高中数学3.3.3《简单的线性规划问题》教案苏教版必修5

1第7课时：§3.3.3简单的线性规划问题（1）【三维目标】：一、知识与技能1.从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决；2.了解线性规划的意义以及线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等概念；会根据条件建立线性目标函数3.了解线性规划的图解法，并会用图解法求线性目标函数的最大（小）值4.培养学生观察、联想以及作图的能力；渗透集合、化归、数形结合、等价转化的数学思想，提高学生“建模”和解决实际问题的能力，培养学生应用数学的意识。二、过程与方法1.本节课是以二元一次不等式表示的平面区域的知识为基础，将实际生活问题通过数学中的线性规划问题来解决。2.考虑到学生的知识水平和消化能力，教师可通过激励学生探究入手，讲练结合，真正体现数学的工具性。同时，可借助计算机的直观演示可使教学更富趣味性和生动性三、情感、态度与价值观1.结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生创新2.渗透集合、数形结合、化归的数学思想，培养学生“数形结合”的应用数学的意识；激发学生的学习兴趣【教学重点与难点】：重点：线性规划的图解法难点：从实际情景中抽象出一些简单的二元线形规划问题；寻求线性规划问题的最优解【学法与教学用具】：1.学法：通过让学生观察、讨论、辨析、画图，亲身实践，调动多感官去体验数学建模的思想；学生要学会用“数形结合”的方法建立起代数问题和几何问题间的密切联系2.教学用具：直角板、投影仪，计算机辅助教材【授课类型】：新授课【课时安排】：1课时【教学思路】：一、创设情景，揭示课题1.在生活、生产中，经常会遇到资源利用、人力调配、生产安排的等问题，本节课就学习此方面的应用2.问题：在约束条件410432000xyxyxy下，如何求目标函数2Pxy的最大值？二、研探新知21.基本概念对于在约束条件410432000xyxyxy下，若2Pxy，式中变量x、y满足上面不等式组，则不等式组叫做变量x、y的约束条件，2Pxy叫做目标函数；又因为这里的2Pxy是关于变量x、y的一次解析式，所以又称为线性目标函数。满足线性约束条件的平面区域叫做可行解，如图（1）所示．由所有可行解组成的集合叫做可行域；将目标函数2Pxy变形为2yxP的形式，它表示一条直线，斜率为2，且在y轴上的截距为P．平移直线2yxP，当它经过两直线410xy与4320xy的交点5(,5)4A时，直线在y轴上的截距最大，如图（2）所示．因此，当5,54xy时，目标函数取得最大值5257.54，即当甲、乙两种产品分别生产54t和5t时，可获得最大利润7.5万元．这类求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题，通常称为线性规划问题．其中5(,5)4使目标函数取得最大值，它叫做这个问题的最优解．对于只含有两个变量的简单线性规划问题可用图解法来解决．说明：平移直线2yxP时，要始终保持直线经过可行域（即直线与可行域有公共点）．2.求解线性规划的可行解的步骤①指出线性约束条件和线性目标函数②画出可行域的图形③平移直线2yxP，在可行域内找到最优解提问：由此看出，你能找出最优解和可行域之间的关系吗？3.初步尝试若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排利润最大？设生产甲产品x乙产品y件时，工厂获得的利润为z,则yxz32.这样，上述问题就转化为：当x、y满足不等3式并且为非负整数时，z的最大值是多少？①变形——把22333zzxyyx转变为，这是斜率为23z，在y轴上的截距为的直线3；当z变化时，可以得到一组互相平行的直线；233zyx当直线与不等式组确定的平面区域内有公共点时，在区域内找一个点P，使直线经点P时截距3z最大②平移——通过平移找到满足上述条件的直线③表述——找到给M（4，2）后，求出对应的截距及z的值三、质疑答辩，排难解惑，发展思维例1设2zxy，式中变量,xy满足条件4335251xyxyx，求z的最大值和最小值．解：由题意，变量,xy所满足的每个不等式都表示一个平面区域，不等式组则表示这些平面区域的公共区域．由图知，原点(0,0)不在公共区域内，当0,0xy时，20zxy，即点(0,0)在直线0l：20xy上，作一组平行于0l的直线l：2xyt，tR，可知：当l在0l的右上方时，直线l上的点(,)xy满足20xy，即0t，而且，直线l往右平移时，t随之增大．由图象可知，当直线l经过点(5,2)A时，对应的t最大，当直线l经过点(1,1)B时，对应的t最小，所以，max25212z，min2113z．变题：设610zxy，式中,xy满足条件4335251xyxyx，求z的最大值和最小值．解：由引例可知：直线0l与AC所在直线平行，则由引例的解题过程知，当l与AC所在直线35250xy重合时z最大，此时满足条件的最优解有无数多个，当l经过点(1,1)B时，对应z最小，OyxACB430xy1x35250xy4∴max61050zxy，min6110116z．例2（1）已知1224abab，求42tab的取值范围；（2）设2()fxaxbx，且1(1)2f，2(1)4f，求(2)f的取值范围。解：（1）不等式组表示的平面区域如图所示，作直线0l：420ab，作一组平行线l：42abt，由图知l由0l向右下方平移时，t随之增大，反之减小，∴当l经过A点时t取最小值，当l经过C点时t取最大值，由14abab和22abab分别得31(,)22A，(3,1)C，∴min3142522t，max432110t，所以，[5,10]t．（2）(1)fab，(1)fab，(2)42fab，由（1）知，(2)[5,10]f．例3已知ABC的三边长,,abc满足2bca，2cab，求ba的取值范围。解：设bxa，cya，则121210,0xyxyxyxxy，作出平面区域，由图知：21(,)33A，31(,)22C，∴2332x，即2332ba．四、巩固深化，反馈矫正1.求54zxy的最大值，使式中,xy满足约束条件321041100,0,xyxyxyxyZ．2．已知函数2()fxaxc满足4(1)1f，1(2)5f，求(3)f的取值范围。五、归纳整理，整体认识1.了解线性规划问题的有关概念，掌握线性规划问题的图解法，懂得寻求实际问题的最优解2.用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：表述方法一：（1）首先，要根据线性约束条件画出可行域（即画出不等式组所表示的公共区域）;（2）设0t，画出直线0l新疆学案王新敞（3）观察、分析，平移直线0l，从而找到最优解新疆学案王新敞（4）最后求得目标函数的最大值及最小值新疆学案王新敞表述方法二：求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的格式与步骤：（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；AbOBCD24420ab1ba4ba2baa5（3）在可行域内求目标函数的最优解.说明：（1）线性目标函数的最大值、最小值一般在可行域的顶点处取得；（2）线性目标函数的最大值、最小值也可在可行域的边界上取得，即满足条件的最优解有无数多个．线性规划的意义、最优解的含义六、承上启下，留下悬念七、板书设计（略）八、课后记：