搜索
课时提能演练(二十九)(45分钟100分)一、选择题(每小题6分，共36分)1.(2012·咸阳模拟)设Sn为数列{an}的前n项和且Sn＝nn＋1，则1a5＝()(A)56(B)65(C)130(D)302.数列{an}中，an＝－2n2＋29n＋3，则此数列最大项的值是()(A)103(B)10818(C)10318(D)1083.(2012·西安模拟)在数列{an}中，a1＝1，anan－1＝an－1＋(－1)n(n≥2，n∈N＋)，则a3a5的值是()(A)1516(B)158(C)34(D)384.(预测题)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝an＋2n，则a10＝()(A)1024(B)1023(C)2048(D)20475.把1,3,6,10,15，…这些数叫做三角形数，这是因为用这些数目的点可以排成一个正三角形(如图).则第7个三角形数是()(A)27(B)28(C)29(D)306.(2012·宝鸡模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn＝12n(5n－1)，n∈N*，现从前m项：a1，a2，…，am中抽出一项(不是a1，也不是am)，余下各项的算术平均数为37，则抽出的是()(A)第6项(B)第8项(C)第12项(D)第15项二、填空题(每小题6分，共18分)7.已知数列{an}的前n项和Sn＝2n－3，则数列{an}的通项公式为.8.设数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝a1(3n－1)2(n∈N＋)且a4＝54，则a1＝.9.(2012·汉中模拟)已知数列{an}满足：a4n－3＝1，a4n－1＝0，a2n＝an，n∈N*，则a2009＝；a2014＝.三、解答题(每小题15分，共30分)10.(2012·邯郸模拟)已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋1，数列{bn}满足bn＝2an＋1，且前n项和为Tn，设cn＝T2n＋1－Tn.(1)求数列{bn}的通项公式；(2)判断数列{cn}的增减性.11.(2012·岳阳模拟)数列{an}满足：na1＋(n－1)a2＋…＋2an－1＋an＝(910)n－1＋(910)n－2＋…＋910＋1(n＝1,2,3，…).(1)求{an}的通项公式；(2)若bn＝－(n＋1)an，试问是否存在正整数k，使得对于任意的正整数n，都有bn≤bk成立？证明你的结论.【探究创新】(16分)已知数列{an}满足a1＝1，a2＝－13，an＋2－2an＋1＋an＝2n－6.(1)设bn＝an＋1－an，求数列{bn}的通项公式.(2)在(1)的条件下，求n为何值时，an最小.答案解析1.【解析】选D.a5＝S5－S4＝56－45＝130，∴1a5＝30.2.【解析】选D.根据题意结合二次函数的性质可得：an＝－2n2＋29n＋3＝－2(n2－292n)＋3＝－2(n－294)2＋3＋29×298.∴n＝7时，an＝108为最大值.3.【解析】选C.当n＝2时，a2·a1＝a1＋(－1)2，∴a2＝2；当n＝3时，a3a2＝a2＋(－1)3，∴a3＝12；当n＝4时，a4a3＝a3＋(－1)4，∴a4＝3；当n＝5时，a5a4＝a4＋(－1)5，∴a5＝23，∴a3a5＝34.4.【解析】选B.∵an＋1＝an＋2n，∴an－an－1＝2n－1(n≥2)，∴a10＝(a10－a9)＋(a9－a8)＋…＋(a2－a1)＋a1＝29＋28＋…＋2＋1＝210－1＝1023.5.【解题指南】观察三角形数的增长规律，可以发现每一项与它的前一项多的点数正好是本身的序号，所以根据这个规律计算即可.【解析】选B.根据三角形数的增长规律可知第7个三角形数是1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28.6.【解析】选B.由Sn＝12n(5n－1)得an＝5n－3，设取出的项为第k项，则Sm＝12m(5m－1)，Sm－ak＝37(m－1)，∴ak＝Sm－(Sm－ak)＝5(m2－15m)2＋37.又ak＝5k－3，∴5(m2－15m)2＋37＝5k－3，即k＝m(m－15)2＋8，又∵1km，∴1m(m－15)2＋8m，∴14m16，即m＝15，此时k＝8，故选B.7.【解析】当n＝1时，a1＝S1＝21－3＝－1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－2n－1＝2n－1，∴an＝－1(n＝1)2n－1(n≥2)答案：an＝－1(n＝1)2n－1(n≥2)8.【解题指南】本题解题的关键是根据数列的前n项和的表达式表示出a4，可以有两种表示方法，一是S4＝S3＋a4，二是先求数列的通项，然后表示a4，从而求得首项.【解析】方法一：由S4＝S3＋a4，得a1(34－1)2＝a1(33－1)2＋54，即a1(80－26)2＝54，解得a1＝2.方法二：由Sn－Sn－1＝an(n≥2)可得an＝a1(3n－1)2－a1(3n－1－1)2＝a1(3n－3n－1)2＝a1·3n－1，∴a4＝a1·33，∴a1＝5427＝2.答案：29.【解析】a2009＝a503×4－3＝1，a2014＝a2×1007＝a1007＝a4×252－1＝0.答案：1010.【解析】(1)a1＝2，an＝Sn－Sn－1＝2n－1(n≥2)，∴bn＝1n(n≥2)23(n＝1).(2)∵cn＝bn＋1＋bn＋2＋…＋b2n＋1＝1n＋1＋1n＋2＋…＋12n＋1，∴cn＋1－cn＝12n＋2＋12n＋3－1n＋10，即cn＋1＜cn，∴数列{cn}是递减数列.【方法技巧】证明数列的单调性的方法在证明数列的单调性方面，有很多的方法和技巧可供选择，常用的有：(1)作差法，主要是作差之后的变形，与零比较大小是关键；(2)作商法，主要是作商后能够约掉因式进行变形，再与1比较；(3)利用函数的单调性证明，由于数列是一种特殊的函数，所以可以借助函数的性质证明.11.【解析】(1)设Sn＝na1＋(n－1)a2＋…＋2an－1＋an，则S1＝a1＝1，当n≥2时，Sn－Sn－1＝a1＋a2＋…＋an－1＋an＝(910)n－1，an＝(910)n－1－(910)n－2＝－110(910)n－2，∴an＝1，n＝1－110(910)n－2，n≥2.(2)假设存在正整数k，使得对于任意的正整数n，都有bn≤bk成立.∵bn＝－(n＋1)an＝－2，n＝1110(n＋1)(910)n－2，n≥2，当n≥3时，由bnbn－1＝110(n＋1)(910)n－2110n(910)n－3＝9(n＋1)10n≥1，得n≤9，∴b1b2≤b3≤…≤b8＝b9≥b10≥…所以，存在正整数k＝8或9，使得对于任意的正整数n，都有bn≤bk成立.【探究创新】【解题指南】(1)可采用累加法求解数列的通项公式；(2)观察所得递推数列的式子特点分情况讨论.【解析】(1)由an＋2－2an＋1＋an＝2n－6，得(an＋2－an＋1)－(an＋1－an)＝2n－6，∴bn＋1－bn＝2n－6.当n≥2时，bn－bn－1＝2(n－1)－6.bn－1－bn－2＝2(n－2)－6，…b3－b2＝2×2－6，b2－b1＝2×1－6，累加得bn－b1＝2[1＋2＋…＋(n－1)]－6(n－1)＝n(n－1)－6n＋6＝n2－7n＋6.又b1＝a2－a1＝－14，∴bn＝n2－7n－8(n≥2)，n＝1时，b1也适合此式，故bn＝n2－7n－8.(2)由bn＝(n－8)(n＋1)，得an＋1－an＝(n－8)(n＋1).∴当n8时，an＋1an.当n＝8时，a9＝a8，当n8时，an＋1an，故当n＝8或n＝9时，an的值最小.