高中数学(必修四)三角函数

高中数学必修四〔三角函数〕一、典型例题例1、已知函数f(x)=)xcosx(sinlog21（1）、求它的定义域和值域；（2）、求它的单调区间；（3）、判断它的奇偶性；（4）、判断它的周期性。分析：（1）x必须满足sinx-cosx0，利用单位圆中的三角函数线及45k2x4k2，k∈Z∴函数定义域为)45k2,4k2(，k∈Z∵)4xsin(2xcosxsin∴当x∈)45k2,4k2(时，1)4xsin(0∴2cosxsin0∴212logy21∴函数值域为[,21）（3）∵f(x)定义域在数轴上对应的点关于原点不对称∴f(x)不具备奇偶性（4）∵f(x+2π)=f(x)∴函数f(x)最小正周期为2π注；利用单位圆中的三角函数线可知，以Ⅰ、Ⅱ象限角平分线为标准，可区分sinx-cosx的符号；以Ⅱ、Ⅲ象限角平分线为标准，可区分sinx+cosx的符号，如图。例2、化简)cos1(2sin12，α∈（π，2π）分析：凑根号下为完全平方式，化无理式为有理式∵222)2cos2(sin2cos2sin22cos2sinsin12cos4)12cos21(2)cos1(222∴原式=|2cos|2|2cos2sin|2∵α∈（π，2π）∴),2(2∴02cos当23,4922时，02cos2sin∴原式=2sin2当223,243时，02cos2sin∴原式=)2arctan2sin(522cos42sin2∴原式=223)2arctan2sin(52232sin2注：1、本题利用了“1”的逆代技巧，即化1为2cos2sin22，是欲擒故纵原则。一般地有|cossin|2sin1，|cos|22cos1，|sin|22cos1。2、三角函数式asinx+bcosx是基本三角函数式之一，引进辅助角，将它化为)xsin(ba22（取abarctan）是常用变形手段。特别是与特殊角有关的sin±cosx，±sinx±3cosx，要熟练掌握变形结论。例3、求0020210sin21)140cos1140sin3(。分析：原式=00202020210sin21140cos140sin140sin140cos316160sin200sin1680cos80sin200sin810sin2180sin41200sin80sin410sin21)40cos40sin()140sin140cos3)(140sin140cos3(000000020002000000注：在化简三角函数式过程中，除利用三角变换公式，还需用到代数变形公式，如本题平方差公式。例4、已知00αβ900，且sinα，sinβ是方程020240cosx)40cos2(x21=0的两个实数根，求sin(β-5α)的值。分析：由韦达定理得sinα+sinβ=2cos400，sinαsinβ=cos2400-21∴sinβ-sinα=)40cos1(2sinsin4)sin(sin)sin(sin0222040sin2又sinα+sinβ=2cos400∴0000005sin)40sin240cos2(21sin85sin)40sin240cos2(21sin∵00αβ900∴00585∴sin(β-5α)=sin600=23注：利用韦达定理变形寻找与sinα，sinβ相关的方程组，在求出sinα，sinβ后再利用单调性求α，β的值。例5、（1）已知cos(2α+β)+5cosβ=0，求tan(α+β)·tanα的值；（2）已知5cos3sincossin2，求2sin42cos3的值。分析：从变换角的差异着手。∵2α+β=(α+β)+α，β=(α+β)-α∴8cos[(α+β)+α]+5cos[(α+β)-α]=0展开得：13cos(α+β)cosα-3sin(α+β)sinα=0同除以cos(α+β)cosα得：tan(α+β)tanα=313以三角函数结构特点出发∵3tan1tan2cos3sincossin2∴53tan1tan2∴tanθ=2∴57tan1tan8tan33cossincossin8)sin(cos32sin42cos3222222注；齐次式是三角函数式中的基本式，其处理方法是化切或降幂。例6、已知函数2xsin2xsin24a)x(f（a∈(0，1)），求f(x)的最值，并讨论周期性，奇偶性，单调性。分析：对三角函数式降幂81x2cos2x2cos141xsin41)xsin21(2xcos2xsin)2xsin1(2xsin2xsin2xsin22222224∴f(x)=81x2cosa令81x2cos81u则y=au∴0a1∴y=au是减函数∴由]k2,k2[x2得]k,2k[x，此为f(x)的减区间由]k2,k2[x2得]2k,k[x，此为f(x)增区间∵u(-x)=u(x)∴f(x)=f(-x)∴f(x)为偶函数∵u(x+π)=f(x)∴f(x+π)=f(x)∴f(x)为周期函数，最小正周期为π当x=kπ（k∈Z）时，ymin=1当x=kπ+2（k∈Z）时，ynax=41a注：研究三角函数性质，一般降幂化为y=Asin(ωx+φ)等一元一次一项的形式。练习一、选择题1、下列函数中，既是（0，2）上的增函数，又是以π为周期的偶函数是（）A、y=lgx2B、y=|sinx|C、y=cosxD、y=x2sin22、如果函数y=sin2x+acos2x图象关于直线x=-8对称，则a值为（）A、-2B、-1C、1D、23、函数y=Asin(ωx+φ)（A0，φ0），在一个周期内，当x=8时，ymax=2；当x=85时，ymin=-2，则此函数解析式为（）A、)42xsin(2yB、)4x2sin(2yC、)4xsin(2yD、)8x2sin(2y4、已知tan11tan=1998，则2tan2sec的值为（）A、1997B、1998C、1999D、20005、已知tanα，tanβ是方程04x33x2两根，且α，β)2,2(，则α+β等于（）A、32B、32或3C、3或32D、36、若3yx，则sinx·siny的最小值为（）A、-1B、-21C、43D、417、函数f(x)=3sin(x+100)+5sin(x+700)的最大值是（）A、5.5B、6.5C、7D、88、若θ∈（0，2π]，则使sinθcosθcotθtanθ成立的θ取值范围是A、（2,4）B、（,43）C、（23,45）D、（2,47）9、下列命题正确的是（）A、若α，β是第一象限角，αβ，则sinαsinβB、函数y=sinx·cotx的单调区间是)2k2,2k2(，k∈ZC、函数x2sinx2cos1y的最小正周期是2πD、函数y=sinxcos2φ-cosxsin2x的图象关于y轴对称，则42k，k∈Z10、函数)x2cosx2(sinlog)x(f31的单调减区间是（）A、)8k,4k(B、]8k,8k(C、)83k,8k(D、)85k,8k(k∈Z二、填空题11、函数f(x)=sin(x+θ)+3cos(x-θ)的图象关于y轴对称，则θ=________。12、已知α+β=3，且3(tanαtanβ+c)+tanα=0（c为常数），那么tanβ=______。13、函数y=2sinxcosx-3(cos2x-sin2x)的最大值与最小值的积为________。14、已知(x-1)2+(y-1)2=1，则x+y的最大值为________。15、函数f(x)=sin3x图象的对称中心是________。三、解答题16、已知tan(α-β)=21，tanβ=71，α，β∈（-π，0），求2α-β的值。17、是否存在实数a，使得函数y=sin2x+acosx+23a85在闭区间[0，2]上的最大值是1？若存在，求出对应的a值。18、已知f(x)=5sinxcosx-35cos2x+325（x∈R）（1）、求f(x)的最小正周期；（2）、求f(x)单调区间；（3）、求f(x)图象的对称轴，对称中心。参考答案选择题1、B2、B3、B4、B5、A6、C7、C8、C9、D10、B填空题11、6k，k∈Z12、)1c(313、-414、2215、（3k，0）解答题16、4717、23ay=sin2x+acosx+5a/8-3/2=(1-cosx^cosx)+acosx+5a/8-3/2=-cosx^cosx+acosx+5a/8-1/2=-(cosx-a/2)(cosx-a/2)+a^a/4+5a/8-1/2如果存在a值满足条件,则a^a/4+5a/8-1/2=1解之得a=3/2或者-4当a=-4时y取最大值时cosx=a/2=-2不存在当a=3/2时y取最大值时cosx=a/2=3/4满足条件所以a=3/218、（1）T=π（2）增区间[kπ-12，kπ+125π]，减区间[kπ+]1211k,125（3）对称中心（62k，0），对称轴1252kx，k∈Z