高中数学2.1.2《椭圆的几何性质》教案(5)湘教版选修1-1

-1-第五课时椭圆的简单几何性质教学目标1、掌握椭圆的几何性质，掌握用坐标法研究直线与椭圆的位置关系2、熟练地求弦长、面积、对称等问题3、培养对数学的理解能力及分析问题、解决问题的能力教学过程1、复习回顾椭圆的定义、几何性质判断直线与圆的位置关系的方法2、探索研究直线与椭圆的位置关系：坐标法(围绕直线与椭圆的公共点展开的)，将直线方程与椭圆方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，当Δ＝0时，直线与椭圆相切；当Δ＞0时，直线与椭圆相交；当Δ＜0时，直线与椭圆相离。3、反思应用例1当m为何值时，直线l：y＝x＋m与椭圆9x2＋16y2＝144相切、相交、相离？分析：将直线方程y＝x＋m代入椭圆9x2＋16y2＝144中，得9x2＋16(x＋m)2＝144，整理，得25x2＋32mx＋16m2－144＝0，∵Δ＝(32m)2―4·25(16m2―144)＝－576m2＋14400当Δ＝0即m＝±5时，直线与椭圆相切；当Δ＞0即－5＜m＜5时，直线与椭圆相交；当Δ＜0即m＜－5或m＞5时，直线与椭圆相离。例2已知斜率为1的直线l经过椭圆x2＋4y2＝4的右焦点交椭圆于A、B两点，求弦长|AB|。分析：设A(x1,y1),B(x2,y2)，由椭圆方程知：a2=4,b2=1,∴c2=3,∴右焦点)0,3(F,∴直线l的方程为3xy，代入椭圆得083852xx588)(2||2||,58,53821221122121xxxxxxABxxxx小结：弦长公式||1||122xxkAB例3过椭圆x2/16＋y2/4＝1内一点M(2,1)引一条弦AB，使AB被点M平分，求弦AB所在直线的方程。解一：当弦AB的斜率不存在时，弦AB的方程为x=2，不合题意舍去设弦AB所在直线的方程为：y－1＝k(x－2)，代入椭圆方程并整理得(4k2＋1)x2―8(2k2―k)x＋4(k2―1)2―16＝0，又设A(x1,y1),B(x2,y2)，则x1、x2为方程的两个根，于是14)2(42221kkkxx，又M为AB的中点，214)2(222221kkkxx，解之得k＝－1/2，故所求弦AB的方程是x＋2y－4＝0解二：设A(x1,y1),B(x2,y2)，∵M(2,1)为AB的中点，∴x1＋x2＝4,y1＋y2＝2又∵A、B两点在椭圆上，∴x12＋4y12＝16，x,22＋4y22＝16，两式相减得x12－x22＋4(y12－y22)＝0,-2-21,21)(421212121ABkyyxxxxyy,故所求弦AB的方程是x＋2y－4＝0解三：设A(x,y)，由M(2,1)为AB的中点得B(4―x,2―y)∵A、B两点在椭圆上，∴x2＋4y2＝16，(4－x)2＋4(2－y)2＝16，两式相减得x＋2y－4＝0,由于过A、B的直线只有一条，故所求弦AB的方程是x＋2y－4＝0小结：解一常规解法；解二是解决有关中点弦问题的常用方法；解三利用曲线系解题。例4试确定实数m的取值范围，使椭圆x2/4＋y2/3＝1上存在两点关于直线l：y＝2x＋m对称。解一：设存在A(x1,y1),B(x2,y2)关于直线l：y＝2x＋m对称，故可设直线AB的方程为y＝2x＋t，代入椭圆方程x2/4＋y2/3＝1，并整理得x2―tx＋t2―3＝0，则Δ＝t2―4(t2―3)＞0。解得－2＜t＜2。∵x1＋x2＝t，∴AB的中点M为(t/2,3t/4),∵M在直线l上，∴3t/4＝2t/2＋m,即m＝－t/4,从而－1/2＜m＜1/2.解二：设存在A(x1,y1),B(x2,y2)关于直线l：y＝2x＋m对称，,则AB⊥l，且AB的中点M在l上，设AB的中点M(x0,y0)，则x1＋x2＝2x0,y1＋y2＝2y0，又∵A、B两点在椭圆上，∴3x12＋4y12＝12，3x,22＋4y22＝12，两式相减得3(x12－x22)＋4(y12－y22)＝0,,43)(4)(3210021212121yxyyxxxxyy即y0＝3x0/2,又y0＝2x0＋m，解得x0＝－2m，y0＝－3m，∵点M在椭圆内，1342020yx，即m2＋3m2＜1，解得－1/2＜m＜1/2.例5椭圆中心在坐标原点，焦点在x轴上，2/3e，过椭圆左焦点F的直线交椭圆于P、Q两点，且|PQ|＝20/9，OP⊥OQ，求此椭圆的方程。解：设椭圆方程为x2/a2＋y2/b2＝1(a＞b＞0)，左焦点F(－c,0)当PQ⊥x轴时，|FP|＝|FQ|＝b2/a，由OP⊥OQ知|FO|＝|FQ|，即c＝b2/a,∴ac＝a2－c2，即e2＋e－1＝0，解得215,215ee，这与条件2/3e不符，∴PQ不垂直x轴设PQ：y＝k(x＋c)，P(x1,y1),Q(x2,y2)，∵2/3e，∴设a＝2t,tc3，则b＝t∴椭圆方程可化为x2＋4y2＝4t2(t＞0)，将直线PQ的方程代入椭圆方程得041238)41(222222ttktxkxk，则x1、x2为方程的根-3-2222212221414124138kttkxxktkxx∵OP⊥OQ，∴x1x2＋y1y2＝0，即0)3()3(2121txktxkxx整理得：03)(3)1(22212212tkxxtkxxk03412441)412)(1(2222422222tkktkkttkk，整理得k2＝4/11，此时942733222121txxtxx∵|PQ|＝20/9，920||1122xxk即1,920]916)27332)[(1141(22ttt所以所求椭圆方程为x2/4＋y2＝14、归纳总结数学思想：数形结合、函数与方程知识点：直线与椭圆的位置关系、弦长公式、中点弦问题、对称问题作业：1、直线l与椭圆方程为4x2＋9y2＝36交于A、B两点，并且AB的中点M(1,1)，求直线l的方程。2、求焦点)25,0(F，截直线l：y＝2x－1所得弦中点的横坐标为2/7的椭圆的标准方程。答案：4x＋9y－13＝0；x2/75＋y2/25＝1