高中数学2015新课标步步高13.2

§13.2复数1．复数的有关概念(1)复数的概念形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a＋bi为实数，若b≠0，则a＋bi为虚数，若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数．(2)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．(3)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．(4)复平面建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面．x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴．实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数；各象限内的点都表示非纯虚数．(5)复数的模向量OZ→的模r叫做复数z＝a＋bi的模，记作__|z|__或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝a2＋b2.2．复数的几何意义(1)复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)．(2)复数z＝a＋bi平面向量OZ→(a，b∈R)．3．复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；④除法：z1z2＝a＋bic＋di＝a＋bic－dic＋dic－di＝ac＋bdc2＋d2＋bc－adc2＋d2i(c＋di≠0)．(2)复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1、z2、z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)方程x2＋x＋1＝0没有解．(×)(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)中，虚部为bi.(×)(3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．(×)(4)原点是实轴与虚轴的交点．(√)(5)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模．(√)2．(2012·北京)设a，b∈R.“a＝0”是“复数a＋bi是纯虚数”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案B解析当a＝0，且b＝0时，a＋bi不是纯虚数；若a＋bi是纯虚数，则a＝0.故“a＝0”是“复数a＋bi是纯虚数”的必要而不充分条件．3．(2013·陕西)设z是复数，则下列命题中的假命题是()A．若z2≥0，则z是实数B．若z20，则z是虚数C．若z是虚数，则z2≥0D．若z是纯虚数，则z20答案C解析设z＝a＋bi(a，b∈R)，z2＝a2－b2＋2abi，由z2≥0，得ab＝0，a2≥b2，即a＝0，|a|≥|b|或b＝0，|a|≥|b|.所以a＝0时b＝0，b＝0时a∈R.故z是实数，所以A为真命题；由于实数的平方不小于0，所以当z20时，z一定是虚数，故B为真命题；由于i2＝－10，故C为假命题，D为真命题．4．(2013·四川)如图，在复平面内，点A表示复数z，由图中表示z的共轭复数的点是()A．AB．BC．CD．D答案B解析表示复数z的点A与表示z的共轭复数的点关于x轴对称，∴B点表示z.选B.5．(2013·广东)若i(x＋yi)＝3＋4i，x，y∈R，则复数x＋yi的模是()A．2B．3C．4D．5答案D解析由题意知x＋yi＝3＋4ii＝4－3i，所以|x＋yi|＝|4－3i|＝42＋－32＝5.题型一复数的概念例1(1)已知a∈R，复数z1＝2＋ai，z2＝1－2i，若z1z2为纯虚数，则复数z1z2的虚部为()A．1B．iC.25D．0(2)若z1＝(m2＋m＋1)＋(m2＋m－4)i(m∈R)，z2＝3－2i，则“m＝1”是“z1＝z2”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件思维启迪(1)若z＝a＋bi(a，b∈R)，则b＝0时，z∈R；b≠0时，z是虚数；a＝0且b≠0时，z是纯虚数．(2)直接根据复数相等的条件求解．答案(1)A(2)A解析(1)由z1z2＝2＋ai1－2i＝2＋ai1＋2i5＝2－2a5＋4＋a5i是纯虚数，得a＝1，此时z1z2＝i，其虚部为1.(2)由m2＋m＋1＝3m2＋m－4＝－2，解得m＝－2或m＝1，所以“m＝1”是“z1＝z2”的充分不必要条件．思维升华处理有关复数的基本概念问题，关键是找准复数的实部和虚部，从定义出发，把复数问题转化成实数问题来处理．(1)(2013·安徽)设i是虚数单位．若复数a－103－i(a∈R)是纯虚数，则a的值为()A．－3B．－1C．1D．3(2)(2012·江西)若复数z＝1＋i(i为虚数单位)，z是z的共轭复数，则z2＋z2的虚部为()A．0B．－1C．1D．－2答案(1)D(2)A解析(1)a－103－i＝a－(3＋i)＝(a－3)－i，由a∈R，且a－103－i为纯虚数知a＝3.(2)利用复数运算法则求解．∵z＝1＋i，∴z＝1－i，z2＋z2＝(1＋i)2＋(1－i)2＝2i－2i＝0.题型二复数的运算例2计算：(1)31＋i2i－1＝________；(2)(1＋i1－i)6＋2＋3i3－2i＝________.思维启迪复数的除法运算，实质上是分母实数化的运算．答案(1)3－3i(2)－1＋i解析(1)31＋i2i－1＝3×2ii－1＝6ii－1＝－6ii＋12＝－3i(i＋1)＝3－3i.(2)原式＝[1＋i22]6＋2＋3i3＋2i32＋22＝i6＋6＋2i＋3i－65＝－1＋i.思维升华(1)复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算，除法关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，注意要把i的幂写成最简形式．(2)记住以下结论，可提高运算速度，①(1±i)2＝±2i；②1＋i1－i＝i；③1－i1＋i＝－i；④a＋bii＝b－ai；⑤i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N)．(1)已知复数z＝3＋i1－3i2，z是z的共轭复数，则z·z＝________.(2)－23＋i1＋23i＋(21－i)2014＝________.答案(1)14(2)0解析(1)方法一|z|＝|3＋i||1－3i2|＝12，z·z＝|z|2＝14.方法二z＝3＋i－21＋3i＝－34＋i4，z·z＝－34＋i4－34－i4＝14.(2)原式＝i1＋23i1＋23i＋[(21－i)2]1007＝i＋(2－2i)1007＝i＋i1007＝i＋i4×251＋3＝i＋i3＝0.题型三复数的几何意义例3如图所示，平行四边形OABC，顶点O，A，C分别表示0,3＋2i，－2＋4i，试求：(1)AO→、BC→所表示的复数；(2)对角线CA→所表示的复数；(3)求B点对应的复数．思维启迪结合图形和已知点对应的复数，根据加减法的几何意义，即可求解．解(1)AO→＝－OA→，∴AO→所表示的复数为－3－2i.∵BC→＝AO→，∴BC→所表示的复数为－3－2i.(2)CA→＝OA→－OC→，∴CA→所表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.(3)OB→＝OA→＋AB→＝OA→＋OC→，∴OB→所表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i，即B点对应的复数为1＋6i.思维升华因为复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求某个向量对应的复数时，只要找出所求向量的始点和终点，或者用向量相等直接给出结论即可．已知z是复数，z＋2i、z2－i均为实数(i为虚数单位)，且复数(z＋ai)2在复平面内对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．解设z＝x＋yi(x、y∈R)，∴z＋2i＝x＋(y＋2)i，由题意得y＝－2.∵z2－i＝x－2i2－i＝15(x－2i)(2＋i)＝15(2x＋2)＋15(x－4)i，由题意得x＝4.∴z＝4－2i.∵(z＋ai)2＝(12＋4a－a2)＋8(a－2)i，根据条件，可知12＋4a－a208a－20，解得2a6，∴实数a的取值范围是(2,6)．解决复数问题的实数化思想典例：(12分)已知x，y为共轭复数，且(x＋y)2－3xyi＝4－6i，求x，y.思维启迪(1)x，y为共轭复数，可用复数的基本形式表示出来；(2)利用复数相等，将复数问题转化为实数问题．规范解答解设x＝a＋bi(a，b∈R)，则y＝a－bi，x＋y＝2a，xy＝a2＋b2，[3分]代入原式，得(2a)2－3(a2＋b2)i＝4－6i，[5分]根据复数相等得4a2＝4－3a2＋b2＝－6，[7分]解得a＝1b＝1或a＝1b＝－1或a＝－1b＝1或a＝－1b＝－1.[9分]故所求复数为x＝1＋iy＝1－i或x＝1－iy＝1＋i或x＝－1＋iy＝－1－i或x＝－1－iy＝－1＋i.[12分]温馨提醒(1)复数问题要把握一点，即复数问题实数化，这是解决复数问题最基本的思想方法．(2)本题求解的关键是先把x、y用复数的形式表示出来，再用待定系数法求解．这是常用的数学方法．(3)本题易错原因为想不到利用待定系数法，或不能将复数问题转化为实数方程求解.方法与技巧1．复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次方根．除法实际上是分母实数化的过程．2．在复数的几何意义中，加法和减法对应向量的三角形法则的方向是应注意的问题，平移往往和加法、减法相结合．3．实轴上的点都表示实数，除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．复数集C和复平面内所有的点所成的集合及平面向量是一一对应关系，即复数z＝a＋bi――→一一对应复平面内的点Za，b――→一一对应平面向量OZ→4．复数运算常用的性质：(1)①(1±i)2＝±2i；②1＋i1－i＝i，1－i1＋i＝－i；(2)设ω＝－12＋32i，则①|ω|＝1；②1＋ω＋ω2＝0；③ω＝ω2.(3)in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(n∈N*)．失误与防范1．判定复数是实数，仅注重虚部等于0是不够的，还需考虑它的实部是否有意义．2．对于复系数(系数不全为实数)的一元二次方程的求解，判别式不再成立．因此解此类方程的解，一般都是将实根代入方程，用复数相等的条件进行求解．3．两个虚数不能比较大小．4．利用复数相等a＋bi＝c＋di列方程时，注意a，b，c，d∈R的前提条件．5．注意不能把实数集中的所有运算法则和运算性质照搬到复数集中来．例如，若z1，z2∈C，z21＋z22＝0，就不能推出z1＝z2＝0；z20在复数范围内有可能成立.A组专项基础训练一、选择题1．若复数z＝(x2－1)＋(x－1)i为纯虚数，则实数x的值为()A．－1B．0C．1D．－1或1答案A解析由复数z为纯虚数，得x2－1＝0x－1≠0，解得x＝－1，故选A.2．在复平面内，向量AB→对应的复数是2＋i，向量CB→对应的复数是－1－3i，则向量CA→对应的复数是()A．1－2iB．－1＋2iC．3＋4iD．－3－4i答案D解析因为CA→＝CB→＋BA→＝－1－3i＋(－2－i)＝－3－4i.3．若i为虚数单位，图中复平面内点Z表示复数z，则表示复数z1＋i的点是()A．EB．FC．GD．H答案D解析由题图知复数z＝3＋i，∴z1＋i＝3＋i1＋i＝3＋i1－i1＋i1－i＝4－2i2＝2－i.∴表示复数z1＋i的点为H.4．(2013·山东)复数z＝2－i2i(i为虚数单位)，则|z|等于()A．25B.41C．5D.5答案C解析z＝3－4ii＝－4－3i，所以|z|＝－42＋－32＝5.5．复数2＋i1－2i的共轭复数是()A．－35iB.35iC．－iD．i答案C解析方法一∵2＋i1－2i＝2＋i1＋