高中数学(22函数的表示法第1课时)示范教案新人教A版必修1

11.2.2函数的表示法整体设计教学分析课本从引进函数概念开始就比较注重函数的不同表示方法:解析法,图象法,列表法.函数的不同表示方法能丰富对函数的认识,帮助理解抽象的函数概念.特别是在信息技术环境下,可以使函数在形与数两方面的结合得到更充分的表现,使学生通过函数的学习更好地体会数形结合这种重要的数学思想方法.因此,在研究函数时,要充分发挥图象的直观作用.在研究图象时,又要注意代数刻画以求思考和表述的精确性.课本将映射作为函数的一种推广,这与传统的处理方式有了逻辑顺序上的变化.这样处理,主要是想较好地衔接初中的学习,让学生将更多的精力集中理解函数的概念,同时,也体现了从特殊到一般的思维过程.三维目标1.了解函数的一些基本表示法(列表法、图象法、解析法),会根据不同实际情境选择合适的方法表示函数,树立应用数形结合的思想.2.通过具体实例,了解简单的分段函数,并能简单应用,提高应用函数解决实际问题的能力,增加学习数学的兴趣.3.会用描点法画一些简单函数的图象,培养学生应用函数的图象解决问题的能力.4.了解映射的概念及表示方法,会利用映射的概念来判断“对应关系”是否是映射,感受对应关系在刻画函数和映射概念中的作用,提高对数学高度抽象性和广泛应用性的进一步认识.重点难点教学重点:函数的三种表示方法,分段函数和映射的概念.教学难点:分段函数的表示及其图象,映射概念的理解;运用集合两种常用表示——列举法与描述法.课时安排3课时教学过程第1课时导入新课思路1.语言是沟通人与人之间的联系的,同样的祝福又有着不同的表示方法.例如,简体中文中的“生日快乐！”用繁体中文为:生日快樂！英文为:HappyBirthday！法文是BonAnniversaire！德文是AllesGuteZumGeburtstag!西班牙中称iFelizCumpleaRos!印度尼西亚文是SelamatUlangTahun！荷兰文的生日快乐为VanHarteGefeliciteerdmetjeverjaardag！在俄语中则是Сднемрождения!……那么对于函数,又有什么不同的表示方法呢？引出课题:函数的表示法.思路2.我们前面已经学习了函数的定义,函数的定义域的求法,函数值的求法,两个函数是否相同的判定方法,那么函数的表示方法常用的有哪些呢？这节课我们就来研究这个问题(板书课题).推进新课新知探究提出问题初中学过的三种表示法:解析法、图象法和列表法各是怎样表示函数的？讨论结果：(1)解析法:用数学表达式表示两个变量之间的函数关系,这种表示方法叫做解析法,这个数学表达式叫做函数的解析式.2(2)图象法:以自变量x的取值为横坐标,对应的函数值y为纵坐标,在平面直角坐标系中描出各个点,这些点构成了函数的图象,这种用图象表示两个变量之间函数关系的方法叫做图象法.(3)列表法:列一个两行多列的表格,第一行是自变量的取值,第二行是对应的函数值,这种用表格来表示两个变量之间的函数关系的方法叫做列表法.应用示例思路11.某种笔记本的单价是5元,买x(x∈{1,2,3,4,5})个笔记本需要y元,试用三种表示法表示函数y=f(x).活动：学生思考函数的表示法的规定.注意本例的设问,此处“y=f(x)”有三种含义,它可以是解析表达式,可以是图象,也可以是对应值表.本题的定义域是有限集,且仅有5个元素.解：这个函数的定义域是数集{1,2,3,4,5},用解析法可将函数y=f(x)表示为y=5x,x∈{1,2,3,4,5}.用列表法可将函数y=f(x)表示为笔记本数x12345钱数y510152025用图象法可将函数y=f(x)表示为图1-2-2-1.图1-2-2-1点评：本题主要考查函数的三种表示法.解析法的特点是:简明、全面地概括了变量间的关系;可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值,便于用解析式来研究函数的性质,还有利于我们求函数的值域;图象法的特点是:直观形象地表示自变量的变化,相应的函数值变化的趋势,有利于我们通过图象来研究函数的某些性质,图象法在生产和生活中有许多应用,如企业生产图,股市走势图等;列表法的特点是:不需要计算就可以直接看出与自变量的值对应的函数值,列表法在实际生产和生活中也有广泛的应用,如银行利率表、列车时刻表等等.但是并不是所有的函数都能用解析法表示,只有函数值随自变量的变化发生有规律的变化时,这样的函数才可能有解析式,否则写不出解析式,也就不能用解析法表示.例如:张丹的年龄n(n∈N*)每取一个值,那么他的身高y(单位:cm)总有唯一确定的值与之对应,因此身高y是年龄n的函数y=f(n),但是这个函数的解析式不存在,函数y=f(n)不能用解析法来表示.注意：①函数图象既可以是连续的曲线,也可以是直线、折线、离散的点等等;②解析法:必须注明函数的定义域,否则使函数解析式有意义的自变量的取值范围是函数的定义域;③图象法:根据实际情境来决定是否连线;④列表法:选取的自变量要有代表性,应能反映定义域的特征.变式训练1.已知函数f(x)在［-1,2］上的图象如图1-2-2-2所示,求f(x)的解析式.3图1-2-2-2解：观察图象,知此函数是分段函数,并且在每段上均是一次函数,利用待定系数法求出解析式为:当-1≤x≤0时,f(x)=x+1;当0x2时,f(x)=2x,则有f(x)=.20,21,01,1xxxx2.2007山东青岛第一次调研,理13已知2f(x)+f(-x)=3x+2,则f(x)=________.分析:由题意得2,-3xf(x)2f(-x)2,3xf(-x)2f(x)把f(x)和f(-x)看成未知数,解方程即得.答案：3x+322.下表是某校高一(1)班三位同学在高一学年度几次数学测试的成绩及班级平均分表:第一次第二次第三次第四次第五次第六次王伟988791928895张城907688758680赵磊686573727582班平均分88.278.385.480.375.782.6请你对这三位同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析.活动：学生思考做学情分析,具体要分析什么？怎么分析？借助什么工具？本题利用表格给出了四个函数,它们分别表示王伟、张城、赵磊的考试成绩及各次考试的班级平均分.由于表格区分三位同学的成绩高低不直观,故采用图象法来表示.做学情分析,具体要分析学习成绩是否稳定,成绩变化趋势.解：把“成绩”y看成“测试序号”x的函数,用图象法表示函数y=f(x),如图1-2-2-3所示.4图1-2-2-3由图1-2-2-3可看到:王伟同学的数学成绩始终高于班级平均分,学习情况比较稳定而且成绩优秀;张城同学的数学成绩不稳定,总是在班级平均分水平上下波动,而且波动幅度较大;赵磊同学的数学学习成绩呈上升趋势,表明他的数学成绩稳步提高.点评：本题主要考查根据实际情境需要选择恰当的函数表示法的能力,以及应用函数解决实际问题的能力.通过本题可见,图象法比列表法和解析法更能直观反映函数值的变化趋势.注意：本例为了研究学生的学习情况,将离散的点用虚线连接,这样便于研究成绩的变化特点.变式训练1.函数y=x2-4x+6,x∈［1,5)的值域是_________.分析:画出函数的图象,图象上所有点的纵坐标的取值范围就是函数的值域.答案：［2,11)2.将长为a的铁丝折成矩形,求矩形面积y关于一边长x的函数关系式,并求定义域和值域,作出函数的图象.分析:解此题的关键是先把实际问题转化成数学问题,即把面积y表示为x的函数,用数学的方法解决,然后再回到实际中去.解：设矩形一边长为x,则另一边长为21(a-2x),则面积y=21(a-2x)x=-x2+21ax.又0,2x-a0,x得0x2a,即定义域为(0,2a).由于y=-(x4a)2+161a2≤161a2,如图1-2-2-4所示,结合函数的图象得值域为(0,161a2］.5图1-2-2-43.2007山东高考样题,文8向高为H的水瓶中注水,注满为止,如果注水量V与水深h的函数关系的图象如图1-2-2-5所示,那么水瓶的形状是()图1-2-2-5图1-2-2-6分析:要求由水瓶的形状识别容积V和高度h的函数关系,突出了对思维能力的考查.观察图象,根据图象的特点发现:取水深h=2H,注水量V′20V,即水深为一半时,实际注水量大于水瓶总水量的一半.A中V′20V,C、D中V′=20V,故排除A、C、D.答案：B思路21.2007宁夏银川一模,理14已知f(xx11)=2211xx,则f(x)=________.活动：学生思考函数的解析式表达的含义.设xx11=t,利用换元法,转化为求f(t).利用整体思想把xx11看成一个整体,即可得函数的解析式.要注意函数f(t)与f(x)是同一个函数.分析:可设xx11=t,则有x=tt11,所以f(t)=22)11(1)11(1tttt=212tt,所以f(x)=212xx.答案：212xx变式训练6课本P26练习1.点评：本题主要考查函数的解析式.已知f［g(x)］=φ(x),求f(x)的解析式时,通常用换元法,其步骤是:①设g(x)=t;②把t看成常数,解关于x的方程g(x)=t得x=h(t);③将x=h(t)代入φ(x),得函数f(t)的解析式;④再用x替换f(t)的解析式中的t得函数f(x)的解析式.其实求函数的解析式方法很多,例如方程法:对于已知等式中出现两个不同变量的函数关系式,依据这两个变量的关系,重新建立关于这两个变量的不同等式,利用整体思想,把f(x)和另一个函数看成未知数,解方程组得函数f(x)的解析式.类似于解二元一次方程组,故称为方程法.待定系数法:已知函数的模型求其解析式时,常用待定系数法.2.已知函数f(x)=273xx.(1)画出函数f(x)的图象;(2)观察图象写出函数的定义域和值域.活动：学生思考函数图象的画法.利用变换法画函数f(x)的图象,利用图象法写出函数的定义域和值域.形如函数y=dcxbax(c≠0,a2+b2≠0)的图象均可由反比例函数y=xk的图象经过平移得到,因此函数y=dcxbax(c≠0,a2+b2≠0)的图象形状是双曲线.解：(1)y=273xx=2163xx=21x.将y=x1的图象向左平移两个单位得y=21x的图象,再向上平移三个单位得y=21x+3的图象.图象如图1-2-2-7所示.图1-2-2-7(2)观察函数的图象图1-2-2-7,可知图象上所有点的横坐标的取值范围是(-∞,-2)∪(-2,+∞),图象上所有点的纵坐标的取值范围是(-∞,3)∪(3,+∞).则函数的定义域是(-∞,-2)∪(-2,+∞),值域是(-∞,3)∪(3,+∞).点评：本题主要考查函数的定义域、值域和图象.画不熟悉的函数的图象,可以变形成由基本函数,利用变换法画出图象,但要注意变形过程是否等价,注意x,y的变化范围.因此必须熟记基本初等函数的图象,如:正、反比例函数,一次、二次函数的图象,在变换函数的解析式中运用了转化和分类讨论的思想.求函数值域的方法:①图象法,借助于函数值域的几何意义,利用函数的图象求值域;②观察法,对于解析式比较简单的函数,利用常见的结论如x2≥0,|x|≥0,x≥0等观察出函数的值域;③换元法,利用换元法转化为求常见函数如二次函数的值域等.7注意：讨论函数的值域要先考虑函数的定义域,本例中(1)如果忽视函数的定义域,那么会错误地得函数值域为［-1,+∞).避免此类错误的方法是研究函数时要遵守定义域优先的原则.变式训练求下列函数的值域:(1)y=x2-2x(-1≤x≤2);(2)y=x4+1.分析:本题主要考查函数的值域及其求法.(1)借助于函数值域的几何意义,利用函数的图象求值域;(2)观察得x4≥0,得函数的值域,也可以利用换元法转化为求二次函数的值域.(1)解：(图象法)在平面直角坐标系中画出二次函数y=x2-2x(-1≤x≤2)的图象,如图1-2-2