知a≠0，故原方程可化为y=-abx+b.设此直线的倾角为α，则tgα=-ab.由a＜0且b＜0ab＞0-ab＜0，∴a∈(2，π).∴α=π-arctgab，应选C.例7若三点P1，P2在一条直线上，点P1和点P2在直角坐标系中的坐标分别为(0，-6)和(3，0)，且21PPPP=-21，则点P的坐标是_________.解：若P1(x1，y1)，P2(x2，y2)和P(x，y)三点在一条直线上，且λ=21PPPP，则x=1xx21，y=1y21y，由题设知，x１=0，y1=6，x2=3，y2=0，λ=21，代入上面公式，得x=)21(13)21(0=2123=-3,y=,12216)21(10)21(6∴P点坐标是(-3，-12).例8通过点(0，2)且倾斜角为15°的直线方程是()A.y=(3-2)x+2B.y=(2-1)x+2C.y=(2-3)x+2D.y=(23-1)x+2解：∵直线通过点(0，2).∴直线在y轴上的截距b=2.∵直线的倾角为15°，∴直线的斜率k=tg15°=.322123130sin30cos1把k=2-3，b=2代入直线的斜截式方程y=kx+b，得y=(2-3)x+2.应选C.例9直线3x-2y=6在y轴上的截距是()A.23B.-2C.-3D.3解：∵3x-2y=6y=-2x+3y=1，又直线的截距为,1byax∴b=-3，即在y轴上的截距为-3.应选C.例10如果直线ax+2y+2=0与直线3x-y-2=0平行，那么系数a=()A.-3B.-6C.-23D.32解：l1:A1x+B1y+C1=0，l2:A2x+B2y+C2=0，且A2≠0，B2≠0，C2≠0，则有l1∥l2212121CCBBAA∴由题设有622123aa.应选B.例11如果直线y=ax+2与直线y=3x-b关于直线y=x对称，那么()A.a=31，b=6B.a=31，b=-6C.a=3，b=-2D.a=3，b=6解：若C1的方程是f(x,y)=0,C2和C1关于直线y=x对称，则C2的方程是f(y,x)=0.∴直线y=ax+2关于直线y=x对称的直线的方程是x=ay+2，即y=a1x-a2.由题设y=axa21和y=3x-b是同一条直线，∴baa231,解得631ba∴应选A.例12如果直线ax+2y+1=0与直线x+y-2=0互相垂直，那么a的值等于()A.1B.-31C.-32D.-2解：两直线l1:A1x+B1y+C1=0，l2:A2x+B2y+C2=0，互相垂直的充要条件是：A1A2+B1B2=0∴由题设得a·1+2·1=0，从而a=-2.应选D.例13点P(2，5)关于直线x+y=0的对称点的坐标是()A.(5，2)B.(2，-5)C.(-5，-2)D.(-2，-5)解：设P(2，5)和Q(m，n)关于直线y=-x对称，则PQ中点R(25,22nm)在y=-x上，且KPQ·(-1)=-1.∴,1)1(2502522mnnm解得25nm∴对称点Q的坐标是(-5，-2).应选C.例14原点关于直线8x+6y=25的对称点坐标是()A.(2，32)B.(625,825)C.(3，4)D.(4，3)解：设(m，n)为所求，则1)34(25206208mnnm①②解得m=4，n=3∴应选D.例15点(0，5)到直线y=2x的距离是()A．25B．5C．23D．25解：y=2x2x-y=0∴d=.5)1(2510222应选(B)例16以A(1，3)、B(-5，1)为端点的线段垂直平分线的方程是()A.3x-y+8=0B.3x+y+4=0C.2x+y+2=0D.3x+y+8=0解：设P(x，y)为线段AB的中垂线上的点，则│PA│=│PB│即,)1()5()3()1(2222yxyx化简得3x+y+4=0.应选B.例17在直角坐标系xoy中，过点P(-3，4)的直线1与直线OP的夹角为45°，求1的方程.解：设1的斜率为k，kOP=-,34∴tg45°=)34(1)34(kk=kk34134=kk4343,得kk4343=±1，解出k=-71，7∴1的方程为y-4=-71(x+3)或y-4=7(x+3).即1的方程为x+7y-25=0或7x-y+25=0.例18点(0，1)到直线x+y=2的距离是.解：d=22112`11022四、能力训练(一)选择题1.数轴上有一有向线段，起点A的坐标为-m，终点B的坐标为n，那么此有向线段的数量可表示为()A.AB=n-mB.AB=n+mC.│AB│=n+mD.AB=n-m2.已知点M(3，4)，N(12，7)，P在直线MN上，且MNPM=31，则点P的坐标是()A.(6，5)B.(9，6)C.(0，3)D.(0，3