高中数学2015新课标步步高选修4-2

选修4－2矩阵与变换1．乘法规则(1)行矩阵[a11a12]与列矩阵b11b21的乘法规则：[a11a12]b11b21＝______________________________.(2)二阶矩阵a11a12a21a22与列向量x0y0的乘法规则：a11a12a21a22x0y0＝________________________.(3)两个二阶矩阵相乘的结果仍然是一个矩阵，其乘法法则如下：a11a12a21a22b11b12b21b22＝a11×b11＋a12×b21a11×b12＋a12×b22a21×b11＋a22×b21a21×b12＋a22×b22(4)两个二阶矩阵的乘法满足________律，但不满足________律和________律．即(AB)C＝A(BC)，AB≠BA，由AB＝AC不一定能推出B＝C.一般地，两个矩阵只有当前一个矩阵的________与后一个矩阵的________相等时才能进行乘法运算．2．常见的平面变换(1)恒等变换：如1001；(2)伸压变换：如10012；(3)反射变换：如100－1；(4)旋转变换：如cosθ－sinθsinθcosθ，其中θ为旋转角度；(5)投影变换：如1000，1010；(6)切变变换：如1k01(k∈R，且k≠0)．3．逆变换与逆矩阵(1)对于二阶矩阵A、B，若有AB＝BA＝E，则称A是____________，B称为A的____________；(2)若二阶矩阵A、B均存在逆矩阵，则AB也存在逆矩阵，且(AB)－1＝B－1A－1.4．特征值与特征向量设A是一个二阶矩阵，如果对于实数λ，存在一个非零向量α，使Aα＝λα，那么λ称为A的一个____________，而α称为A的属于特征值λ的一个________________．5．特征多项式设A＝abcd是一个二阶矩阵，λ∈R，把行列式f(λ)＝λ－a－b－cλ－d＝________________，称为A的特征多项式．1．在切变变换M＝10－21作用下，直线y＝2x－1变为________．2．将椭圆x23＋y24＝1绕原点顺时针旋转45°后得到新的曲线方程为________________．3．在1010对应的线性变换作用下，圆(x＋1)2＋(y＋1)2＝1变为________________．4．计算：1324－1104＝________.5．矩阵0－110的逆矩阵是________．题型一求变换矩阵例1已知变换S把平面上的点A(3,0)，B(2,1)分别变换为点A′(0,3)，B′(1，－1)，试求变换S对应的矩阵T.思维升华知道变换前后的坐标，求变换对应的矩阵，通常用待定系数法求解．二阶矩阵M对应的变换将点(1，－1)与(－2，1)分别变换成点(－1，－1)与(0，－2)．(1)求矩阵M；(2)设直线l在变换作用下得到了直线m：x－y＝4，求l的方程．题型二求逆矩阵例2求矩阵A＝2312的逆矩阵．思维升华求逆矩阵的方法：(1)待定系数法设A是一个二阶可逆矩阵abcd，AB＝BA＝E2；(2)公式法|A|＝abcd＝ad－bc≠0，有A－1＝d|A|－b|A|－c|A|a|A|.(2013·江苏)已知矩阵A＝－1002，B＝1206，求矩阵A－1B.题型三特征值与特征向量例3已知矩阵M＝3－1－13，求M的特征值及属于各特征值的一个特征向量．思维升华已知A＝abcd，求特征值和特征向量，其步骤：(1)令f(λ)＝λ－a－b－cλ－d＝(λ－a)(λ－d)－bc＝0，求出特征值λ；(2)列方程组λ－ax－by＝0，－cx＋λ－dy＝0；(3)赋值法求特征向量，一般取x＝1或者y＝1，写出相应的向量．已知二阶矩阵A有特征值λ1＝1及对应的一个特征向量e1＝11和特征值λ2＝2及对应的一个特征向量e2＝10，试求矩阵A.用坐标转移的思想求曲线在变换作用下的新方程典例：(10分)二阶矩阵M对应的变换T将点(1，－1)与(－2,1)分别变换成点(－1，－1)与(0，－2)．(1)求矩阵M；(2)设直线l在变换T作用下得到了直线m：x－y＝4，求l的方程．思维启迪(1)变换前后的坐标均已知，因此可以设出矩阵，用待定系数法求解．(2)知道直线l在变换T作用下的直线m，求原直线，可用坐标转移法．规范解答解(1)设M＝abcd，则abcd1－1＝－1－1，abcd－21＝0－2，[2分]所以a－b＝－1c－d＝－1，且－2a＋b＝0－2c＋d＝－2，解得a＝1b＝2c＝3d＝4，所以M＝1234.[5分](2)因为x′y′＝1234xy＝x＋2y3x＋4y且m：x′－y′＝4，所以(x＋2y)－(3x＋4y)＝4，即x＋y＋2＝0，∴直线l的方程是x＋y＋2＝0.[10分]温馨提醒(1)本题考查了求变换矩阵和在变换矩阵作用下的曲线方程问题，题目难度属中档题．(2)本题突出体现了待定系数法的思想方法和坐标转移的思想方法．(3)本题的易错点是计算错误和第(2)问中坐标转移的方向错误.方法与技巧1．二阶矩阵与平面列向量乘法：acbdxy＝ax＋cybx＋dy，这是所有变换的基础．2．证明两个矩阵互为逆矩阵时，切记从两个方向进行，即AB＝E2＝BA.3．二元一次方程组a1x＋b1y＝c1，a2x＋b2y＝c2相应的矩阵方程为AX＝B，其中A＝a1b1a2b2为系数矩阵，X为未知数向量xy，B＝c1c2为常数向量．4．若某一向量在矩阵变换作用下的象与原象共线，则称这个向量是属于该变换矩阵的特征向量，相应共线系数为属于该特征向量的特征值．失误与防范1．矩阵的乘法不满足交换律，即在矩阵乘法的运算中，一般不能随意将AB写成BA.2．矩阵乘法满足结合律，即(AB)C＝A(BC)．3．矩阵的乘法不满足消去律，即对于二阶矩阵A、B、C，当A≠0，且AB＝AC时，不一定有B＝C.A组专项基础训练1．(2013·江苏)已知矩阵A＝－1002，B＝1206，求矩阵A－1B.2．(2012·江苏)已知矩阵A的逆矩阵A－1＝－143412－12，求矩阵A的特征值．3．在直角坐标系中，△OAB的顶点坐标O(0,0)，A(2,0)，B(1，2)，求△OAB在矩阵MN的作用下变换所得到的图形的面积，其中矩阵M＝100－1，N＝122022.4．已知矩阵A＝1011，B＝0232.(1)求满足条件AM＝B的矩阵M；(2)矩阵M对应的变换将曲线C：x2＋y2＝1变换为曲线C′，求曲线C′的方程．5．已知矩阵P＝02a0，Q＝01b0，若矩阵PQ对应的变换把直线l1：x－y＋4＝0变为直线l2：x＋y＋4＝0，求实数a、b的值．6．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,0)，B(－2,0)，C(－2,1)．设k为非零实数，矩阵M＝k001，N＝0110，点A、B、C在矩阵MN对应的变换下得到的点分别为A1、B1、C1，△A1B1C1的面积是△ABC的面积的2倍，求k的值．B组专项能力提升1．设数列{an}，{bn}满足an＋1＝2an＋3bn，bn＋1＝2bn，且满足an＋4bn＋4＝Manbn，求二阶矩阵M.2．(2012·福建)设曲线2x2＋2xy＋y2＝1在矩阵A＝a0b1(a0)对应的变换作用下得到的曲线为x2＋y2＝1.(1)求实数a，b的值；(2)求A2的逆矩阵．3．已知矩阵A＝1－1a1，其中a∈R，若点P(1,1)在矩阵A的变换下得到点P′(0，－3)．(1)求实数a的值；(2)求矩阵A的特征值及特征向量．4．已知矩阵M＝2a2b的两个特征值分别为λ1＝－1和λ2＝4.(1)求实数a，b的值；(2)求直线x－2y－3＝0在矩阵M所对应的线性变换作用下的象的方程．答案要点梳理1．(1)[a11×b11＋a12×b21](2)a11×x0＋a12×y0a21×x0＋a22×y0(4)结合交换消去列数行数3．(1)可逆的逆矩阵4．特征值特征向量5．λ2－(a＋d)λ＋ad－bc夯基释疑1．y＝－12.7x2＋7y2＋2xy－24＝03．y＝x(－2≤x≤0)4.－113－2185.01－10题型分类·深度剖析例1解设T＝acbd，则T：30→x′y′＝acbd30＝3a3b＝03，解得a＝0，b＝1；T：21→x′y′＝acbd21＝2a＋c2b＋d＝1－1，解得c＝1，d＝－3，综上可知，T＝011－3.跟踪训练1解(1)设M＝abcd，则有abcd1－1＝－1－1，abcd－21＝0－2，所以a－b＝－1c－d＝－1，且－2a＋b＝0－2c＋d＝－2，解得a＝1b＝2c＝3d＝4，所以M＝1234.(2)因为x′y′＝1234xy＝x＋2y3x＋4y且m：x′－y′＝4，所以(x＋2y)－(3x＋4y)＝4，整理得x＋y＋2＝0，所以直线l的方程为x＋y＋2＝0.例2解设逆矩阵为A－1＝abcd，则由2312abcd＝1001，得2a＋3c＝1，2b＋3d＝0，a＋2c＝0，b＋2d＝1.解得a＝2，b＝－3，c＝－1，d＝2.所以A－1＝2－3－12.跟踪训练2解设矩阵A的逆矩阵为abcd，则－1002abcd＝1001，即－a－b2c2d＝1001，故a＝－1，b＝0，c＝0，d＝12，从而A的逆矩阵为A－1＝－10012，所以A－1B＝－100121206＝－1－203.例3解由λ－311λ－3＝(λ－3)2－1＝0，解得λ1＝2，λ2＝4.设矩阵M的特征向量为xy.当λ1＝2时，由Mxy＝2xy可得－x＋y＝0x－y＝0，可见，α1＝11是M的属于λ1＝2的特征向量．当λ2＝4时，由Mxy＝4xy可得x＋y＝0x＋y＝0，可见，α2＝1－1是M的属于λ2＝4的特征向量.跟踪训练3解设矩阵A＝abcd，这里a，b，c，d∈R，因为11是矩阵A的属于λ1＝1的特征向量，则有1－a－b－c1－d11＝00，①又因为10是矩阵A的属于λ2＝2的特征向量，则有2－a－b－c2－d10＝00，②根据①②，则有1－a－b＝0，－c＋1－d＝0，2－a＝0，－c