高中数学2-3-4第2章第4课时数列的综合应用同步检测新人教B版必修5

1第2章2.3第4课时数列的综合应用一、选择题1．在如图的表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，则a＋b＋c的值为()12121abcA.1B．2C．3D．4[答案]A[解析]由题意知a＝12，b＝516，c＝316，故a＋b＋c＝1.2．若Sn是数列{an}的前n项和，且Sn＝n2，则{an}是()A．等比数列，但不是等差数列B．等差数列，但不是等比数列C．等差数列，但也是等比数列D．既不是等差数列，又不是等比数列[答案]B[解析]Sn＝n2，Sn－1＝(n－1)2(n≥2)，∴an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1(n≥2)，又a1＝S1＝1满足上式，∴an＝2n－1(n∈N*)∴an＋1－an＝2(常数)∴{an}是等差数列，但不是等比数列，故应选B.3．(2010·福建理)设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a1＝－11，a4＋a6＝－6，则当Sn取最小值时，n等于()A．6B．7C．8D．9[答案]A[解析]设等差数列的公差为d，由由a4＋a6＝－6得2a5＝－6，∴a5＝－3.又∵a1＝－11，∴－3＝－11＋4d，∴d＝2，∴Sn＝－11n＋nn－2×2＝n2－12n＝(n－6)2－36，故当n＝6时Sn取最小值，故选A.4．等比数列{an}的前n项和为Sn，且4a1,2a2，a3成等差数列．若a1＝1，则S4＝()2A．7B．8C．15D．16[答案]C[解析]设等比数列的公比为q，则由4a1,2a2，a3成等差数列，得4a2＝4a1＋a3，∴4a1q＝4a1＋a1q2，又∵a1＝1，∴q2－4q＋4＝0，q＝2.∴S4＝a1－q41－q＝15.5．(2009·湖南)设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知a2＝3，a6＝11，则S7等于()A．13B．35C．49D．63[答案]C[解析]∵a1＋a7＝a2＋a6＝3＋11＝14，∴S7＝a1＋a72＝49.6．在数列{an}中，a1，a2，a3成等差数列，a2，a3，a4成等比数列，a3，a4，a5的倒数成等差数列，则a1，a3，a5()A．成等差数列B．成等比数列C．倒数成等差数列D．不确定[答案]B[解析]由题意，得2a2＝a1＋a3，a23＝a2·a4，①2a4＝1a3＋1a5.②∴a2＝a1＋a32，代入①得，a4＝2a23a1＋a3③③代入②得，a1＋a3a23＝1a3＋1a5，∴a1a23＋1a3＝1a3＋1a5，∴a23＝a1a5.二、填空题7．实数1a，1，1c成等差数列，实数a2,1，c2成等比数列，则a＋ca2＋c2＝__________.[答案]1或－13[解析]由条件1a＋1c＝2a2c2＝1，得3∴ac＝1a＋c＝2或ac＝－1a＋c＝－2，∴a＋ca2＋c2＝1或－13.8．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S9＝72，则a2＋a4＋a9＝________.[答案]24[解析]设等差数列的首项为a1，公差为d，则a2＋a4＋a9＝3a1＋12d，又S9＝72，∴S9＝9a1＋12×9×8×d＝9a1＋36d＝72，∴a1＋4d＝8，∴a2＋a4＋a9＝3(a1＋4d)＝24.三、解答题9．已知a、b、c、x、y、z都是不等于1的正数，且ax＝by＝cz，如果1x，1y，1z成等差数列，求证：a，b，c成等比数列．[解析]设ax＝by＝cz＝p，∴x＝logap，y＝logbp，z＝logcp，∵1x，1y，1z成等差数列．∴2y＝1x＋1z，即：2logpb＝logpa＋logpc.∴b2＝ac，∵a、b、c均为正数，∴a、b、c成等比数列．10．{an}是等差数列，且3a5＝8a12＞0.数列{bn}满足bn＝an·an＋1·an＋2(n∈N*)，{bn}的前n项和为Sn，当n多大时，Sn取得最大值？证明你的结论．[解析]设{an}的公差为d，则由3a5＝8a12，得3a5＝8(a5＋7d)．∴a5＝－565d＞0，∴d＜0.∴a5＋11d＝－565d＋11d＝－d5＞0，a5＋12d＝－565d＋12d＝4d5＜0，即a16＞0，a17＜0.这样b1＞b2＞…b14＞0,0＞b17＞b18＞….其中b15＝a15·a16·a17＜0，b16＝a16·a17·a18＞0.由于a15＝a5＋10d＝－65d＞0，a18＝a5＋13d＝95d＜0，∴|a18|＞|a15|＝a15.∴b16＞|b15|＝－b15.∴S16＝S14＋b15＋b16＞S14.4综上所述，在数列{bn}的前n项和中，前16项和S16最大．能力提升一、选择题1．根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的n个月内累积的需求量Sn(万件)近似地满足Sn＝n90·(21n－n2－5)(n＝1,2，…，12)．按此预测，在本年度内，需求量超过1.5万件的月份是()A．5月、6月B．6月、7月C．7月、8月D．8月、9月[答案]C[解析]设第n个月份的需求量超过1.5万件．则Sn－Sn－1＝n90(21n－n2－5)－n－190[21(n－1)－(n－1)2－5]＞1.5，化简整理，得n2－15n＋54＜0，即6＜n＜9.∴应选C.2．已知等比数列{an}满足an0，n＝1,2，…，且a5·a2n－5＝22n(n≥3)，则当n≥1时，log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝()A．n(2n－1)B．(n＋1)2C．n2D．(n－1)2[答案]C[解析]由已知，得an＝2n，log2a2n－1＝2n－1，∴log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝1＋3＋…＋(2n－1)＝n2.二、填空题3．已知a、b、c成等比数列，a、x、b成等差数列，b、y、c也成等差数列，则ax＋cy的值__________．[答案]2[解析]b2＝ac,2x＝a＋b,2y＝b＋c∴ax＋cy＝2aa＋b＋2cb＋c＝2ab＋4b2＋2bca＋bb＋c＝2ba＋2b＋cba＋2b＋c＝2.4．将全体正整数排成一个三角形数阵：12345678910……5按照以上排列的规律，第n行(n≥3)从左向右的第3个数为________．[答案]n2－n＋62[解析]前n－1行共有正整数1＋2＋…＋(n－1)个，即n2－n2个，因此第n行从左向右的第3个数是全体正整数中第n2－n2＋3个，即为n2－n＋62.三、解答题5．已知数列{an}满足a1＝1，an＝3n－1＋an－1(n≥2)．(1)求a2、a3；(2)证明an＝3n－12.[解析](1)∵a1＝1，∴a2＝3＋1＝4，a3＝32＋4＝13.(2)由已知an－an－1＝3n－1，故an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝3n－1＋3n－2＋…＋3＋1＝3n－12.所以an＝3n－12.6．(2011·重庆文)设{an}是公比为正数的等比数列，a1＝2，a3＝a2＋4.(1)求{an}的通项公式；(2)设{bn}是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{an＋bn}的前n项和Sn.[解析](1)设公比为q(q0)，∵a1＝2，a3＝a2＋4，∴a1q2－a1q－4＝0，即q2－q－2＝0，解得q＝2，∴an＝2n(2)由已知得bn＝2n－1，∴an＋bn＝2n＋(2n－1)，∴Sn＝(2＋22＋23＋…＋2n)＋(1＋3＋5＋…＋2n－1)＝－2n1－2＋[1＋n－n2＝2n＋1－2＋n2.7．已知数列{an}的首项a1＝23，an＋1＝2anan＋1，n＝1,2，….(1)证明：数列1an－1是等比数列；(2)求数列nan的前n项和Sn.6[解析](1)∵an＋1＝2anan＋1，∴1an＋1＝an＋12an＝12＋12·1an，∴1an＋1－1＝121an－1，又a1＝23，∴1a1－1＝12，∴数列1an－1是以12为首项，12为公比的等比数列．(2)由(1)知1an－1＝12·12n－1＝12n，即1an＝12n＋1，∴nan＝n2n＋n.设Tn＝12＋222＋323＋…＋n2n，①则12Tn＝122＋223＋…＋n－12n＋n2n＋1，②①－②得12Tn＝12＋122＋…＋12n－n2n＋1＝121－12n1－12－n2n＋1＝1－12n－n2n＋1，∴Tn＝2－12n－1－n2n.又1＋2＋3＋…＋n＝nn＋2.∴数列nan的前n项和Sn＝2－2＋n2n＋nn＋2＝n2＋n＋42－n＋22n.