高中数学2.1.2_演绎推理

退出目录2.1.2演绎推理退出目录课前预习导学退出目录目标导航学习目标重点难点1.结合已学过的数学实例和生活中的实例,体会演绎推理的重要性;2.能运用演绎推理的基本方法进行一些简单的推理;3.根据具体实例,能说出合情推理和演绎推理之间的联系与差异.重点:演绎推理的含义及三段论推理模式的应用;难点:三段论模式及其应用.退出目录预习导引1.演绎推理(1)演绎推理的含义从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论的推理称为演绎推理.简言之,演绎推理是由一般到特殊的推理.(2)演绎推理的一般模式三段论是演绎推理的一般模式,包括:大前提:已知的一般原理;小前提:所研究的特殊情况;结论:根据一般原理,对特殊情况做出的判断.(3)“三段论”的常用格式大前提:M是P.小前提:S是M.结论:S是P.退出目录预习交流1(1)思考:演绎推理得出的结论一定正确吗?提示:由于演绎推理所得到的结论不会超出前提所界定的范围,所以在演绎推理中,只要前提和推理形式正确,其结论就必然正确.(2)做一做:在三段论推理:“因为函数f(x)=x2+3是偶函数,所以f(x)的图象关于y轴对称”中,省略了大前提,这个大前提是.提示:偶函数的图象都关于y轴对称退出目录2.演绎推理与合情推理的主要区别从推理形式上看,归纳是由部分到整体,个别到一般的推理,类比是由特殊到特殊的推理;而演绎推理是由一般到特殊的推理.从推理所得的结论来看,合情推理的结论不一定正确,有待进一步证明;演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下,得到的结论一定正确.预习交流2做一做:在中学数学中,从特殊到一般,从具体到抽象是常见的一种思维形式.如从f(x)=lgx可抽象出f(x1·x2)=f(x1)+f(x2)的性质,试分别写出一个具体的函数,抽象出下列相应的性质:(1)由h(x)=可抽象出h(x1+x2)=h(x1)·h(x2);(2)由φ(x)=可抽象出φ(x1+x2)=φ(x1)+φ(x2).提示:(1)2x;(2)kx(答案不唯一)退出目录课堂合作探究退出目录问题导学一、三段论模式的理解活动与探究1(1)给出以下推理形式:①所有的S都是M,P是S,所以P是M;②所有的S都是M,P是M,所以P是S;③所有的S都是M,P是Q,所以S是Q;④所有的S都是M,P不是S,所以P不是M.则符合三段论推理模式的是.(2)将下面的演绎推理写成三段论的形式:①所有椭圆的离心率e的取值范围为(0,1),曲线C:𝑥22+y2=1是椭圆,所以曲线C的离心率e的取值范围为(0,1).②等比数列的公比都不为零,数列{2n}(n∈N*)是等比数列,所以数列{2n}的公比不为零.退出目录思路分析:(1)根据三段论推理的模式逐一进行分析对比判断.(2)先确定各题中的大前提、小前提和结论,按三段论形式写出.(1)解析:根据三段论推理的模式要求,只有①这种推理形式符合三段论推理模式,其余均不符合.答案:①(2)解:①大前提:所有椭圆的离心率e的取值范围为(0,1).小前提:曲线C:𝑥22+y2=1是椭圆.结论:曲线C的离心率e的取值范围为(0,1).②大前提:等比数列的公比都不为零.小前提:数列{2n}(n∈N*)是等比数列.结论:数列{2n}的公比不为零.退出目录迁移与应用1.把下列演绎推理写成“三段论”的形式.(1)三角函数都是周期函数,y=tanx是三角函数,所以y=tanx是周期函数;(2)一切奇数都不能被2整除,2100+1是奇数,所以2100+1不能被2整除.解:(1)∵三角函数都是周期函数,大前提y=tanx是三角函数,小前提∴y=tanx是周期函数.结论(2)∵一切奇数都不能被2整除,大前提2100+1是奇数,小前提∴2100+1不能被2整除.结论退出目录2.用三段论的形式表示下列演绎推理:(1)若两角是对顶角,则此两角相等,所以若∠1≠∠2,则此两角不是对顶角;(2)矩形的对角线相等,正方形是矩形,所以正方形的对角线相等;(3)0.332·是有理数.退出目录解:(1)若两个角是对顶角则两角相等,大前提∠1和∠2不相等,小前提∠1和∠2不是对顶角.结论(2)每一个矩形的对角线相等,大前提正方形是矩形,小前提正方形的对角线相等.结论(3)所有的循环小数都是有理数,大前提0.332·是循环小数,小前提0.332·是有理数.结论退出目录(1)可以用集合论的观点来分析,三段论推理的依据是:如果集合M中的每一个元素都具有属性P,且S是M的子集,那么集合S中的每一个元素都具有属性P.(2)三段论由大前提、小前提和结论组成;大前提提供一般原理,小前提提供特殊情况,两者结合起来,体现一般原理与特殊情况的内在联系,在用三段论写推理过程时,关键是明确命题的大、小前提,而大、小前提在书写过程中是可以省略的.退出目录二、利用演绎推理解决几何问题活动与探究2(1)如图,直线PQ与MN被直线EF所截,分别交于G,H两点,且满足∠PGE+∠FHM=180°.求证:PQ∥MN.退出目录(2)用三段论证明并指出每一步推理的大、小前提.如图,在锐角△ABC中,AD,BE是高线,D,E为垂足,M为AB的中点.求证:ME=MD.退出目录思路分析:(1)把“同位角相等,两直线平行”作为大前提,需要根据条件得出小前提∠PGE=∠MHE,才能得出结论.(2)本例为平面几何中证明两线段相等的问题,由于△ABE,△ABD都是直角三角形,且ME,MD都是斜边上的中线,故可利用相关定理证明.退出目录证明:(1)∵∠PGE+∠FHM=180°,∠MHE+∠FHM=180°,∴∠PGE=∠MHE,故PQ∥MN.(2)∵有一个内角为直角的三角形为直角三角形,大前提在△ABD中,AD⊥CB,∠ADB=90°,小前提∴△ABD为直角三角形.结论同理△ABE也为直角三角形.∵直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,…大前提M是Rt△ABD斜边AB上的中点,DM为中线,小前提∴DM=12AB.结论同理EM=12AB.∵和同一条线段相等的两条线段相等,大前提又∵DM=12AB,EM=12AB,小前提∴ME=MD.结论退出目录迁移与应用1.用三段论证明三角形内角和为180°,并注明大前提、小前提、结论.解:已知△ABC,求证:∠A+∠B+∠ACB=180°.证明:如图所示,过点C作CD∥AB.∵两直线平行,内错角相等,大前提∠A和∠1是内错角,小前提∴∠A=∠1.结论又∵两直线平行,同位角相等,大前提∠B与∠2是同位角,小前提∴∠B=∠2.结论∵平角等于180°,大前提∠1+∠2+∠ACB是平角,小前提∴∠1+∠2+∠ACB=180°.结论∴∠A+∠B+∠C=180°.退出目录2.如图所示,在四面体P-ABC中,PC⊥平面ABC,AC⊥BC,CD⊥PB于点D,求证:AD⊥PB.证明:∵PC⊥平面ABC,PC⊂平面PBC,∴平面PBC⊥平面ABC.∵平面PBC∩平面ABC=BC,AC⊂平面ABC,AC⊥BC,∴AC⊥平面PBC.∵PB⊂平面PBC,∴AC⊥PB.∵CD⊥PB,AC∩CD=C,∴PB⊥平面ACD.∵AD⊂平面ACD,∴AD⊥PB.退出目录在平面几何问题、立体几何问题的证明过程中,多数情况下采用的推理形式都是三段论模式,并且大前提通常就是:两个三角形全等、相似的判定定理,线面平行、垂直的判定定理等,故可以省略不写.退出目录三、利用演绎推理解决代数问题活动与探究3(1)已知a1a2a30,则使得(1-aix)21(i=1,2,3)都成立的x的取值范围是()A.0,1𝑎1B.0,2𝑎1C.0,1𝑎3D.0,2𝑎3(2)设f(x)=𝑎𝑥+𝑎-𝑥2,g(x)=𝑎𝑥-𝑎-𝑥2(其中a0,a≠1).①证明:g(5)=f(3)g(2)+g(3)f(2).②能否把(1)中的结论推广,写出你的推广式并加以证明.退出目录思路分析:(1)先解出不等式(1-aix)21的解集,再比较1𝑎1,1𝑎2,1𝑎3的大小来确定.(2)观察g(5)=f(3)g(2)+g(3)f(2)中数的特点,有5=2+3,可猜想g(x+y)=f(x)g(y)+g(x)f(y)再证明.退出目录(1)解析:由(1-aix)21,得𝑎𝑖2x2-2aix0,即𝑎𝑖2𝑥𝑥-2𝑎𝑖0,所以解集为0,2𝑎𝑖,又02𝑎12𝑎22𝑎3,因此x的取值范围是0,2𝑎1.答案:B退出目录(2)解:①证明:f(3)g(2)+g(3)f(2)=𝑎3+𝑎-32·𝑎2-𝑎-22+𝑎3-𝑎-32·𝑎2+𝑎-22=𝑎5-a+𝑎-1-𝑎-5+𝑎5+a-𝑎-1-𝑎-54=𝑎5-𝑎-52.又g(5)=𝑎5-𝑎-52,因此,g(5)=f(3)g(2)+g(3)f(2).②g(5)=f(3)g(2)+g(3)f(2),即g(3+2)=f(3)g(2)+g(3)f(2).于是猜想g(x+y)=f(x)g(y)+g(x)f(y).退出目录证明:因为f(x)=𝑎𝑥+𝑎-𝑥2,g(x)=𝑎𝑥-𝑎-𝑥2,所以g(x+y)=𝑎𝑥+𝑦-𝑎-(𝑥+𝑦)2.又g(y)=𝑎𝑦-𝑎-𝑦2,f(y)=𝑎𝑦+𝑎-𝑦2,所以f(x)g(y)+g(x)f(y)=𝑎𝑥+𝑎-𝑥2·𝑎𝑦-𝑎-𝑦2+𝑎𝑥-𝑎-𝑥2·𝑎𝑦+𝑎-𝑦2=𝑎𝑥+𝑦-𝑎-(𝑥+𝑦)2=g(x+y).所以g(x+y)=f(x)g(y)+g(x)f(y).退出目录迁移与应用1.已知a,b,c是不为1的正数,x,y,z∈(0,+∞),且有ax=by=cz和1𝑥+1𝑧=2𝑦.求证:a,b,c顺次成等比数列.证明:设ax=by=cz=m(m0),则x=logam,y=logbm,z=logcm.故1𝑥=logma,1𝑦=logmb,1𝑧=logmc.再由1𝑥+1𝑧=2𝑦得logma+logmc=2logmb.∴logm(ac)=logmb2,∴ac=b2.故a,b,c顺次成等比数列.退出目录2.求证:函数y=2𝑥-12𝑥+1是奇函数,且在定义域上是增函数.证明:y=f(x)=(2𝑥+1)-22𝑥+1=1-22𝑥+1,所以f(x)的定义域为x∈R.f(-x)+f(x)=1-22-𝑥+1+1-22𝑥+1=2-22𝑥+1+22-𝑥+1=2-22𝑥+1+2·2𝑥2𝑥+1=2-2(2𝑥+1)2𝑥+1=2-2=0,即f(-x)=-f(x),所以f(x)是奇函数.任取x1,x2∈R,且x1x2,则f(x1)-f(x2)=1-22𝑥1+1−1-22x2+1=212𝑥2+1-12𝑥1+1=2·2𝑥1-2𝑥22𝑥2+1(2𝑥1+1).因为x1x2,所以2𝑥12𝑥2,2𝑥1−2𝑥20,所以f(x1)f(x2).故f(x)为增函数.退出目录一般来说,代数推理问题的求解过程大部分都是演绎推理,只不过是形式简化了的三段论推理,在推理过程中往往省略了大前提.退出目录当堂检测1.下列说法正确的有()①演绎推理是由一般到特殊的推理;②演绎推理的一般模式是“三段论”形式;③演绎推理得到的结论一定正确;④演绎推理得到的结论是否正确与大前提、小前提和推理形式有关.A.1个B.2个C.3个D.4个解析:说法①②④是正确的.答案:C退出目录2.“在△ABC中,E,F分别为AB,AC的中点,则有EF∥BC.”这个命题的大前提为()A.三角形的中位线平行于第三边B.三角形的中位线等于第三边的一半C.EF为中位线D.EF∥CB解析:EF是中位线,而结论是“EF∥BC”,因此大前提是“三角形的中位线平行于第三边”.答案:A退出目录3.三段论:“①救援飞机准时起飞就能准时到达灾区,②这架飞机准时到达了灾区,③这架飞机是准时起飞的”中,“小前提”是.(填序号)解析:这个三段论推理中的大前提是“①救援飞机准时起飞就能准时到达灾区”,小前提是“③这架救援飞机是准时起飞的”,结论是“②这架救援飞机准时