高中数学2015新课标步步高专题六

专题六高考中的概率与统计问题1．(2013·安徽)某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生，随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90，五名女生的成绩分别为88,93,93,88,93.下列说法一定正确的是()A．这种抽样方法是一种分层抽样B．这种抽样方法是一种系统抽样C．这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差D．该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数答案C解析x男＝15(86＋94＋88＋92＋90)＝90，x女＝15(88＋93＋93＋88＋93)＝91，s2男＝15[(86－90)2＋(94－90)2＋(88－90)2＋(92－90)2＋(90－90)2]＝8，s2女＝15[(88－91)2＋(93－91)2＋(93－91)2＋(88－91)2＋(93－91)2]＝6.2．已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ4)＝0.8，则P(0ξ2)等于()A．0.6B．0.4C．0.3D．0.2答案C解析∵P(ξ4)＝0.8，∴P(ξ4)＝0.2，由题意知图象的对称轴为直线x＝2，P(ξ0)＝P(ξ4)＝0.2，∴P(0ξ4)＝1－P(ξ0)－P(ξ4)＝0.6.∴P(0ξ2)＝12P(0ξ4)＝0.3.3．(2012·上海)设10≤x1x2x3x4≤104，x5＝105.随机变量ξ1取值x1、x2、x3、x4、x5的概率均为0.2，随机变量ξ2取值x1＋x22、x2＋x32、x3＋x42、x4＋x52、x5＋x12的概率也均为0.2.若记D(ξ1)、D(ξ2)分别为ξ1、ξ2的方差，则()A．D(ξ1)D(ξ2)B．D(ξ1)＝D(ξ2)C．D(ξ1)D(ξ2)D．D(ξ1)与D(ξ2)的大小关系与x1、x2、x3、x4的取值有关答案A解析E(ξ1)＝0.2x1＋0.2x2＋0.2x3＋0.2x4＋0.2x5＝0.2(x1＋x2＋x3＋x4＋x5)．E(ξ2)＝0.2×x1＋x22＋0.2×x2＋x32＋…＋0.2×x5＋x12＝0.2(x1＋x2＋x3＋x4＋x5)．∴E(ξ1)＝E(ξ2)，记作x，∴D(ξ1)＝0.2[(x1－x)2＋(x2－x)2＋…＋(x5－x)2]＝0.2[x21＋x22＋…＋x25＋5x2－2(x1＋x2＋…＋x5)x]＝0.2(x21＋x22＋…＋x25－5x2)．同理D(ξ2)＝0．2x1＋x222＋x2＋x322＋…＋x5＋x122－5x2.∵x1＋x222x21＋x222，…，x5＋x122x25＋x212.∴x1＋x222＋x2＋x322＋…＋x5＋x122x21＋x22＋x23＋x24＋x25.∴D(ξ1)D(ξ2)．4．(2013·四川)节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是()A.14B.12C.34D.78答案C解析设在通电后的4秒钟内，甲串彩灯、乙串彩灯第一次亮的时刻为x、y，x、y相互独立，由题意可知0≤x≤40≤y≤4|x－y|≤2，如图所示．∴两串彩灯第一次亮的时间相差不超过2秒的概率为P(|x－y|≤2)＝S正方形－2S△ABCS正方形＝4×4－2×12×2×24×4＝1216＝34.5．(2012·重庆)某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课各1节，则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为________(用数字作答)．答案35解析6节课随机安排，共有A66＝720(种)方法．课表上相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课，分三类：第1类：文化课之间没有艺术课，有A33·A44＝6×24＝144(种)．第2类：文化课之间有1节艺术课，有A33·C13·A12·A33＝6×3×2×6＝216(种)．第3类：文化课之间有2节艺术课，有A33·A23·A22＝6×6×2＝72(种)．共有144＋216＋72＝432(种)．由古典概型概率公式得P＝432720＝35.题型一求事件的概率例1某项专业技术认证考试按科目A和科目B依次进行，只有当科目A成绩合格时，才可继续参加科目B的考试．已知每个科目只允许有一次补考机会，两个科目成绩均合格方可获得证书，现某人参加这项考试，科目A每次考试成绩合格的概率均为23，科目B每次考试成绩合格的概率均为12，假设各次考试成绩合格与否互不影响．(1)求他不需要补考就可获得证书的概率．(2)在这项考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，求他分别参加2次、3次、4次考试的概率．思维启迪准确地分析事件类型，正确地运用概率公式，是解决这类问题的关键．解设“科目A第一次考试合格”为事件A1，“科目A补考合格”为事件A2，“科目B第一次考试合格”为事件B1，“科目B补考合格”为事件B2，则A1，A2，B1，B2相互独立．(1)设“不需要补考就可获得证书”为事件M，则P(M)＝P(A1B1)＝P(A1)P(B1)＝23×12＝13.(2)设“参加考试次数为2次、3次、4次”分别为事件E，C，D.则P(E)＝P(A1B1＋A1A2)＝P(A1)P(B1)＋P(A1)P(A2)＝23×12＋13×13＝49，P(C)＝P(A1B1B2＋A1B1B2＋A1A2B1)＝P(A1)P(B1)P(B2)＋P(A1)P(B1)P(B2)＋P(A1)P(A2)·P(B1)＝23×12×12＋23×12×12＋13×23×12＝49，P(D)＝P(A1A2B1B2＋A1A2B1B2)＝P(A1)P(A2)P(B1)P(B2)＋P(A1)P(A2)P(B1)P(B2)＝13×23×12×12＋13×23×12×12＝19.(另解：P(D)＝1－P(E∪C)＝1－P(E)－P(C)＝1－49－49＝19)．思维升华(1)一个复杂事件若正面情况较多，反面情况较少，则一般利用对立事件进行求解．尤其是涉及到“至多”、“至少”等问题时常常用这种方法求解．(2)求复杂事件的概率，要正确分析复杂事件的构成，看复杂事件是能转化为几个彼此互斥的事件的和事件还是能转化为几个相互独立事件同时发生的积事件，然后用概率公式求解．某校举行环保知识大奖赛，比赛分初赛和决赛两部分，初赛采用选手选一题答一题的方式进行，每位选手最多有5次选题答题的机会，选手累计答对3题或答错3题即终止其初赛的比赛，答对3题者直接进入决赛，答错3题者则被淘汰．已知选手甲答题连续两次答错的概率为19(已知甲回答每个问题的正确率相同，并且相互之间没有影响)．(1)求选手甲回答一个问题的正确率；(2)求选手甲可进入决赛的概率．解(1)设选手甲答对一个问题的正确率为P1，则(1－P1)2＝19，故选手甲答对一个问题的正确率P1＝23.(2)选手甲答了3道题目进入决赛的概率为(23)3＝827；选手甲答了4道题目进入决赛的概率为C23(23)2·13·23＝827；选手甲答了5道题目进入决赛的概率为C24(23)2·(13)2·23＝1681.∴选手甲可以进入决赛的概率P＝827＋827＋1681＝6481.题型二求离散型随机变量的均值与方差例2李先生家在H小区，他在C科技园区工作，从家开车到公司上班有L1，L2两条路线(如图)，路线L1上有A1，A2，A3三个路口，各路口遇到红灯的概率均为12；路线L2上有B1，B2两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为34，35.(1)若走路线L1，求最多遇到1次红灯的概率；(2)若走路线L2，求遇到红灯次数X的数学期望；(3)按照“平均遇到红灯的次数最少”的要求，请你帮助李先生分析上述两条路线中，选择哪条路线上班更好些，并说明理由．思维启迪走L1或L2遇到红灯的次数都是独立重复试验问题，可结合二项分布求其概率，选何条路线是要利用均值的大小判定．注意三个转化：(1)转化为P3(1)＋P3(0)的值；(2)X可取0,1,2转化为独立事件的积事件的概率；(3)转化为比较E(X)、E(Y)的大小．解(1)设“走路线L1最多遇到1次红灯”为事件A，则P(A)＝C03×123＋C13×12×122＝12.所以走路线L1最多遇到1次红灯的概率为12.(2)依题意，知X的可能取值为0,1,2.P(X＝0)＝1－34×1－35＝110，P(X＝1)＝34×1－35＋1－34×35＝920，P(X＝2)＝34×35＝920.随机变量X的分布列为X012P110920920所以E(X)＝110×0＋920×1＋920×2＝2720.(3)设选择路线L1遇到红灯的次数为Y，随机变量Y服从二项分布，即Y～B3，12，所以E(Y)＝3×12＝32.因为E(X)E(Y)，所以选择路线L2上班更好．思维升华注意此题中独立重复试验与独立事件的区别，如走L1是独立重复试验，而走L2是一般地独立事件问题，不可按二项分布求均值．解决此类题目的关键是将实际问题转化为数学问题，正确理解随机变量取每一个值所表示的具体事件，求得该事件发生的概率．(2012·福建)受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关．某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年．现从该厂已售出的两种品牌轿车中各随机抽取50辆，统计数据如下：品牌甲乙首次出现故障时间x(年)0x≤11x≤2x20x≤2x2轿车数量(辆)2345545每辆利润(万元)1231.82.9将频率视为概率，解答下列问题：(1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求其首次出现故障发生在保修期内的概率．(2)若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为X1，生产一辆乙品牌轿车的利润为X2，分别求X1，X2的分布列．(3)该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌的轿车．若从经济效益的角度考虑，你认为应生产哪种品牌的轿车？说明理由．解(1)设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件A，则P(A)＝2＋350＝110.(2)依题意得，X1的分布列为X1123P125350910X2的分布列为X21.82.9P110910(3)由(2)得E(X1)＝1×125＋2×350＋3×910＝14350＝2.86(万元)，E(X2)＝1.8×110＋2.9×910＝2.79(万元)．因为E(X1)E(X2)，所以应生产甲品牌轿车．题型三概率与统计的综合应用例3(2013·课标全国Ⅱ)经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t该产品获利润500元，未售出的产品，每1t亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130t该农产品．以X(单位：t,100≤X≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量，T(单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．(1)将T表示为X的函数；(2)根据直方图估计利润T不少于57000元的概率；(3)在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如：若需求量X∈[100,110)，则取X＝105，且X＝105的概率等于需求量落入[100,110)的频率)．求T的数学期望．思维启迪利润T是由两部分构成的，一个是获得利润，另一个是亏损，是否亏损与x的取值范围有关，因此，T关于x的函数要用分段函数表示．解(1)当X∈[100,130)时，T＝500X－300(130－X)＝800X－39000.当X∈[130,150]时，T＝500×130＝65000.所以T＝800X－39000，100≤X130，65000，130≤X≤150.