第1页共5页北师大版数学选修1-2第三章推理与证明§4反证法一、教学目标:1.知识与技能:(1)了解间接证明的一种基本方法──反证法;(2)了解反证法的思考过程与特点,会用反证法证明数学问题.2.过程与方法:通过学生动手及简单实例,让学生充分体会反证法的数学思想,并学会简单应用.3.情感态度与价值观通过反证法的学习,让学生形成逆向思维的模式,体验数学方法的多样性。提高学生推导、推理能力及思考问题和解决问题的能力,并在合作探究中找到一种解决生活生产实际问题的新方法。二.教学重点:了解反证法的思考过程与特点..三.教学难点:正确理解、运用反证法.四.教学方法:多媒体辅助教学;小组合作探究,多元活动.教学过程:一、课前复习与思考:(1)请学生复习旧知,为本节课夯实基础:直接证明:是从命题的条件或结论出发,根据已知的定义、公理、第2页共5页定理,直接推理证明结论的真实性。常用的直接证明方法:综合法与分析法。综合法的思路是由因导果;分析法的思路是执果索因。(2)让学生思考间接证明是什么?它有哪些方法?(初中所学)间接证明:不是从正面证明命题的真实性,而是证明命题的反面为假,或改证它的等价命题为真,间接地达到证明的目的。反证法就是一种常用的间接证明方法。二、探究新知【新课导引】多媒体课件显示9个白色球.上课时要求学生将9个球分别染成红色或绿色.让学生注意观察现象.提问学生,让学生由感性认识上升到理性认识:同学们请看,这9个球无论如何染色,至少有5个球是同色的.你能用数学中的什么方法来证明这个结论吗?【学生自主合作探究】学生阅读完教材后,小组合作探究以下问题:1、什么是反证法?2、反证法的证题步骤有哪几步?3、什么样的命题适合用反证法来证明?4、反证法的应用关键在于什么?【学生展示、交流】(1)反证法概念第3页共5页反证法:假设命题结论不成立(即命题结论的反面成立),经过正确的推理,引出矛盾,因此说明假设错误,从而证明原命题成立,这样的的证明方法叫反证法。(2)反证法的一般步骤:a、反设:假设命题结论不成立(即假设结论的反面成立);b、归缪:从假设出发,经过推理论证,得出矛盾;c、下结论:由矛盾判定假设不成立,从而肯定命题成立。(3)应用反证法的情形:①直接证明困难;②需分成很多类进行讨论.③结论为“至少”、“至多”、“有无穷多个”---类命题;④结论为“唯一”类命题;(4)关键在于归缪矛盾:a、与已知条件矛盾;b、与公理、定理、定义矛盾;c、自相矛盾。【教师归纳评价并强调】:同学们对反证法的学习已经有了一些认识,而反证法引出矛盾没有固定的模式,需要认真观察、分析,洞察矛盾。三、教师点拨【教师引导学生完成】:例1、已知a是整数,2能整除2a,求证:2能整除a.证明:假设命题的结论不成立,即“2不能整除a”。因为a是整数,故a是奇数,a可表示为2m+1(m为整数),则第4页共5页1)22(2144)12(2222mmmmma,即2a是奇数。所以,2不能整除2a。这与已知“2能整除2a”相矛盾。于是,“2不能整除a”这个假设错误,故2能整除a.例2、在同一平面内,两条直线a,b都和直线c垂直。求证:a与b平行。证明:假设命题的结论不成立,即“直线a与b相交”。设直线a,b的交点为M,a,c的交点为P,b,c的交点为Q,如图所示,则00PMQ。这样MPQ△的内角和PQMMPQPMQ0001809090PMQ。这与定理“三角形的内角和等于0180”相矛盾,这说明假设是错误的。所以直线a与b不相交,即a与b平行。例3、求证:2是无理数。证明:2不是无理数,即2是有理数,那么它就可以表示成两个整数之比,设02pqp,,且p,q互素,则qp2。所以222qp..①故2q是偶数,q也必然为偶数。设q=2k,代入①式,则有2242kp,即222kp,所以p也为偶数。P和q都是偶数,它们有公约数2,这与p,q互素相矛盾。因此,假设不成立,即“2是无理数”。【教师从例题分析中小结反证法相关知识,提高学生的解题能力】:反证法的方法实质:反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的,即由一个命题与其逆否命题同真假,通过证明一个命题的逆否命题的正确,从而肯定原命题真实.第5页共5页四、学生练习及检测,教师评价1、一定是锐角。是直角,则中,若证明:在BCABC2、【课堂回顾】同学们,本节课前有关小球染色的问题应该可以找到答案了,那就是用反证法来证明.你能证明了吗?请同学们课后积极思考与实践.五、课后思考:A、B、C三个人,A说B撒谎,B说C撒谎,C说A、B都撒谎.则C必定是在撒谎,为什么?分析:假设C没有撒谎,则C话为真那么A话为假且B话为假;由A话为假,知B话为真.这与B话为假矛盾.那么假设C没有撒谎不成立;则C必定是在撒谎.六、布置作业:课本67页习题3-4:(3)、(4)附:【板书】反证法一、概念:四、反证法适用于:二、步骤:五、应用举例:三、归谬矛盾:六、小结:是无理数。求证:3