高中判断三点共线的常用处理方法

高中判断三点共线的常用处理方法共线问题一直以来都是一个十分重要的问题。不管是教学中，还是考试中，抑或是数学竞赛中都会碰到有关共线问题。现行高中教材（必修）第一册（下）113页举例介绍了共线问题的一种处理方法，同时也在后面给出了三个习题以巩固，足见其重要性。事实上，判断（证明）共线的方法很多，为开阔学生的视野和活跃学生的思维，本文就其中的一些常用方法以举例形式作些介绍，期望能为同学们带来方便。例已知：A（-1，-1），B（1，3），C（2，5）。证明：A，B，C三点共线。一向量共线法分析：向量共线法判断（证明）三点是否共线，其关键是：两向量要有公共点。证明：)4,2())1(3),1(1(AB)6,3())1(5),1(2(AC则ACAB32ACAB,共线，又ACAB,有公共点AA，B，C三点共线。二夹角法利用：若A，B，C三点共线，则kBAC证明：由法1有)4,2(AB)6,3(AC1369164246cosACABACABBACkBACA，B，C三点共线。说明；证A，B，C三点共线，也可以证明kABC（或kBCA）三定比分点法利用：若),(11yxA，),(yxB，),(22yxC满足式子12111)(xxx12111)(yyy其中21则A，B，C三点共线，反之A，B，C不共线。证明：由111211111513得21，22所以21A，B，C三点共线。评析：这种方法关键是看1与2等与不等，如等则三点共线，否则就不共线。四三角形法此种方法是该三点如能构成三角形，显然便不共线。证明：20)31()11(22AB45)51()21(22AC5)53()21(22BC由ACBCAB4553520所以，A，B，C不能构成三角形A，B，C三点共线五函数法由于过两点确定一条直线方程。故而可检验三点都满足方程时，由直线方程有无解来定三点是否共线。证明：设三点均过直线bkxy则有bk1。。。。。。（1）bk3。。。。。。（2）bk25。。。。。。（3）得k=2,b=1三点均过直线12xyA，B，C三点共线。六斜率法：运用斜率可以判断三点是否共线，关键也是要有相同的公共点。证明：直线AB的斜率为2)1(1)1(3ABk直线AC的斜率为2)1(2)1(5ACkACABkk且两直线都过A点。A，B，C三点共线。七直线重合法证明：易求直线AB为2111313xy即12xy直线AC为2121525xy即12xyA，B，C三点共线。八点到直线的距离法这种方法实质上是求一点到另两点组成的直线的距离。如距离为0，则此三点在同一直线上。证明：由上知直线AB的方程为012xy点C（2，5）到012xy的距离为041145d所以C在直线AB上。A，B，C三点共线。九检测点是否在直线上证明：由直线AB的方程为012xy而C（2，5）有1225即点C在直线AB上A，B，C三点共线。十反证法假设A，B，C三点不共线则可以确定一个圆，从而推出矛盾。进而推出A，B，C三点共线。证明：假设A，B，C三点不共线。则可以确定一个圆设圆方程为222)()(rbyax将A，B，C三点坐标代入有222)1()1(rba……(1)222)3()1(rba……(2)222)5()2(rba…….(3)发现此方程组无解。所以假设不成立。A，B，C三点共线。通过以上十法的处理。我们实际上将共线问题的处理与知识之间的联系更加紧密化了，这不仅更有利于对知识的深刻内涵的认识，还更能够促使我们对知识的灵活处理运用。我们期望在以后的学习中能够更多地使用，提高我们的学习效率。