高中数学2015新课标步步高常考题型强化练

常考题型强化练——不等式、推理与证明A组专项基础训练(时间：40分钟)一、选择题1.“|x|2”是“x2－x－60”的什么条件()A.充分而不必要B.必要而不充分C.充要D.既不充分也不必要答案A解析不等式|x|2的解集是(－2,2)，而不等式x2－x－60的解集是(－2,3)，于是当x∈(－2,2)时，可得x∈(－2，3)，反之则不成立，故选A.2.某种生产设备购买时费用为10万元，每年的设备管理费共计9千元，这种生产设备的维修费各年为第一年2千元，第二年4千元，第三年6千元，而且以后以每年2千元的增量逐年递增，则这种生产设备最多使用多少年报废最合算(即使用多少年的年平均费用最少)()A.8B.9C.10D.11答案C解析设使用x年的年平均费用为y万元.由已知，得y＝10＋0.9x＋0.2x2＋0.2x2x，即y＝1＋10x＋x10(x∈N*).由基本不等式知y≥1＋210x·x10＝3，当且仅当10x＝x10，即x＝10时取等号.因此使用10年报废最合算，年平均费用为3万元.3.(2013·四川)若变量x，y满足约束条件x＋y≤8，2y－x≤4，x≥0，y≥0，且z＝5y－x的最大值为a，最小值为b，则a－b的值是()A.48B.30C.24D.16答案C解析画出可行域如图阴影部分(包括边界)易解得A(4,4)，B(8,0)，C(0,2).对目标函数令z＝0作出直线l0，上下平移易知过点A(4,4)，z最大＝16，过点B(8,0)，z最小＝－8，即a＝16，b＝－8，∴a－b＝24.选C.4.一元二次不等式ax2＋bx＋c0的解集为(α，β)(α0)，则不等式cx2＋bx＋a0的解集为()A.1α，1βB.－1α，－1βC.1β，1αD.－1β，－1α答案C解析∵不等式ax2＋bx＋c0的解集为(α，β)，则a0，α＋β＝－ba，αβ＝ca，而不等式cx2＋bx＋a0可化为cax2＋bax＋10，即αβx2－(α＋β)x＋10，可得(αx－1)(βx－1)0，即x－1αx－1β0，所以其解集是1β，1α，故选C.5.设等差数列{an}的前n项和为Sn.若存在正整数m，n(mn)，使得Sm＝Sn，则Sm＋n＝0.类比上述结论，设正项等比数列{bn}的前n项积为Tn.若存在正整数m，n(mn)，使Tm＝Tn，则Tm＋n等于()A.0B.1C.m＋nD.mn答案B解析因为Tm＝Tn，所以bm＋1bm＋2…bn＝1，从而bm＋1bn＝1，Tm＋n＝b1b2…bmbm＋1…bnbn＋1…bn＋m－1bn＋m＝(b1bn＋m)·(b2bn＋m－1)…(bmbn＋1)·(bm＋1bn)＝1.二、填空题6.已知x0，y0，且2x＋1y＝1，若x＋2ym2＋2m恒成立，则实数m的取值范围是____________.答案(－4,2)解析∵x0，y0，且2x＋1y＝1，∴x＋2y＝(x＋2y)2x＋1y＝4＋4yx＋xy≥4＋24yx·xy＝8，当且仅当4yx＝xy，即4y2＝x2，x＝2y时取等号，又2x＋1y＝1，此时x＝4，y＝2，∴(x＋2y)min＝8，要使x＋2ym2＋2m恒成立，只需(x＋2y)minm2＋2m恒成立，即8m2＋2m，解得－4m2.7.已知点P(x，y)在曲线y＝1x上运动，作PM垂直于x轴于M，则△OPM(O为坐标原点)的周长的最小值为______________________________________________________.答案2＋2解析三角形OPM的周长为|x|＋1|x|＋x2＋1x2≥2·|x|·1|x|＋2·x2·1x2＝2＋2(当且仅当|x|＝1|x|时，即|x|＝1时取等号).8.已知对于任意实数α，我们有正弦恒等式sinαsin(π3－α)·sin(π3＋α)＝14sin3α，也有余弦恒等式cosαcos(π3－α)·cos(π3＋α)＝14cos3α，类比以上结论对于使正切有意义的α，可以推理得正切恒等式为________________.答案tanαtan(π3－α)tan(π3＋α)＝tan3α三、解答题9.在一条直线型的工艺流水线上有3个工作台，将工艺流水线用如下图所示的数轴表示，各工作台的坐标分别为x1，x2，x3，每个工作台上有若干名工人.现要在x1与x3之间修建一个零件供应站，使得各工作台上的所有工人到供应站的距离之和最短.(1)若每个工作台上只有一名工人，试确定供应站的位置；(2)设工作台从左到右的人数依次为2,1,3，试确定供应站的位置，并求所有工人到供应站的距离之和的最小值.解设供应站坐标为x，各工作台上的所有工人到供应站的距离之和为d(x).(1)由题设，知x1≤x≤x3，所以d(x)＝x－x1＋|x－x2|＋x3－x＝|x－x2|－x1＋x3，故当x＝x2时，d(x)取最小值，此时供应站的位置为x＝x2.(2)由题设，知x1≤x≤x3，所以d(x)＝2(x－x1)＋|x－x2|＋3(x3－x)＝－2x＋3x3＋x2－2x1，x1≤xx2，3x3－x2－2x1，x2≤x≤x3.因此，函数d(x)在区间[x1，x2]上是减函数，在区间[x2，x3]上是常数.故供应站位置位于区间[x2，x3]上任意一点时，均能使函数d(x)取得最小值，且最小值为3x3－x2－2x1.10.某市政府为了打造宜居城市，计划在公园内新建一个如下图所示的矩形ABCD的休闲区，内部是矩形景观区A1B1C1D1，景观区四周是人行道，已知景观区的面积为8000平方米，人行道的宽为5米(如下图所示).(1)设景观区的宽B1C1的长度为x(米)，求休闲区ABCD所占面积S关于x的函数；(2)规划要求景观区的宽B1C1的长度不能超过50米，如何设计景观区的长和宽，才能使休闲区ABCD所占面积最小？解(1)因为AB＝10＋8000x，BC＝10＋x，所以S＝10＋8000x(10＋x)＝8100＋80000x＋10x(x0).所以休闲区ABCD所占面积S关于x的函数是S＝8100＋80000x＋10x(x0).(2)S＝8100＋80000x＋10x(0x≤50)，令S′＝10－80000x2＝0，得x＝405或x＝－405(舍去).所以当0x≤50时，S′0，故S＝8100＋80000x＋10x在(0,50]上单调递减.所以函数S＝8100＋80000x＋10x(0x≤50)在x＝50取得最小值，此时A1B1＝800050＝160(米).所以当景观区的长为160米，宽为50米时，休闲区ABCD所占面积S最小.B组专项能力提升(时间：25分钟)1.某商场中秋前30天月饼销售总量f(t)与时间t(0t≤30)的关系大致满足f(t)＝t2＋10t＋16，则该商场前t天平均售出(如前10天的平均售出为f1010)的月饼最小值为()A.18B.27C.20D.16答案A解析平均销售量y＝ftt＝t2＋10t＋16t＝t＋16t＋10≥18.当且仅当t＝16t，即t＝4∈(0,30]时等号成立，即平均销售量的最小值为18.2.某蔬菜收购点租用车辆，将100吨新鲜黄瓜运往某市销售，可供租用的卡车和农用车分别为10辆和20辆.若每辆卡车载重8吨，运费960元，每辆农用车载重2.5吨，运费360元，则蔬菜收购点运完全部黄瓜支出的最低运费为()A.11280元B.12480元C.10280元D.11480元答案B解析设租用的卡车和农用车分别为x辆和y辆，运完全部黄瓜支出的运费为z元，则0≤x≤100≤y≤208x＋2.5y≥100x∈N*y∈N*，目标函数z＝960x＋360y，此不等式组表示的可行域是△ABC(其中A(10,8)，B(10,20)，C(6.25,20))内横坐标和纵坐标均为整数的点.当直线l：z＝960x＋360y经过点A(10,8)时，运费最低，且其最低运费zmin＝960×10＋360×8＝12480(元)，选B.3.如图所示，要挖一个面积为800平方米的矩形鱼池，并在鱼池的四周留出左右宽2米，上下宽1米的小路，则占地总面积的最小值是________平方米.答案968解析设鱼池的长EH＝x，则EF＝800x，占地总面积是(x＋4)·800x＋2＝808＋2x＋1600x≥808＋2·2x·1600x＝968.当且仅当x＝1600x，即x＝40时，取等号.4.我们把在平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系xOy中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点A(－3,4)，且其法向量为n＝(1，－2)的直线方程为1×(x＋3)＋(－2)×(y－4)＝0，化简得x－2y＋11＝0.类比上述方法，在空间直角坐标系Oxyz中，经过点A(1,2,3)，且其法向量为n＝(－1，－2,1)的平面方程为________.答案x＋2y－z－2＝0解析设P(x，y，z)为空间内任意一点，则类比上述结论可得AP→·n＝(x－1，y－2，z－3)·(－1，－2,1)＝0，整理得x＋2y－z－2＝0.5.某工厂每天生产某种产品最多不超过40件，产品的正品率P与日产量x(x∈N*)件之间的关系为P＝4200－x24500，每生产一件正品盈利4000元，每出现一件次品亏损2000元.(注：正品率＝产品中的正品件数÷产品总件数×100%)(1)将日利润y(元)表示成日产量x(件)的函数；(2)该厂的日产量为多少件时，日利润最大？并求出日利润的最大值.解(1)∵y＝4000·4200－x24500·x－20001－4200－x24500·x＝3600x－43x3，∴所求的函数关系式是y＝－43x3＋3600x(x∈N*,1≤x≤40).(2)由(1)知y′＝3600－4x2.令y′＝0，解得x＝30.∴当1≤x30时，y′0；当30x≤40时，y′0.∴函数y＝－43x3＋3600x(x∈N*,1≤x≤40)在(1,30)上是单调递增函数，在(30,40)上是单调递减函数.∴当x＝30时，函数y＝－43x3＋3600x(x∈N*,1≤x≤40)取得最大值，最大值为－43×303＋3600×30＝72000(元).∴该厂的日产量为30件时，日利润最大，最大值为72000元.