高中数学2012高三单元质量评估4

高考学习网－中国最大高考学习网站Gkxx.com|我们负责传递知识！单元质量评估四(第四章)时间：120分钟分值：150分一、选择题(每小题5分，共60分)1．已知平面向量a＝(3,1)，b＝(x，－3)，a∥b，则x等于()A．9B．1C．－9D．－1解析：设a＝λb，则3＝xλ1＝－3λ，解得x＝－9.故选C.答案：C2．若非零不共线向量a、b满足|a－b|＝|b|，则下列结论正确的个数是()①向量a、b的夹角恒为锐角；②2|b|2a·b；③|2b||a－2b|；④|2a||2a－b|.A．1B．2C．3D．4解析：因为非零向量a、b满足|a－b|＝|b|，所以由向量a、b、a－b组成的三角形是等腰三角形，且向量a是底边，所以向量a、b的夹角恒为锐角，①正确；②：2|b|2a·b＝|a|·|b|cos〈a，b〉⇒2|b||a|cos〈a，b〉，而|b|＋|a－b|＝2|b||a||a|cos〈a，b〉，所以②正确；③：|2b||a－2b|⇒4|b|2|a－2b|2＝|a|2－4|a|·|b|cos〈a，b〉＋4|b|2⇒4|a|·|b|cos〈a，b〉|a|2⇒4·|b|cos〈a，b〉|a|，而2|b|cos〈a，b〉＝|a|，所以4|b|cos〈a，b〉|a|，③正确；④：|2a||2a－b|⇒4|a|cos〈a，b〉|b|，而4|a|cos〈a，b〉|b|不一定成立，所以④不正确．故选C.答案：C3．已知向量a、b的夹角为60°，|a|＝3，|b|＝2，若(3a＋5b)⊥(ma－b)，则m的值是()A.3223B.2342C.2942D.4229解析：∵(3a＋5b)⊥(ma－b)高考学习网－中国最大高考学习网站Gkxx.com|我们负责传递知识！∴(3a＋5b)·(ma－b)＝0，即3ma2－5b2＋(5m－3)a·b＝0，∴27m－20＋(5m－3)×3×2cos60°＝0，解得m＝2942.答案：C4．(2011·广东六校联考)如右图，在平行四边形ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，N是线段OD的中点，AN的延长线与CD交于点E，则下列说法错误的是()A.AC→＝AB→＋AD→B.BD→＝AD→－AB→C.AO→＝12AB→＋12AD→D.AE→＝53AB→＋AD→解析：排除法．如题图，AC→＝AB→＋AD→，故A正确．而BD→＝AD→－AB→，故B正确．AO→＝12AC→＝12(AD→＋AB→)＝12AB→＋12AD→，故C正确，所以选D.答案：D5．(2010·绵阳二诊)在直角三角形ABC中，AB＝4，AC＝2，M是斜边BC的中点，则向量AM→在向量BC→方向上的投影是()A．1B．－1C.355D．－355解析：依题意得AM→·BC→＝12(AB→＋AC→)·(AC→－AB→)＝12(AC→2－AB→2)＝－6，|BC→|＝42＋22＝25，向量AM→在向量BC→方向上的投影等于AM→·BC→|BC→|＝－625＝－355.选D.答案：D6．(2010·广州测试)已知向量a＝(sinx，cosx)，向量b＝(1，3)，则|a＋b|的最大值为()A．1B.3C．3D．9解析：|a＋b|＝sinx＋12＋cosx＋32＝5＋2sinx＋23cosx≤5＋22＋232＝3.答案：C高考学习网－中国最大高考学习网站Gkxx.com|我们负责传递知识！7．(2010·福建质检)i为虚数单位，若a1－i＝1＋ii，则a的值为()A．iB．－iC．－2iD．2i解析：由a1－i＝1＋ii得a＝1＋ii(1－i)＝2i＝－2i.答案：C8．(2011·皖南八校联考)若z＝y＋3i1＋xi(x，y∈R，i为虚数单位)是实数，则实数xy的值为()A．3B．－3C．0D.3解析：∵z＝y＋3i1＋xi＝y＋3i1－xi1＋xi1－xi＝y＋3x＋3－xyi1＋x2为实数，∴3－xy1＋x2＝0，∴xy＝3，故选A.答案：A9．(2011·惠州调研)在复平面内，复数z＝cos3＋isin3(i是虚数单位)对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：因为π23π，所以cos30，sin30，故点(cos3，sin3)在第二象限，即复数z＝cos3＋isin3对应的点位于第二象限．答案：B10．(2010·安徽联考)已知点P为△ABC所在平面上的一点，且AP→＝13AB→＋tAC→，其中t为实数．若点P落在△ABC的内部，则t的取值范围是()A．0t14B．0t13C．0t12D．0t23解析：如右图，E、F分别为AB、BC的三等分点，由AP→＝13AB→＋tAC→可知，P点落在EF上，而EF→＝23AC→，∴点P在E点时，t＝0，高考学习网－中国最大高考学习网站Gkxx.com|我们负责传递知识！点P在F点时，t＝23.而P在△ABC的内部，∴0t23.答案：D11．(2011·皖南八校联考)在△ABC中，AB＝3，AC＝2，若O为△ABC内部的一点，且满足OA→＋OB→＋OC→＝0，则AO→·BC→＝()A.12B.25C.13D.14解析：由题易知O为△ABC的重心，取BC的中点D，∴AO→＝23AD→＝13(AB→＋AC→)，BC→＝AC→－AB→，∴AO→·BC→＝13(AB→＋AC→)(AC→－AB→)＝13(AC→2－AB→2)＝13.答案：C12．(2010·重庆一诊)称d(a，b)＝|a－b|为两个向量a、b间的“距离”，若向量a、b满足：①|b|＝1；②a≠b；③对任意的t∈R，恒有d(a，tb)≥d(a，b)，则()A．a⊥bB．a⊥(a－b)C．b⊥(a－b)D．(a＋b)⊥(a－b)解析：依题意得|a－tb|≥|a－b|，即(a－tb)2≥(a－b)2，亦即t2－2ta·b＋(2a·b－1)≥0对任意的t∈R都成立，因此有Δ＝(2a·b)2－4(2a·b－1)≤0，即(a·b－1)2≤0，故a·b－1＝0，即a·b－b2＝b·(a－b)＝0，故b⊥(a－b)，选C.答案：C二、填空题(每小题5分，共20分)13．(2010·南京调研)若复数z1＝a－i，z2＝1＋i(i为虚数单位)，且z1·z2为纯虚数，则实数a的值为__________解析：因为z1·z2＝(a－i)(1＋i)＝a＋1＋(a－1)i为纯虚数，所以a＝－1.答案：－1高考学习网－中国最大高考学习网站Gkxx.com|我们负责传递知识！14．在△ABC所在的平面上有一点P，满足PA→＋PB→＋PC→＝AB→，则△PBC与△ABC的面积之比是________．解析：解题突破口是从已知条件所给的关系式化简，由PA→＋PB→＋PC→＝AB→，得PA→＋PB→＋PC→－AB→＝0，即PA→＋PB→＋BA→＋PC→＝0，得PA→＋PA→＋PC→＝0，即2PA→＝CP→，所以点P是CA边上的第二个三等分点，故S△PBCS△ABC＝23.答案：2:315．已知△ABC的面积为3，且满足0≤AB→·AC→≤6，设AB→和AC→的夹角为θ，则θ的取值范围是________．解析：由题意可知：12|AB→||AC→|sinθ＝3，∴|AB→||AC→|＝6sinθ.∴AB→·AC→＝|AB→||AC→|·cosθ＝6cosθsinθ.∵0≤AB→·AC→≤6,0θπ，∴0≤6cosθsinθ≤6，∴0≤cosθ≤sinθ，∴θ∈[π4，π2]．答案：[π4，π2]16．(2011·广东茂名一模)O是平面α上一点，A、B、C是平面α上不共线的三点，平面α内的动点P满足OP→＝OA→＋λ(AB→＋AC→)，若λ＝12时，PA→·(PB→＋PC→)的值为________．解析：由已知得OP→－OA→＝λ(AB→＋AC→)，即AP→＝λ(AB→＋AC→)，当λ＝12时，得AP→＝12(AB→＋AC→)，∴2AP→＝AB→＋AC→，即AP→－AB→＝AC→－AP→，∴BP→＝PC→，∴PB→＋PC→＝PB→＋BP→＝0，∴PA→·(PB→＋PC→)＝PA→·0＝0，故填0.答案：0三、解答题(本大题共6个小题，共计70分，写出必要的文字说明、计算步骤，只写最高考学习网－中国最大高考学习网站Gkxx.com|我们负责传递知识！后结果不得分)17．(10分)如果方程(1＋i)x2－2(a＋i)x＋5－3i＝0(a∈R)有实数解，求a的值．解：原方程整理为(x2－2ax＋5)＋(x2－2x－3)i＝0，设方程的实根为x0，代入方程得(x20－2ax0＋5)＋(x20－2x0－3)i＝0.由复数相等的充要条件，得x20－2ax0＋5＝0，①x20－2x0－3＝0，②由②得x0＝3或－1，代入①得a＝73或－3.∴a＝73或－3.18．(12分)设a＝(－1,1)，b＝(4,3)，c＝(5，－2)，(1)求证a与b不共线，并求a与b的夹角θ的余弦值；(2)求c在a方向上的投影；(3)求λ1和λ2，使c＝λ1a＋λ2b.解：(1)∵a＝(－1,1)，b＝(4,3)，且－1×3≠1×4，∴a与b不共线．又a·b＝－1×4＋1×3＝－1，|a|＝2，|b|＝5，∴cosθ＝a·b|a||b|＝－152＝－210.(2)∵a·c＝－1×5＋1×(－2)＝－7，∴c在a方向上的投影为a·c|a|＝－72＝－722.(3)∵c＝λ1a＋λ2b，∴(5，－2)＝λ1(－1,1)＋λ2(4,3)＝(4λ2－λ1，λ1＋3λ2)，∴4λ2－λ1＝5λ1＋3λ2＝－2，解得λ1＝－237λ2＝37.19．(12分)(2011·合肥模拟)已知m＝(cosx,2sinx)，n＝(2cosx，－sinx)，f(x)＝m·n.(1)求f(－20093π)的值；(2)当x∈[0，π2]时，求g(x)＝12f(x)＋sin2x的最大值和最小值．解：(1)∵f(x)＝m·n＝2cos2x－2sin2x＝2cos2x，高考学习网－中国最大高考学习网站Gkxx.com|我们负责传递知识！∴f(－20093π)＝2cos[2×(－20093π)]＝2cos40183π＝2cos(1338π＋π＋π3)＝2cos(π＋π3)＝－2cosπ3＝－1.(2)由(1)得g(x)＝cos2x＋sin2x＝2sin(2x＋π4)．∵x∈[0，π2]，∴2x＋π4∈[π4，5π4]，∴当x＝π8时，g(x)max＝2；当x＝π2时，g(x)min＝－1.20．(12分)设A、B为圆x2＋y2＝1上两点，O为坐标原点(A、O、B不共线)．(1)求证：OA→＋OB→与OA→－OB→垂直；(2)若单位圆交x轴正半轴于C点，且∠COA＝π4，∠COB＝θ，θ∈(－π4，π4)，OA→·OB→＝45，求cosθ.(1)证明：由题意知|OA→|＝|OB→|＝1，∴(OA→＋OB→)·(OA→－OB→)＝OA→2－OB→2＝|OA→|2－|OB→|2＝1－1＝0，∴OA→＋OB→与OA→－OB→垂直．(2)解：OA→＝(cosπ4，sinπ4)，OB→＝(cosθ，sinθ)，∴OA→·OB→＝cosπ4cosθ＋sinπ4sinθ＝cos(θ－π4)，∵OA→·OB→＝45，∴cos(θ－π4)＝45，∵－π4θπ4，∴－π2θ－π40，∴sin(θ－π4)＝－1－cos2θ－π4＝－35，∴cosθ＝cos[(θ－π4)＋π4]高考学习网－中国最大高考学习网站Gkxx.com|我们负责传递知识！＝cos(θ－π4)cosπ4－sin(θ－π4)sinπ4＝45×22－(－35)×22＝7210.21．(12分)(2011·苏州市模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知m＝(cos3A2，sin3A2)，n＝(cosA2，sinA2)，且满足|m＋n|＝3.(1)求角A的大小；(2)若|AC→|＋|AB→|＝3|BC→|，试判断△AB