高中复习强化训练精品全集之函数模型及其应用

上传您的资源，我们一起分享！您的需求就是我们的追求，我们将竭诚为您服务！2010届高三数学一轮复习强化训练精品――函数模型及其应用基础自测1.一等腰三角形的周长是20，底边y是关于腰长x的函数，它的解析式为.答案y=20-2x(5＜x＜10)2.我国为了加强对烟酒生产的宏观调控，除了应征税外还要征收附加税，已知某种酒每瓶售价为70元，不收附加税时，每年大约销售100万瓶，若每销售100元国家要征附加税为x元（税率x%），则每年销售量减少10x万瓶，为了要使每年在此项经营中收取的附加税额不少于112万元，则x的最小值为.答案23.已知光线每通过一块玻璃板，光线的强度要损失10%，要使通过玻璃板的光线的强度减弱到原来强度的31以下，则至少需要重叠块玻璃板.答案114.某工厂生产某种产品固定成本为2000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元.又知总收入K是单位产品数Q的函数，K（Q）=40Q-201Q2，则总利润L（Q）的最大值是万元.答案2500例1如图所示，在矩形ABCD中，已知AB=a，BC=b（b＜a）,在AB，AD，CD，CB上分别截取AE，AH，CG，CF都等于x，当x为何值时，四边形EFGH的面积最大？并求出最大面积.解设四边形EFGH的面积为S，则S△AEH=S△CFG=21x2,S△BEF=S△DGH=21（a-x）（b-x），∴S=ab-2［x212+21（a-x）（b-x）］=-2x2+（a+b）x=-2（x-)4ba2+,8)(2ba由图形知函数的定义域为{x|0＜x≤b}.又0＜b＜a,∴0＜b＜2ba,若4ba≤b,即a≤3b时，则当x=4ba时，S有最大值8)(2ba;若4ba＞b,即a＞3b时，S（x）在（0,b］上是增函数，上传您的资源，我们一起分享！您的需求就是我们的追求，我们将竭诚为您服务！此时当x=b时，S有最大值为-2(b-4ba)2+8)(2ba=ab-b2,综上可知，当a≤3b，x=4ba时，四边形面积Smax=8)(2ba,当a＞3b，x=b时，四边形面积Smax=ab-b2.例2据气象中心观察和预测：发生于M地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度v（km/h）与时间t（h）的函数图象如图所示，过线段OC上一点T（t，0）作横轴的垂线l，梯形OABC在直线l左侧部分的面积即为t（h）内沙尘暴所经过的路程s（km）.（1）当t=4时，求s的值；（2）将s随t变化的规律用数学关系式表示出来；（3）若N城位于M地正南方向，且距M地650km，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N城，如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N城？如果不会，请说明理由.解（1）由图象可知：当t=4时，v=3×4=12,∴s=21×4×12=24.（2）当0≤t≤10时，s=21·t·3t=23t2，当10＜t≤20时，s=21×10×30+30（t-10）=30t-150；当20＜t≤35时，s=21×10×30+10×30+(t-20)×30-21×(t-20)×2(t-20)=-t2+70t-550.综上可知s=.35,20,55070,20,10,15030,10,0,2322ttttttt(3)∵t∈［0，10］时，smax=23×102=150＜650.t∈（10，20］时，smax=30×20-150=450＜650.∴当t∈（20，35］时，令-t2+70t-550=650.解得t1=30,t2=40,∵20＜t≤35,∴t=30，所以沙尘暴发生30h后将侵袭到N城.例3（14分）1999年10月12日“世界60亿人口日”，提出了“人类对生育的选择将决定世界未来”的主题，控制人口急剧增长的紧迫任务摆在我们的面前.（1）世界人口在过去40年内翻了一番，问每年人口平均增长率是多少？（2）我国人口在1998年底达到12.48亿，若将人口平均增长率控制在1%以内，我国人口在2008年底至多有多少亿？以下数据供计算时使用：上传您的资源，我们一起分享！您的需求就是我们的追求，我们将竭诚为您服务！数N1.0101.0151.0171.3102.000对数lgN0.00430.00650.00730.11730.3010数N3.0005.00012.4813.1113.78对数lgN0.47710.69901.09621.11761.1392解（1）设每年人口平均增长率为x，n年前的人口数为y，则y·（1+x）n=60，则当n=40时，y=30，即30（1+x）40=60，∴（1+x）40=2，5分两边取对数，则40lg（1+x）=lg2，则lg（1+x）=402lg=0.007525，∴1+x≈1.017，得x=1.7%.10分（2）依题意，y≤12.48（1+1%）10得lgy≤lg12.48+10×lg1.01=1.1392,∴y≤13.78，故人口至多有13.78亿.13分答每年人口平均增长率为1.7%，2008年人口至多有13.78亿.14分1.某商人将进货单价为8元的某种商品按10元一个销售时，每天可卖出100个，现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品销售单价每涨1元，销售量就减少10个，问他将售价每个定为多少元时，才能使每天所赚的利润最大？并求出最大值.解设每个提价为x元（x≥0），利润为y元，每天销售总额为（10+x）（100-10x）元，进货总额为8（100-10x）元，显然100-10x＞0,即x＜10,则y=（10+x）（100-10x）-8(100-10x)=(2+x)(100-10x)=-10(x-4)2+360(0≤x＜10).当x=4时，y取得最大值，此时销售单价应为14元，最大利润为360元.2.某工厂生产一种机器的固定成本（即固定投入）为0.5万元，但每生产100台，需要加可变成本（即另增加投入）0.25万元.市场对此产品的年需求量为500台，销售的收入函数为R（x）=5x-22x（万元）(0≤x≤5)，其中x是产品售出的数量（单位：百台）.（1）把利润表示为年产量的函数；（2）年产量是多少时，工厂所得利润最大？（3）年产量是多少时，工厂才不亏本？解（1）当x≤5时，产品能售出x百台；当x＞5时，只能售出5百台，故利润函数为L（x）=R（x）-C（x）上传您的资源，我们一起分享！您的需求就是我们的追求，我们将竭诚为您服务！=).5(25.012),50(5.0275.4)5()25.05.0()2555()50()25.05.0()25(222xxxxxxxxxxx(2)当0≤x≤5时，L（x）=4.75x-22x-0.5，当x=4.75时，L(x)max=10.78125万元.当x＞5时，L（x）=12-0.25x为减函数，此时L（x）＜10.75(万元）.∴生产475台时利润最大.（3）由.025.0125,05.0275.4,502x，xxxx或得x≥4.75-5562.21=0.1(百台）或x＜48(百台).∴产品年产量在10台至4800台时，工厂不亏本.3.某工厂今年1月、2月、3月生产某产品分别为1万件、1.2万件、1.3万件.为了估测以后每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据，用一个函数模型来模拟该产品的月产量y与月份数x的关系.模拟函数可以选用二次函数f(x)或函数g(x)=abx+c(其中a、b、c为常数）.已知4月份该产品的产量为1.37万件.请问用以上哪个函数作为函数模型较好?并说明理由.解设f(x)=px2+qx+r(p≠0)，则有.3.139)3(,2.124)2(,1)1(rqpfrqpfrqpf解得p=-0.05，q=0.35，r=0.7.∴f（4）=-0.05×42+0.35×4+0.7=1.3.又.3.1)3(,2.1)2(,1)1(32cabgcabgcabg解得a=-0.8，b=0.5，c=1.4.∴g（4）=-0.8×0.54+1.4=1.35.经比较可知，用g（x）=-0.8×（0.5）x+1.4作为模拟函数较好.一、填空题1.某机床在生产中所需垫片可以外购，也可自己生产，其中外购的单价是每个1.10元，若自己生产，则每月需投资固定成本800元，并且每生产一个垫片还需材料费和劳务费共0.60元.设该厂每月所需垫片x个，则自己生产垫片比外购垫片较合算的条件是x＞.答案16002.某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流,现要从这些边角料上截取矩形铁片（如图中阴影部分）备用，上传您的资源，我们一起分享！您的需求就是我们的追求，我们将竭诚为您服务！当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x，y应为分别为.答案15，123.某工厂8年来某种产品的总产量C与时间t(年）的函数关系如图所示，下列四种说法：①前三年中，产量增长的速度越来越快；②前三年中，产量增长的速度越来越慢；③第三年中，产品停止生产；④第三年中，这种产品产量保持不变.其中说法正确的是（填序号）.答案②③4.某产品的总成本y（万元）与产量x(台）之间的函数关系式是y=3000+20x-0.1x2,x∈(0,240),若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时（销售收入不小于总成本）的最低产量为台.答案1505.某医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据检测，服药后每毫升血液中的含药量y(毫克)与时间t(小时）之间的关系用如图所示曲线表示.据进一步测定，每毫升血液中含药量不少于0.25毫克时，治疗疾病有效，则服药一次治疗该疾病有效的时间为小时.答案416156.某商店计划投入资金20万元经销甲、乙两种商品，已知经销甲商品与乙商品所获得的利润分别为P（万元）和Q（万元），且它们与投入资金x（万元）的关系是：P=4x，Q=xa2（a＞0）.若不管资金如何投放，经销这两种商品或其中一种商品所获得的纯利润总和不少于5万元，则a的最小值应为.答案57.某种商品进货单价为40元，若按每个50元的价格出售，能卖出50个，若销售单价每上涨1元，则销售量就减少1个，为了获得最大利润，此商品的最佳售价应定为元.答案708.①如一次购物不超过200②如一次购物超过200元，但不超过500③如一次购物超过500元的，其中500元给予九折优惠，超过500元的给予八五折优惠；某人两次去购物，分别付款176元和432元，如果他只去一次购买同样的商品，则应付款元.答案582.6二、解答题9.某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨时，每吨为1.80元，当用水超过4吨时，超过部分每吨3.00元，某月甲、乙两户共交水费y元，已知甲、乙两用户该月用水量分别为5x，3x吨.（1）求y关于x（2）若甲、乙两户该月共交水费26.4元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费.解（1）当甲的用水量不超过4吨时，即5x≤4，乙的用水量也不超过4吨，y=（5x+3x）×1.8=14.4x;上传您的资源，我们一起分享！您的需求就是我们的追求，我们将竭诚为您服务！当甲的用水量超过4吨，乙的用水量不超过4吨时，即3x≤4且5x＞4,y=4×1.8+3x×1.8+3×(5x-4)=20.4x-4.8.当乙的用水量超过4吨时，即3x＞4,y=8×1.8+3(8x-8)=24x-9.6，所以y=)34(6.924).3454(8.44.20)540(4.14xxxxxx(2)由于y=f(x)在各段区间上均为单调递增，