高中奥林匹克数学竞赛讲座三角恒等式和三角不等式

1高中奥林匹克数学竞赛讲座三角恒等式和三角不等式知识、方法、技能三角恒等变形，既要遵循代数式恒等变形的一般法则，又有三角所特有的规律.三角恒等式包括绝对恒等式和条件恒等式两类。证明三角恒等式时，首先要观察已知与求证或所证恒等式等号两边三角式的繁简程度，以决定恒等变形的方向；其次要观察已知与求证或所证恒等式等号两边三角式的角、函数名称、次数以及结构的差别与联系，抓住其主要差异，选择恰当的公式对其进行恒等变形，从而逐步消除差异，统一形式，完成证明.“和差化积”、“积化和差”、“切割化弦”、“降次”等是我们常用的变形技巧。当然有时也可以利用万能公式“弦化切割”，将题目转化为一个关于2tanxt的代数恒等式的证明问题.要快捷地完成三角恒等式的证明，必须选择恰当的三角公式.为此，同学们要熟练掌握各公式及各公式的来龙去脉和变形形式.上图为三角公式脉络图，由图可见两角和差的三角函数的公式是所有三角公式的核心和基础.此外，三角是代数与几何联系的“桥梁”，与复数也有紧密的联系，因而许多三角问题往往可以从几何或复数角度获得巧妙的解法.三角不等式首先是不等式，因此，要掌握证明不等式的常用方法：配方法、比较法、放缩法、基本不等式法、数学归纳法等.其次，三角不等式又有自己的特点——含有三角式，因而三角函数的单调性、有界性以及图象特征等都是处理三角不等式的锐利武器.TT22CS222TCS万能公式CSCS相除相除相除33CS积化和差和差化积相加减2T2三角形中有关问题也是数学竞赛和高考的常见题型.解决这类问题，要充分利用好三角形内角和等于180°这一结论及其变形形式.如果问题中同时涉及边和角，则应尽量利用正弦定理、余弦定理、面积公式等进行转化，实现边角统一.求三角形面积的海伦公式)](21[))()((cbapcpbpappS其中，大家往往不甚熟悉，但十分有用.赛题精讲例1：已知.cossin)tan(:,1||),sin(sinAAA求证【思路分析】条件涉及到角、，而结论涉及到角，.故可利用)()(或消除条件与结论间角的差异，当然亦可从式中的“A”入手.【证法1】),sin(sinA),sin()sin(A),cos(sin))(cossin(),sin(sin)cos(cos)sin(AA.cossin)tan(,0)cos(,0cos,1||AAA从而【证法2】sin)sin(cossin)sin()sin(sincossinsinsinA).tan(sin)cos(sin)sin(])sin[()sin(cossin)sin(例2：证明：.cos64cos353215cos77cos7xxxocsxx【思路分析】等号左边涉及角7x、5x、3x、x右边仅涉及角x，可将左边各项逐步转化为xsin、xcos的表达式，但相对较繁.观察到右边的次数较高，可尝试降次.【证明】因为,cos33coscos4,cos3cos43cos33xxxxxx所以从而有xxxxx226cos9cos3cos63coscos16)2cos1(29)2cos4(cos326cos1xxxx3xxxxxxxxxxxxxcos20cos2cos30cos4cos12cos6cos2cos64,2cos992cos64cos66cos1cos3276.cos353cos215cos77coscos20cos153cos153cos65cos65cos7cosxxxxxxxxxxx【评述】本题看似“化简为繁”，实质上抓住了降次这一关键，很是简捷.另本题也可利用复数求解.令77)1(cos128,,1cos2,sincoszzzziz从而则，展开即可.例3：求证：.112tan312tan18tan18tan3【思路分析】等式左边同时出现12tan18tan、12tan18tan，联想到公式tantan1tantan)tan(.【证明】12tan312tan18tan18tan3112tan18tan)12tan18tan1)(1218tan(312tan18tan)12tan18(tan3【评述】本题方法具有一定的普遍性.仿此可证)43tan1()2tan1)(1tan1(222)44tan1(等.例4：已知.20012tan2sec:,2001tan1tan1求证【证明】)4tan()22sin()22cos(12cos2sin12tan2sec.2001tan1tan1例5：证明：.3sin)60sin()60sin(sin4【证明】3sin4sin33sin4)60sin()60sin(sin4)sin60coscos60)(sinsin60coscos60(sinsin4])sin21()cos23[(sin4)sin41cos43(sin4)sin43(sin422222【评述】这是三倍角的正弦的又一表示.类似地，有)60cos()60cos(cos43cos)60tan()60tan(tan3tan.利用这几个公式可解下例.例6：求证：①16178cos66cos42cos6cos②sin1°sin2°sin3°…sin89°=.106)41(45【证明】①cos6°cos42°cos66°cos78°=cos6°cos54°cos66°54cos78cos42cos.16154cos4)183cos(4154cos478cos42cos18cos②sin1°sin2°sin3°…sin89°=(sin1°sin59°sin61°)(sin2°sin58°sin62°)…(sin29°sin31°sin89°)sin30°sin60°=4387sin6sin3sin)41(2960sin30sin)87sin33sin27(sin)66sin54sin6)(sin63sin57sin3(sin3)41(3045sin)54sin36)(sin63sin27)(sin72sin18)(sin18sin9(sin3)41(81sin18sin9sin3)41(4040536sin18cos223)41(54cos72sin223)41(54cos18sin36cos18cos223)41(54cos72cos36cos18cos223)41(18cos36cos54cos72cos223)41(72sin54sin36sin18sin223)41(434342424242又)72cos1)(36cos1(41)36sin18(cos2165)72cos36cos1(41)72cos36cos72cos36cos1(41即.4536sin18cos所以.106)41(89sin2sin1sin45例7：证明：对任一自然数n及任意实数mnkmxk,,,2,1,0(2为任一整数），有.2cotcot2sin14sin12sin1xxxxxnn【思路分析】本题左边为n项的和，右边为2项之差，故尝试将左边各项“裂”成两项之差，并希冀能消去其中许多中间项.【证明】,2cotcot2sin2coscossin2cos22sin2coscos22sin122xxxxxxxxxxx同理xxx4cot2cot4sin1……xxxnnn2cot2cot2sin11【评述】①本题裂项技巧也可通过数学归纳法获得.②“裂项相消”在解题中具有一定的普遍性，类似可证下列各题：6nnnntantantan)1tan(3tan2tan2tantan.1cot1cos89cos88cos12cos1cos11cos0cos1.2cot2cot2tan22tan22tan2tan1122nnnn例8：证明：.2sin21sin)2sin()sin()2sin()sin(sinnnn【证明】)],2cos()2[cos(212sinsin)]sin()2sin()sin([sin2sin,,)]212cos()212[cos(212sin)sin(,)]23cos()25[cos(212sin)2sin()],2cos()23[cos(212sin)sin(nnnn各项相加得类似地.21sin)2sin()]2cos()212[cos(21nnn所以，.2sin21sin)2sin()sin()sin(sinnnn【评述】①本题也可借助复数获证.②类似地，有.2sin)2cos(21sin)cos()cos(cosnnn利用上述公式可快速证明下列各式：2sin21cos2sincos3cos2coscosnnn7.2197cos95cos93cos9cos.2175cos73cos9cos等针对性训练题1．证明：sin47°+sin61°－sin11°－sin25°=cos7°.2．证明：.sinsin)cos(2sin)2sin(3．已知：sinA+sinB+sinC=0，cosA+cosB+cosC=0.求证：sin2A+sin2B+sin2C=0，cos2A+cos2B+cos2C=0.4．已知.03sin312sin21sin:),,0(求证5．已知求且,tan3tan,20的最大值.6．已知、、、sinsinsinsin.),2,0(y求且的最大值.7．△ABC中，C=2B的充要条件是.22abbc8．△ABC中，已知A2sin、B2sin、C2sin成等差数列，求证：Acot、Bcot、Ccot也成等差数列.9．△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知cab2，求B的最大值.10．若、),2,0(能否以sin、sin、)sin(的值为边长构成一个三角形.11．求函数xxy382的值域.12．求函数22122xxxy的值域.