§6.5空间几何体及投影一、知识导学1.了解投影(投影线通过物体,向选定的面透射,并在该面上得到图形的方法)、中心投影(投射线交于一点的投影称为中心投影)、平行投影(投影线互相平行的投影称为平行投影)、斜投影(平行投影投射方向不是正对着投影面的投影)、正投影(平行投影投射方向正对着投影面的投影)的概念.2.了解三视图的有关概念(视图是指将物体按正投影向投影面投射所得到的图形.光线自物体的前面向后面投射所得的投影称之为主视图或正视图,自上而下的称为俯视图,自左向右的称为左视图,用这三种视图刻画空间物体的结构,称之为三视图);了解三视图画法规则,能作出物体的三视图.3.注意投影和射影的关系,以及在解题中的作用.二、疑难知识导析1.三视图间基本投影关系的三条规律:主视图与俯视图长对正,主视图与左视图高平齐,俯视图与左视图宽相等.概括为“长对正,高平齐,宽相等”;看不见的画虚线.2.主视图的上、下、左、右对应物体的上、下、左、右;俯视图的上、下、左、右对应物体的后、前、左、右;左视图的上、下、左、右对应物体的上、下、后、前.三、经典例题导讲[例1]如图,该物体的俯视图是().错解:B.错因:投影方向不对.正解:C.[例2]如图所示的正方体中,E、F分别是AA1,D1C1的中点,G是正方形BDB1D1的中心,则空间四边形AGEF在该正方体面上的投影不可能是()ABCDA1B1C1D1EFGABCD错解:C.正解:D[例3]水平放置的△ABC有一边在水平线上,它的直观图是正△A1B1C1,则△ABC是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.任意三角形错解:B.错因:不熟悉斜二侧画法的规则.正解:C.[例4]正方体的全面积是a2,它的顶点都在球面上,这个球的表面积是().A.2a3B.2a2C.22aD.23a错解:A.错因:对正方体和球的关系理解不清.正解:B.正方体的对角线就是球的直径.[例5](06年江西卷)如图,在四面体ABCD中,截面AEF经过四面体的内切球(与四个面都相切的球)球心O,且与BC,DC分别截于E、F,如果截面将四面体分成体积相等的两部分,设四棱锥A-BEFD与三棱锥A-EFC的表面积分别是S1,S2,则必有()A.S1S2B.S1S2C.S1=S2D.S1,S2的大小关系不能确定解:连OA、OB、OC、OD则VA-BEFD=VO-ABD+VO-ABE+VO-BEFDVA-EFC=VO-ADC+VO-AEC+VO-EFC又VA-BEFD=VA-EFC而每个三棱锥的高都是原四面体的内切球的半径,故SABD+SABE+SBEFD=SADC+SAEC+SEFC又面AEF公共,故选C[例6]正三棱台A1B1C1-ABC的侧面与底面成45°角,求侧棱与底面所成角的正切值.解:解法一如图,设O1,O为上下底面正三角形的中心,连接O1O,A1O1交A1B1于D1,AO交AB于D.连接D1D.易证A1O1⊥B1C1,AD⊥BC,D1D⊥BC,过A1,D1分别作A1E⊥底面ABC,D1F⊥底面ABC,易证E、F在AD上.因为正三棱台A1B1C1-ABC的侧面与底面成45°的二面角,所以∠D1DA=45°.因此A1E=O1O=D1F=FD.设该正三棱台上下底面的边长为a,b,则AD=23b,A1D1=23a.DBAOCEF所以A1E=O1O=D1F=FD=2331b-a2331=63(b-a).AE=3323322332ab(b-a).所以tan∠A1AE=211AEEA.解法二如图,延长AA1,BB1,CC1,则AA1,BB1,CC1相交于一点S.显然点S在DD1的延长线上.由解法一得知,∠SDA为二面角S-BC-A的平面角,故∠SDA=45°.所以在RtΔSOD中,SO=OD,因为AO=2·OD,所以tan∠SAO=21AOODAOSO.点评:由此例可以看出,在解决棱台的问题时,“还台为锥”利用棱锥的性质来解决棱台问题是一种快捷方便的方法.[例7]粉碎机的下料斗是正四棱台形,如图所示,它的两底面边长分别是80mm和440mm,高是200mm,计算:(1)这个下料斗的体积;(2)制造这样一个下料斗所需铁板的面积(保留两个有效数字)?分析:要求下料斗所需铁板的面积,就是求正四棱台的侧面积.正四棱台的侧面积公式是S侧=21(c+c')h'.解:(1)因为S上=4402mm2,S下=802mm2,h=200mm71V(SSSS)h3470400001.6103上下上下正四棱台223所以=++1=(440+80+44080)2003=(mm)(2)下底面周长c'=4×80=320mm,下底面周长c=4×440=1760mm,斜高h'=22002692440-80+()(mm)2S正棱台侧=12(c+c')h'=12(1760+320)×269≈2.8×105(mm2)答:这个下料斗的体积约为1.6×107mm3,制造这样一个下料斗需铁板约2.8×105mm2.点评:对于实际问题,须分清是求几何体的表面积,还是求侧面积,还是求侧面积与一个底面面积的和,还是求体积.四、典型习题导练1.一个直立在水平面上圆柱体的主视图、俯视图、左视图分为()A.长方形、圆、矩形B.矩形、长方形、圆C.圆、长方形、矩形D.长方形、矩形、圆2.直角三角形绕它最长边(即斜边)旋转一周得到的几何体为()3.下列平面图中不能围成立方体的是().4.从七边形的某个顶点出发,分别连接这个顶点与其余各顶点,可以把七边形分成_____个三角形.5.在球心同侧有相距9cm的两个平行截面,它们的面积分别为49πcm2和400πcm2,求球的表面积.