高中数学2015新课标步步高7.6

§7.6数学归纳法数学归纳法证明一个与正整数n有关的命题，可按以下步骤：(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N＋)时命题成立；(2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N＋)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立.只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)用数学归纳法证明问题时，第一步是验证当n＝1时结论成立.(×)(2)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明.(×)(3)用数学归纳法证明问题时，归纳假设可以不用.(×)(4)不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由n＝k到n＝k＋1时，项数都增加了一项.(×)(5)用数学归纳法证明等式“1＋2＋22＋…＋2n＋2＝2n＋3－1”，验证n＝1时，左边式子应为1＋2＋22＋23.(√)(6)用数学归纳法证明凸n边形的内角和公式时，n0＝3.(√)2.在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为12n(n－3)条时，第一步检验n等于()A.1B.2C.3D.0答案C解析凸n边形的边最少有三条，故第一个值n0取3.3.若f(n)＝1＋12＋13＋…＋16n－1(n∈N＋)，则f(1)为()A.1B.15C.1＋12＋13＋14＋15D.非以上答案答案C解析等式右边的分母是从1开始的连续的自然数，且最大分母为6n－1，则当n＝1时，最大分母为5，故选C.4.设f(n)＝1n＋1＋1n＋2＋…＋1n＋n，n∈N*，那么f(n＋1)－f(n)＝________.答案12n＋1－12n＋2解析f(n＋1)－f(n)＝1n＋2＋1n＋3＋…＋1n＋n＋1n＋1＋n＋1n＋1＋n＋1－(1n＋1＋1n＋2＋…＋1n＋n)＝12n＋1＋12n＋2－1n＋1＝12n＋1－12n＋2.5.用数学归纳法证明：“1＋12＋13＋…＋12n－1n(n∈N*，n1)”时，由n＝k(k1)不等式成立，推理n＝k＋1时，左边应增加的项数是________.答案2k解析当n＝k时，要证的式子为1＋12＋13＋…＋12k－1k；当n＝k＋1时，要证的式子为1＋12＋13＋…＋12k－1＋12k＋12k＋1＋…＋12k＋1－1k＋1.左边增加了2k项.题型一用数学归纳法证明等式例1求证：(n＋1)(n＋2)·…·(n＋n)＝2n·1·3·5·…·(2n－1)(n∈N＋).思维启迪证明时注意等式两边从n＝k到n＝k＋1时的变化.证明①当n＝1时，等式左边＝2，右边＝2，故等式成立；②假设当n＝k(k∈N＋)时等式成立，即(k＋1)(k＋2)·…·(k＋k)＝2k·1·3·5·…·(2k－1)，那么当n＝k＋1时，左边＝(k＋1＋1)(k＋1＋2)·…·(k＋1＋k＋1)＝(k＋2)(k＋3)·…·(k＋k)(2k＋1)(2k＋2)＝2k·1·3·5·…·(2k－1)(2k＋1)·2＝2k＋1·1·3·5·…·(2k－1)(2k＋1)，这就是说当n＝k＋1时等式也成立.由①②可知，对所有n∈N＋等式成立.思维升华用数学归纳法证明恒等式应注意(1)明确初始值n0的取值并验证n＝n0时等式成立.(2)由n＝k证明n＝k＋1时，弄清左边增加的项，且明确变形目标.(3)掌握恒等变形常用的方法：①因式分解；②添拆项；③配方法.用数学归纳法证明：对任意的n∈N*，11×3＋13×5＋…＋12n－12n＋1＝n2n＋1.证明(1)当n＝1时，左边＝11×3＝13，右边＝12×1＋1＝13，左边＝右边，所以等式成立.(2)假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，即有11×3＋13×5＋…＋12k－12k＋1＝k2k＋1，则当n＝k＋1时，11×3＋13×5＋…＋12k－12k＋1＋12k＋12k＋3＝k2k＋1＋12k＋12k＋3＝k2k＋3＋12k＋12k＋3＝2k2＋3k＋12k＋12k＋3＝k＋12k＋3＝k＋12k＋1＋1，所以当n＝k＋1时，等式也成立.由(1)(2)可知，对一切n∈N*等式都成立.题型二用数学归纳法证明不等式例2已知函数f(x)＝ax－32x2的最大值不大于16，又当x∈[14，12]时，f(x)≥18.(1)求a的值；(2)设0a112，an＋1＝f(an)，n∈N*，证明：an1n＋1.思维启迪(1)利用题中条件分别确定a的范围，进而求a；(2)利用数学归纳法证明.(1)解由题意，知f(x)＝ax－32x2＝－32(x－a3)2＋a26.又f(x)max≤16，所以f(a3)＝a26≤16.所以a2≤1.又x∈[14，12]时，f(x)≥18，所以f12≥18，f14≥18，即a2－38≥18，a4－332≥18，解得a≥1.又因为a2≤1，所以a＝1.(2)证明用数学归纳法证明：①当n＝1时，0a112，显然结论成立.因为当x∈(0，12)时，0f(x)≤16，所以0a2＝f(a1)≤1613.故n＝2时，原不等式也成立.②假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时，不等式0ak1k＋1成立.因为f(x)＝ax－32x2的对称轴为直线x＝13，所以当x∈(0，13]时，f(x)为增函数.所以由0ak1k＋1≤13，得0f(ak)f(1k＋1).于是，0ak＋1＝f(ak)1k＋1－32·1k＋12＋1k＋2－1k＋2＝1k＋2－k＋42k＋12k＋21k＋2.所以当n＝k＋1时，原不等式也成立.根据①②，知对任何n∈N*，不等式an1n＋1成立.思维升华用数学归纳法证明不等式的关键是由n＝k时命题成立证n＝k＋1时命题也成立，在归纳假设使用后可运用比较法、综合法、分析法、放缩法等来加以证明，充分应用基本不等式、不等式的性质等放缩技巧，使问题得以简化.用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数，不等式(1＋13)(1＋15)·…·(1＋12n－1)2n＋12均成立.证明(1)当n＝2时，左边＝1＋13＝43；右边＝52.∵左边右边，∴不等式成立.(2)假设n＝k(k≥2，且k∈N*)时不等式成立，即(1＋13)(1＋15)·…·(1＋12k－1)2k＋12.则当n＝k＋1时，(1＋13)(1＋15)·…·(1＋12k－1)[1＋12k＋1－1]2k＋12·2k＋22k＋1＝2k＋222k＋1＝4k2＋8k＋422k＋14k2＋8k＋322k＋1＝2k＋32k＋122k＋1＝2k＋1＋12.∴当n＝k＋1时，不等式也成立.由(1)(2)知，对于一切大于1的自然数n，不等式都成立.题型三归纳—猜想—证明例3已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn＝an2＋1an－1，且an0，n∈N*.(1)求a1，a2，a3，并猜想{an}的通项公式；(2)证明通项公式的正确性.思维启迪通过计算a1，a2，a3寻求规律猜想{an}的通项公式，然后用数学归纳法证明.(1)解当n＝1时，由已知得a1＝a12＋1a1－1，a21＋2a1－2＝0.∴a1＝3－1(a10).当n＝2时，由已知得a1＋a2＝a22＋1a2－1，将a1＝3－1代入并整理得a22＋23a2－2＝0.∴a2＝5－3(a20).同理可得a3＝7－5.猜想an＝2n＋1－2n－1(n∈N*).(2)证明①由(1)知，当n＝1,2,3时，通项公式成立.②假设当n＝k(k≥3，k∈N*)时，通项公式成立，即ak＝2k＋1－2k－1.由ak＋1＝Sk＋1－Sk＝ak＋12＋1ak＋1－ak2－1ak，将ak＝2k＋1－2k－1代入上式并整理得a2k＋1＋22k＋1ak＋1－2＝0，解得：ak＋1＝2k＋3－2k＋1(an0).即当n＝k＋1时，通项公式也成立.由①和②，可知对所有n∈N*，an＝2n＋1－2n－1都成立.思维升华(1)猜想{an}的通项公式是一个由特殊到一般的过程，注意两点：①准确计算a1，a2，a3发现规律(必要时可多计算几项)；②证明ak＋1时，ak＋1的求解过程与a2、a3的求解过程相似，注意体会特殊性与一般性的辩证关系.(2)“归纳—猜想—证明”的模式，是不完全归纳法与数学归纳法综合应用的解题模式，这种方法在解决探索性问题、存在性问题时起着重要作用，它的模式是先由合情推理发现结论，然后经逻辑推理证明结论的正确性，这种思维方式是推动数学研究和发展的重要方式.已知函数f(x)＝13x3－x，数列{an}满足条件：a1≥1，an＋1≥f′(an＋1)，试比较11＋a1＋11＋a2＋11＋a3＋…＋11＋an与1的大小，并说明理由.解∵f′(x)＝x2－1，且an＋1≥f′(an＋1)，∴an＋1≥(an＋1)2－1，∵函数g(x)＝(x＋1)2－1在[1，＋∞)上单调递增.于是由a1≥1得a2≥(a1＋1)2－1≥22－1，进而a3≥(a2＋1)2－1≥24－123－1，由此猜想：an≥2n－1.下面用数学归纳法证明这个猜想：①当n＝1时，a1≥21－1＝1，结论成立；②假设n＝k(k≥1且k∈N*)时结论成立，即ak≥2k－1.当n＝k＋1时，由g(x)＝(x＋1)2－1在区间[1，＋∞)上单调递增知ak＋1≥(ak＋1)2－1≥22k－1≥2k＋1－1，即n＝k＋1时，结论也成立.由①②知，对任意n∈N*，都有an≥2n－1，即1＋an≥2n，∴11＋an≤12n，∴11＋a1＋11＋a2＋11＋a3＋…＋11＋an≤12＋122＋123＋…＋12n＝1－(12)n1.归纳—猜想—证明问题典例：(12分)设a0，f(x)＝axa＋x，令a1＝1，an＋1＝f(an)，n∈N*.(1)写出a2，a3，a4的值，并猜想数列{an}的通项公式；(2)用数学归纳法证明你的结论.思维启迪通过计算a2，a3，a4观察规律猜想an，然后用数学归纳法证明.规范解答(1)解∵a1＝1，∴a2＝f(a1)＝f(1)＝a1＋a；a3＝f(a2)＝a2＋a；a4＝f(a3)＝a3＋a.[2分]猜想an＝an－1＋a(n∈N*).[4分](2)证明①易知，n＝1时，猜想正确.[6分]②假设n＝k时猜想正确，即ak＝ak－1＋a，[8分]则ak＋1＝f(ak)＝a·aka＋ak＝a·ak－1＋aa＋ak－1＋a＝ak－1＋a＋1＝a[k＋1－1]＋a.这说明，n＝k＋1时猜想正确.[11分]由①②知，对于任何n∈N*，都有an＝an－1＋a.[12分]归纳—猜想—证明问题的一般步骤：第一步：计算数列前几项或特殊情况，观察规律猜测数列的通项或一般结论；第二步：验证一般结论对第一个值n0(n0∈N*)成立.第三步：假设n＝k(k≥n0)时结论成立，证明当n＝k＋1时结论也成立.第四步：下结论，由上可知结论对任意n≥n0，n∈N*成立.温馨提醒解决数学归纳法中“归纳—猜想—证明”问题及不等式证明时，还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：(1)归纳整理不到位得不出正确结果，从而给猜想造成困难.(2)证明n＝k到n＝k＋1这一步时，忽略了假设条件去证明，造成使用的不是纯正的数学归纳法.(3)不等式证明过程中，不能正确合理地运用分析法、综合法来求证.另外需要熟练掌握数学归纳法中几种常见的推证技巧，只有这样，才能快速正确地解决问题.方法与技巧1.数学归纳法的两个步骤相互依存，缺一不可有一无二，是不完全归纳法，结论不一定可靠；有二无一，第二步就失去了递推的基础.2.归纳假设的作用在用数学归纳法证明问题时，对于归纳假设要注意以下两点：(1)归纳假设就是已知条件；(2)在推证n＝k＋1时，必须用上归纳假设.3.利用归纳假设的技巧在推证n＝k＋1时，可以通过凑、拆、配项等方法用上归纳假设.此时既要看准目标，又要掌握n＝k与n＝k＋1之间的关系.在推证时，分析法、综合法、反证法等方法都可以应用.失误与防范1.数学归纳法证题时初始值n0不一定是1；2.推证n＝k＋1时一定要用上n＝k