高中数学--离散型随机变量的均值与方差正态分布

高中数学--离散型随机变量的均值与方差、正态分布1．已知随机变量X服从二项分布，且E(X)＝2.4，D(X)＝1.44，则二项分布的参数n，p的值为()A．n＝4，p＝0.6B．n＝6，p＝0.4C．n＝8，p＝0.3D．n＝24，p＝0.1【解析】由题意得np＝2.4，np1－p＝1.44，解得n＝6，p＝0.4.【答案】B2．设两个正态分布N(μ1，σ21)(σ1＞0)和N(μ2，σ22)(σ2＞0)的密度函数图象如图所示，则有()A．μ1＜μ2，σ1＜σ2B．μ1＜μ2，σ1＞σ2C．μ1＞μ2，σ1＜σ2D．μ1＞μ2，σ1＞σ2【解析】根据正态分布N(μ，σ2)函数的性质：正态分布曲线是一条关于直线x＝μ对称，在x＝μ处取得最大值的连续钟形曲线；σ越大，曲线的最高点越低且较平缓；反过来，σ越小，曲线的最高点越高且较陡峭，故选A.【答案】A3．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c(a、b、c∈(0,1))，已知他投篮一次得分的均值为2，则2a＋13b的最小值为()A.323B.283C.143D.163【解析】由已知得，3a＋2b＋0×c＝2，即3a＋2b＝2，其中0a23，0b1.又2a＋13b＝3a＋2b22a＋13b＝3＋13＋2ba＋a2b≥103＋22ba·a2b＝163，当且仅当2ba＝a2b，即a＝2b时取“等号”，又3a＋2b＝2，即当a＝12，b＝14时，2a＋13b的最小值为163，故选D.【答案】D4．马老师从课本上抄录一个随机变量ξ的概率分布列如下表：ξ123P？！？请小牛同学计算ξ的数学期望．尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同．据此，小牛给出了正确答案E(ξ)＝__________.【解析】令“？”为a，“！”为b，则2a＋b＝1.又E(ξ)＝a＋2b＋3a＝2(2a＋b)＝2.【答案】25．以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数．乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示．(1)如果X＝8，求乙组同学植树棵数的平均数和方差；(2)如果X＝9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数Y的分布列和数学期望．(注：方差s2＝1n[(x1－x)2＋(x2－x)2＋…＋(xn－x)2]，其中x为x1，x2，…，xn的平均数)【解】(1)当X＝8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：8,8,9,10，所以平均数为：x＝8＋8＋9＋104＝354；方差为：s2＝14×[(8－354)2＋(8－354)2＋(9－354)2＋(10－354)2]＝1116.(2)当X＝9时，由茎叶图可知，甲组同学的植树棵数是：9,9,11,11；乙组同学的植树棵数是9,8,9,10.分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，共有4×4＝16种可能的结果，这两名同学植树总棵数Y的可能取值为17,18,19,20,21.事件“Y＝17”等价于“甲组选出的同学植树9棵，乙组选出的同学植树8棵”，所以该事件有2种可能的结果，因此P(Y＝17)＝216＝18.同理可得P(Y＝18)＝14；P(Y＝19)＝14；P(Y＝20)＝14；P(Y＝21)＝18.所以随机变量Y的分布列为：Y1718192021P1814141418EY＝17×P(Y＝17)＋18×P(Y＝18)＋19×P(Y＝19)＋20×P(Y＝20)＋21×P(Y＝21)＝17×18＋18×14＋19×14＋20×14＋21×18＝19.课时作业【考点排查表】难度及题号错题记录考查考点及角度基础中档稍难正态分布258离散型随机变量的均值16,7,129,13，离散型随机变量的方差34,10,11一、选择题1．(2010·全国新课标高考)某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为()A．100B．200C．300D．400【解析】1000粒种子每粒不发芽的概率为0.1，∴不发芽的种子数X～B(1000,0.1)，∴1000粒种子中不发芽的种子数为1000×0.1＝100粒，又每粒不发芽需补种2粒；∴需补种的数X＝2×100＝200.【答案】B2．(2010·广东高考)已知随机变量X服从正态分布N(3,1)，且P(2≤X≤4)＝0.6826，则P(X＞4)＝()A．0.1588B．0.1587C．0.1586D．0.1585【解析】由正态曲线性质知，其图象关于x＝3对称，∴P(x＞4)＝0.5－12P(2≤x≤4)＝0.5－12×0.6826＝0.1587.故选B.【答案】B3．若X是离散型随机变量，P(X＝x1)＝23，P(X＝x2)＝13，且x1＜x2，又已知E(X)＝43，D(X)＝29，则x1＋x2的值为()A.53B.73C．3D.113【解析】由E(X)＝23x1＋13x2＝43得2x1＋x2＝4①又D(X)＝(x1－43)2·23＋(x2－43)2·13＝29得18x21＋9x22－48x1－24x2＋29＝0②由①②，且x1＜x2得x1＝1，x2＝2，∴x1＋x2＝3.【答案】C4．已知随机变量X＋η＝8，若X～B(10,0.6)，则E(η)，D(η)分别是()A．6和2.4B．2和2.4C．2和5.6D．6和5.6【解析】若两个随机变量η，X满足一次关系式η＝aX＋b(a，b为常数)，当已知E(X)、D(X)时，则有E(η)＝aE(X)＋b，D(η)＝a2D(X)．由已知随机变量X＋η＝8，所以有η＝8－X.因此，求得E(η)＝8－E(X)＝8－10×0.6＝2，D(η)＝(－1)2D(X)＝10×0.6×0.4＝2.4.【答案】B5．设随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，函数f(x)＝x2＋4x＋ξ没有零点的概率是12，则μ等于()A．1B．4C．2D．不能确定【解析】根据题意，函数f(x)＝x2＋4x＋ξ没有零点时，Δ＝16－4ξ＜0，即ξ＞4，根据正态密度曲线的对称性，当函数f(x)＝x2＋4x＋ξ没有零点的概率是12时，μ＝4.【答案】B6．利用下列盈利表中的数据进行决策，应选择的方案是()A.A1B．A2C．A3D．A4【解析】利用方案A1、A2、A3、A4盈利的期望分别是：50×0.25＋65×0.30＋26×0.45＝43.7；70×0.25＋26×0.30＋16×0.45＝32.5；(－20)×0.25＋52×0.30＋78×0.45＝45.7；98×0.25＋82×0.30＋(－10)×0.45＝44.6.【答案】C二、填空题7．已知随机变量X的分布列为X－101P121613那么X的数学期望E(X)＝______，设Y＝2X＋1，则Y的数学期望E(Y)＝________.【解析】由离散型随机变量的期望公式及性质可得，E(X)＝(－1)×12＋0×16＋1×13＝－16，E(Y)＝E(2X＋1)＝2E(X)＋1＝2×(－16)＋1＝23.【答案】－16238．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N(1，σ2)(σ＞0)，若ξ在(0,1)内取值的概率为0.4，则ξ在(0,2)内取值的概率为________．【解析】在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N(1，σ2)(σ＞0)，正态分布图象的对称轴为x＝1，ξ在(0,1)内取值的概率为0.4，可知，随机变量ξ在(1,2)内取值的概率与ξ在(0,1)内取值的概率相同，也为0.4，这样随机变量ξ在(0,2)内取值的概率为0.8.【答案】0.89．有一批产品，其中有12件正品和4件次品，从中任取3件，若ξ表示取到次品的个数，则E(ξ)＝__________.【解析】ξ的取值为0,1,2,3，则P(ξ＝0)＝C312C316＝1128；P(ξ＝1)＝C212C14C316＝3370；P(ξ＝2)＝C112C24C316＝970；P(ξ＝3)＝C34C316＝1140.∴E(ξ)＝0×1128＋1×3370＋2×970＋3×1140＝34.【答案】34三、解答题10．一名学生在军训中练习射击项目，他们命中目标的概率是13，共射击6次．(1)求在第三次射击中首次命中目标的概率；(2)求他在射击过程中命中目标数ξ的期望与方差．【解】(1)第三次射击中首次命中的意思是第一、二次都未命中而第三次命中，这是相互独立事件同时发生的概率．又∵P＝13，P＝23，∴P3＝23×23×13＝427.(2)他在每次射击中是否命中目标是相互独立的，所以是进行了6次独立重复试验，即随机变量ξ服从二项分布ξ～B(6，13)．由服从二项分布的期望与方差的计算公式知Eξ＝np＝6×13＝2，Dξ＝np(1－p)＝6×13×23＝43.11．(2012·北京高考)近年来，某市为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应分垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000吨生活垃圾，数据统计如下(单位：吨)：“厨余垃“可“其圾”箱回收物”箱他垃圾”箱厨余垃圾400100100可回收物3024030其他垃圾202060(1)试估计厨余垃圾投放正确的概率；(2)试估计生活垃圾投放错误额概率；(3)假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为a，b，c其中a＞0，a＋b＋c＝600.当数据a，b，c的方差s2最大时，写出a，b，c的值(结论不要求证明)，并求此时s2的值．(注：s2＝1n[(x1－x)2＋(x2－x)2＋…＋(xn－x)2]，其中x为数据x1，x2，…，xn的平均数)【解】(1)厨余垃圾投放正确的概率约为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量厨余垃圾＝400400＋100＋100＝23.(2)设生活垃圾投放错误为事件A，则事件A表示生活垃圾投放正确．事件A的概率约为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量、“可回收物”箱里可回收物量与“其他垃圾”箱里其他垃圾量的总和除以生活垃圾总量，即P(A)约为400＋240＋601000＝0.7，所以P(A)约为1－0.7＝0.3.(3)当a＝600，b＝c＝0，s2取得最大值．因为x－＝13(a＋b＋c)＝200，所以s2＝13[(600－200)2＋(0－200)2＋(0－200)2]＝80000.12．(2012·江西高考)如图，从A1(1,0,0)，A2(2,0,0)，B1(0,1,0)，B2(0,2,0)，C1(0,0,1)，C2(0,0,2)这6个点中随机选取3个点，将这3个点及原点O两两相连构成一个“立体”，记该“立体”的体积为随机变量V(如果选取的3个点与原点在同一个平面内，此时“立体”的体积V＝0)．(1)求V＝0的概率；(2)求V的分布列及数学期望．【解】(1)从6个点中随机地选取3个点共有C36＝20种选法，选取的3个点与原点O在同一个平面上的选法有C13C34＝12种，因此V＝0的概率P(V＝0)＝1220＝35(2)V的所有可能值为0，16，13，23，43，因此V的分布列为V016132343P35120320320120由V的分布列可得：EV＝0×35＋16×120＋13×320＋23×320＋43×120＝940.四、选做题13．某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X依次为1,2，…，8，其中X≥5为标准A，X≥3为标准B.已知甲厂执行标准A生产该产品，产品的零售价为6元/件；乙厂执行标准B生产该产品，产品的零售价为4元/件，假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准．(1)已知甲厂产品的等级系数X1的概率分布列如下所示：X15678P0.4ab0.1且X1的数学期望E(X1)＝6，求a，b的值；(2)为分析乙厂产品的等级系数X2，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：353385563463475348538343447567用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级