高中数学3.2《复数的四则运算》素材(新人教A版选修2-2)

1复数中的几个结论及共应用数系由实数系扩充到复数系之后，实数系中哪些公式和法则仍然成立，哪些不成立，又有哪些新的公式和法则，是同学们不易弄清的问题，以下给出几则在复数系中仍然成立的公式和法则及几个新的公式和法则，并简单举例说明其应用.一、中点公式：A点对应的复数为1111()abiabRR，，B点对应的复数为2222()abiabRR，，C点为AB，两点的中点，则C点对应的复数为11222abiabi，即121222aabbi．例1四边形ABCD是复平面内的平行四边形，ABC，，三点对应的复数分别为132iii，，，求D点对应的复数．解：由已知应用中点公式可得AC，的中点对应的复数为322i，所以D点对应的复数为32[22(1)]352ii．二、根与系数的关系：若实系数方程20(0)axbxca的两复根为11abi，22abi，则有1122babiabia，1122()()cabiabia·．推论：若实系数方程20(0)axbxca有两虚数根，则这两个虚数根共轭．例2方程20xaxb的一个根为1i，求实数a，b的值．解：已知实系数方程的一个根为1i，由推论知方程的另一根为1i，由根与系数的关系可知(11)2aii，(1)(1)2bii·．三、相关运算性质：①z为实数2220zzzzz，z为纯虚数200(0)zzzz；②对任意复数有zz；③1212zzzz；④1212zzzz··，特别地有22()zz；⑤1122zzzz；⑥2zzz·．例3设1z，且zi，求证21zz为实数．证明：由条件可知0z，则21zzz·，所以11zzz，1212222211()11()11zzzzzzzzzzzz，所以21zz为实数．四、两则几何意义：①0zz的几何意义为点z到点0z的距离；②0(0)zzrr中z2所对应的点为以复数0z所对应的点为圆心，半径为r的圆上的点．例4若zC，且221zi，则22zi的最小值为．解：221zi即(22)1zi，z对应的点为到点(22)，的距离为定值1的所有的点，即以(22)，为圆心，1为半径的圆O上的点．22zi即(22)zi，为圆O上的点与点(22)，之间的距离减去圆O的半径，可得结果为3．复数与平行四边形家族菱形、矩形、正方形等特殊的平面几何图形与某些复数式之间存在某种联系及相互转化的途径．在求解复数问题时，要善于考察条件中给定的或者是通过推理所得的复数形式的结构特征，往往能获得简捷明快、生动活泼的解决方法．下面略举几例，以供参考．一、复数式与长方形的转化例1复数1z，2z满足120zz，1212zzzz，证明：21220zz．解析：设复数1z，2z在复平面上对应的点为1Z，2Z，由1212zzzz知，以1OZ，2OZ为邻边的平行四边形为矩形，12OZOZ∴，故可设12(0)zkikkzR，，所以222212210zkkz．例2已知复数1z，2z满足171z，271z，且124zz，求12zz与12zz的值．解析：设复数1z，2z在复平面上对应的点为1Z，2Z，由于222(71)(71)4，故2222112zzzz，故以1OZ，2OZ为邻边的平行四边形是矩形，从而12OZOZ，则127147371ziiz；12124zzzz．二、复数式与正方形的转化例3已知复数12zz，满足121zz，且122zz，求证：122zz．证明：设复数12zz，在复平面上对应的点为1Z，2Z，由条件知121222zzzz，3以1OZ，2OZ为邻边的平行四边形为正方形，而12zz在复平面上对应的向量为正方形的一条对角线，所以122zz．点评：复数与向量的对应关系赋予了复数的几何意义，复数加法几何意义的运用是本题考查的重点．三、复数式与菱形的转化例4已知12zz，C，121zz，123zz，求12zz．解析：设复数12zz，，12zz在复平面上对应的点为123ZZZ，，，由121zz知，以1OZ，2OZ为邻边的平行四边形是菱形，22za∴，za∴，考虑到za时，22220zaza；zai时，2222zaza无意义，故使2222zaza(0)a为纯虚数的充要条件是za，且za，zai．复数的加减法符合平行四边形法则，是复数与平行四边形家族联姻的前提．通过本文我们发现深入抓住复数加减法的几何意义的本质，可使我们求解复数问题的思路更加广阔，方法也更加灵活．