材料工程基础(研究方法)

1第五章工程研究的基本理论和方法5.1量纲分析理论5.1.1量纲与量纲的特性一、单位和量纲1、物理量的度量体系描述现象或物体可定量测量的属性称为物理量。对客观事物某些特征的度量，若无明确的度量单位，其含义则是含混的。数学模型中的测量值通常都是以物理量的形式出现。物理量分为基本物理量和导出的（衍生的）物理量两大类。物理量的度量体系由基本物理量及其度量单位所确定.22、单位量度各种物理量数值大小的标准量，称单位。如长度单位为m或cm等。（涉及物理量的性质和数值大小）(量纲表征物理量的性质和类别)单位分为基本单位、导出单位和辅助单位三类。现在通用的国际单位制（SI制），由七个基本单位组成。物理量单位符号长度（L）米m质量（M）千克kg时间（T）秒s电流强度（I）安培A温度（Θ）开尔文K光强（J）坎德拉cd物质的量（N）摩尔mol3其他物理量的单位将由这七个基本单位通过物理关系导出。下表列出了几个常用的物理量及其单位。物理量单位符号力（N）牛顿kgms-2能量（J）焦耳kgm2s-2功率（W）瓦特kgm2s-3压强（Pa）帕斯卡kgm-1s-2频率（Hz）赫兹s-143、量纲（1）定义指撇开单位的大小后，表征物理量的性质和类别的表达式。如长度量纲为[L]。（2）量纲的分类基本量纲具有独立性的，不能由其他量纲推导出来的量纲。诱导量纲可由基本量纲导出的量纲。4、量纲表达式物理量Q的量纲一般都可以表示为基本量的幂的乘积：dimQ=LaMbTcΘdIeJfNg或者[Q]=[LaMbTcΘdIeJfNg]式中a,b,c,d,e,f,g——量纲指数。常用量纲几何学量纲：α≠0，其余=0；运动学量纲：α≠0，c≠0，其余=0；动力学量纲：α≠0，b≠0，c≠0，其余=05[例题5-1]试以长度L、质量M和时间T为基本量纲，确定动力粘度μ的量纲表达式。解：从基本量纲L、M、T可以确定加速度的导出量纲表达式为LT-2，力（F）的导出量纲表达式为[F]=MLT-2，面积的量纲表达式为[A]=L2。写出切应力的物理表达式又因为将各量纲表达式代入切应力表达式，则所以dydu21][][TMLAFLLTTML121][11][TML65、无量纲数（纯数，相似准数）若量纲指数a,b,c,d,e,f,g均为0,称其为无量纲量，记为：[Q]=[1]特点：（a）无量纲单位，它的大小与所选单位无关；（b）具有客观性；（c）在超越函数（对数、指数、三角函数）运算中，均应用无量纲数。应注意：无量纲量不一定是无单位的量，如角度。无量纲常数组成该无量纲量中的量纲仅与某些常数υ（运动粘度）,α（热扩散率）,D（扩散系数）等有关。无量纲参数组成该无量纲量中的某些量纲起着运动参数（如：速度）或动力参数（如：温度差、浓度差）的作用。7二、量纲的特性1、量纲和谐性表现物理规律的方程中，其方程两边的量纲应相同，同名物理量应采用同一种单位，此为物理方程的量纲和谐性。量纲和谐原理的重要性：a.可用来确定公式中物理量的指数。b.可用来检验经验公式的正确性和完整性。c.可用来建立物理方程式的结构形式。2、量纲的独立和非独立条件量纲独立性是指任何n个量的结合（包括代数运算等），不能产生第三个量的量纲。8量纲独立性判断：以由三个量纲量组成的物理量为例，说明判断过程。a1,a2,a3——量纲量。设a的量纲分别为要使Xj变为无量纲量，必须满足条件[Xj]=[L0T0M0]zjyjxjjaaaX321333322221111MTLaMTLaMTLa9即Δ≠0时，线性方程只有xj=yj=zj=0的解，则a1,a2,aj3为具有互相独立量纲的量Δ=0时，线方程可以有xj、yj、zj的数值解，Xj成为无量纲量，则a1,a2,a3为量纲上不互相独立的量。当所研究的参量的数目大于3个时，则要取其中任何可能的3个参量，照上述方法进行验算，以确定其量纲的独立或不独立性。000321321321jjjjjjjjjzyxzyxzyx32132132110三、完整集合中无量纲乘积的数目定理：在一个完整的集合中，无量纲乘积的数目等于独立变量的总数减去它们量纲矩阵的秩（r）。或者独立变量总数-基本量纲数目=无量纲乘积数目雷诺数、付里叶准数等就是某些无量纲乘积的完整集合。115.1.2量纲分析一、柏金汉量纲分析法1、π定理若物理方程f(x1，x2,……,xn)=0中，含有n个物理量，其中k个是具有互相独立量纲的物理量，并且保持量纲的和谐性。则该物理方程可简化为：F(π1，π2,……,πn-k)=0，或π1=φ(π2,π3,……,πn-k)2、π定理解题步骤：（1）确定关系式：根据所研究的现象，确定影响该现象的各个物理量及其关系式:f(x1，x2,……,xn)=0（2）确定基本量：从n个物理量中选取所包含的k个有独立量纲的物理量作为基本量的代表。12f(x1，x2,…xk，xk+1，…,xn)=0x1，x2,…xk为有独立量纲的物理量；xk+1，…,xn为无独立量纲的物理量。即:xk+1，…,xn均可用x1，x2,…xk表示出来。xk+1=g（x1，x2,…xk）独立变量i=1，2，3，….k非独立变量则≠1。πj为无量纲的参数1]...[][321kkcbaixxxxxkkcbajkjxxxxx...32113（3）确定π数的个数N（π）=（n-k），并写出其余物理量与基本物理量组成的π表达式i=1，2，3，…k；j=1，2，….n-k（4）确定无量纲π参数：由量纲和谐原理解联立指数方程，求出各π项的指数αi，从而定出各无量纲π参数。π参数分子分母可以相互交换，也可以开方或乘方，而不改变其无因次的性质。（5）写出描述现象的关系式F(π1，π2,……,πn-k)=0。iijkixx143、例如k=3……[xk+1]=[x1a1x2a2x3a3]根据[xk+1]中的基本量和[x1a1x2a2x3a3]中的基本量，进行比较和计算，解出a1,a2,a3,带入到π1，所得到π1便是无量纲参数。33221111xxxxk15二、瑞利量纲分析法瑞利法是量纲和谐原理的直接应用瑞利法的计算步骤：1.确定与所研究的物理现象有关的n个物理量：y=f(x1，x2,……,xn)2.写出各物理量之间的指数乘积的形式，如：3.根据量纲和谐原理，确定物理量的指数k1,k2,k3,k4,代入指数方程式即得各物理量之间的关系式。说明：①应用范围：一般情况下，要求相关变量未知数n小于等于4~5个。②导出的相似准数中含有无量纲常数C和待定常数k4，通常通过研究现象的实验加以确定。453423121kkkkxxxCxx16三、两种分析方法的比较柏金汉法解函数关系式；要挑选出k个有独立量纲的量。瑞利法用无限级数代替函数关系式；n≤5；有待定常数需靠实验得出。17[例题5-3]根据实验和分析得知，粘性不可压缩流体的管内流动，其临界速度uc与管径d、流体密度ρ及流体的动力粘度μ有关，即：uc=f（d、ρ、μ）据雷利因次分析法，上式可改写为：uc=Kdx1ρx2μx3式中x1、x2、x3分别为d、ρ、μ各物理量的待定指数；K为无因次比例常数。写出上式等式两边的因次得：[LT-1]=[L]x1[ML-3]x2[ML-1T-1]x3根据因次和谐性原理，等式两边的因次应该相等，于是：18解上述联立方程，得：X1=-1，X1=-1，X1=+1将X1，X2，X3代入原式，得：于是：显然，上式右边为由临界速度等物理量所组成的雷诺数，故可称K为临界雷诺数，常用符号Rec表示。即：3233210][1][31][XXMXTXXXL有：对于有：对于有：对于dKKduc111duduKccduccRe19[例题5-4]设根据观察分析，影响管流现象的因素有管内平均流速u，流体密度ρ，管道直径d，管长ι，流体的动力粘性系数μ，管壁粗糙度ε。试用π定理确定水平有压管道压力损失Δp的函数关系式及相似准数。解：①根据上列影响因素可写成函数关系：f（Δp、ρ、u、d、μ、ι、ε）=0②已知变量个数为7。选u、d、ρ三个互为独立的变量为基本物理量，这三者包含了[LMT]三个基本因次。通常选一个代表几何的量，一个表征运动的量，另一个是与力或质量有关的量。写出7—3=4个π项如下：20根据分子分母的因次应该相同，可求出各π项中的指数（x1，y1，z1），……，等数值。现以π1为例：对[M]有1=z1对[L]有-1=x1+y1-3z1对[T]有-2=-x1解得：x1=2；y1=0；z1=1代入原式，得：1111zyxdup2222zyxdu3333zyxdul4444zyxdu13111211][][][][zyxMLLLTTML21同理可得：于是转化后的无因次函数方程式为f（π1，π2，π3，π4）=0或π1=f（π2，π3，π4）即：)(21Euup)Re1(2uddL3d4ddlfEu,,Re122量纲分析方法小结1、可以解决下述问题：（1）有利于建立统一协调的单位系统；确定经验公式中两种单位制的转换因子。（2）推导物理量的量纲。（3）校核由理论推导出来的代数方程式，确定无量纲乘积集合的完整性。（4）通过研究各个无量纲乘积阶的大小，可以确定各物理参量的相对重要性。（5）把包含若干个变量的函数式转换为包括几个无量纲数的函数式。准数方程减少了独立变数的数量，减少实验工作量。（6）研究某物理现象时，可以先推导出一个完整集合的无量纲乘积，再根据π定理及相关实验来确定描叙该现象的方程。232、容易出现的问题（1）没有正确地选择有关的物理量。（2）遗漏了某些有量纲的常数。（3）量纲相同，而物理意义不同的量容易混淆。（4）量纲分析法一般没有考虑物理现象的单值性条件。245.2相似理论5.2.1相似概述一、相似理论的发展概况解决复杂的实际工程问题，直接采用数学分析法极其困难，因此需要依靠实验研究来解决。为了减少实验工作量，并提高实验结果的准确度和应用的广度，所以便发展出了相似理论。1848年，法国的伯特朗(J．Bertrand)在分析力学方程的基础上确定了相似现象的基本性质。并提出了相似第一定理。“凡相似的现象，其相似准数相等”。251931年，苏联学者基尔皮乔夫和古赫曼提出了相似第二定理，“凡同一类现象(即都被同一完整方程组所描述的现象)，当单值条件相似，而且由单值条件的物理量所组成的相似准数相等，则这些现象就必定相似”。1911年，俄国学者费德尔曼提出了相似第三定理(又称兀定理)。“描述其现象的各种量之间的关系可表示成相似准数π1，π2,……,πn之间的函数关系，即：F(π1，π2,……,πn)=0。这种关系式称为“准数关系式”或“准数方程式”。目前相似理论已成为一门完整的学科，它是最先进的科学研究方法之一。26二、相似现象的相似性质(1)凡相似的现象都属于同一种类的现象。可用文字或形式上完全相同的完整方程组来描述(包括描述现象的基本方程及描述现象单值条件的方程)。(2)用来表征这些现象的一切物理量的场都相似。(3)相似现象必然发生在几何相似的空间中。即：凡相似的现象，其边界条件必定相似。(4)由性质(2)得知，相似现象的对应量互成比例。由性质(1)得知，由这些量组成的方程组又是相同的。所以各物理量的比值(相似倍数)是彼此既相互联系，又相互约束。27三、近似模化和类似相似三定理规定的所有相似条件通常很难全部实现。只需要满足为保证实验结果具有足够的准确性所必须满足的几个重要的相似条件。该研究方法称为近似模化法。把那些过程的内容不同，而描述它们的数学方程的形式相同的现象称为类似现象。285.2.2相似原理与相似条件一、物理现象之间的相似情况1、同类相似指两个物理现象都遵从相同的自然规律，可用相同的数学方