高中数学“平面向量”教学研究

课程简介高中数学“平面向量”教学研究【课程简介】向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，有深刻的几何背景，是解决几何问题的有力工具。向量是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景。本课程从以下三个方面对“平面向量”进行了阐述：一、整体把握“平面向量”教学内容；二、“平面向量”教与学的策略；三、“平面向量”学生学习目标检测分析。本课程主要面向一线教师和教研员，部分优秀学生也可参照学习。课程第一部分从平面向量在整个学科知识体系中的地位和作用出发，帮助学员深层次理解“平面向量”；第二部分则从教学的难点和重点出发，针对教学中容易出现的问题，针对学生学习中容易出现的错误，从教学设计到教学实施的各个环节，有针对性地给出建议；第三部分通过举例说明，目的在于帮助学员学会根据检测目标，有针对性的设计评价和检测方案。【学习要求】通过本课程的学习，达到以下目标：1.了解平面向量的背景，了解平面向量在整个学科知识体系中的地位和作用，了解平面向量与代数、几何、三角等的联系。2.明确平面向量教学的重点和难点，明确学生学习的困难所在，并能设计相应的教学方案把握重点、突破难点。3.能根据课标要求有针对性的设计一套平面向量的检测试题（涉及概念、运算及应用）。教师团队【主讲教师】梁丽平北京市数学特级教师，市级学科带头人，校数学教研组组长，海淀区名师工作站导师。多年从事一线教学工作，多年担任海淀区兼职教研员，所教学生成绩突出：有高考状元、数学满分、IMO金牌。本人曾在国家级刊物上发表过十余篇论文，编写新课标教材《初等数论》（北师大版）；与他人合著北京市补充教材《概率统计》；曾多次参与北京市高中毕业会考命题；参与北京市新课程数学教学指导意见的编写．【互动教师】崔鹏男，硕士学位，毕业于清华大学，曾获海淀区青年教师基本功教学设计比赛、说课比赛、解题比赛一等奖，教学成绩优异。专题讲座高中数学“平面向量”教学研究梁丽平人民大学附属中学一、整体把握“平面向量”教学内容（一）平面向量知识结构图（二）重点难点分析本专题内容包括：平面向量的概念、运算及应用．课标要求：平面向量（约12课时）（1）平面向量的实际背景及基本概念通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示。（2）向量的线性运算①通过实例，掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义。②通过实例，掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义。③了解向量的线性运算性质及其几何意义。（3）平面向量的基本定理及坐标表示①了解平面向量的基本定理及其意义。②掌握平面向量的正交分解及其坐标表示。③会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算。④理解用坐标表示的平面向量共线的条件。（4）平面向量的数量积①通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义。②体会平面向量的数量积与向量投影的关系。③掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算。④能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。（5）向量的应用经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具，发展运算能力和解决实际问题的能力。依据课标要求，并结合前面的分析可知：新概念、新运算的定义，向量运算和向量运算的几何意义是本专题的重点，平面向量基本定理是坐标表示（几何代数化）的关键，也是本专题教学的难点。二、“平面向量”教与学的策略（一）在概念教学中，依据概念教学的方法，建构概念知识体系本专题的教学中，向量、向量的运算等都是新定义的概念，如何让这些概念的出现自然轻松，还能让学生迅速把握住本质，达成理解？不妨遵循概念教学的方法。比如说：“向量的概念”教学中，可从力、位移等实例引入，进行抽象概括，形成向量的概念。之后，提出“温度、功是不是向量？”这样的问题，通过比较，对向量的概念进行辨析，在此基础上，抓住向量的两个要点：大小、方向进行拓展，按如下表格整理，将向量概念精致化。概念辨析：本专题的内容中，学生的问题之一是：概念不清，符号表示混乱，针对此问题，一方面教师在板书、表达等方面一定要准确和多方强调，另一方面，也可设置一些判断题，帮助学生辨析概念．例1．下列命题中，真命题的序号为：______．①是A、B、C、D四点构成平行四边形的充要条件；②－＝0；③单位向量不一定都相等；④若向量、满足||=||，则=±；⑤的充要条件是，且；⑥若，则或；⑦若=0，则或为零向量．（二）在平面向量运算的教学中，运用模型和类比，降低难度，深化理解向量是新定义的数学概念，单纯看向量的运算，实际上是比较抽象的．在教学中若能恰当运用模型，运用类比，不仅可以降低难度，而且对于学生认识抽象的运算有很大的好处：比如说：向量这个概念源于物理中的力、位移，那么力的合成、位移的合成实际上就是向量加法的模型，依此为基础很容易理解并记忆平行四边形法则和三角形法则。而向量的减法则可类比于数的减法定义：在实数运算中，减法是加法的逆运算，于是向量的减法也可以看成是向量加法的逆运算；在实数运算中，减去一个数，等于加上这个数的相反数，据此，引出相反向量的概念。再比如：实数运算中的乘法，实则是源于加法，向量运算中，我们也可以从向量加法出发，问学生：=？从而引出实数与向量的乘积。教学内容教学方法备注向量的加法模型力的合成平行四边形法则位移的合成三角形法则向量的减法类比减法是加法的逆运算减去一个数，等于加上这个数的相反数相反向量实数与向量的乘积类比辨析拓展数的乘法平行向量运算率类比辨析实数的运算率交换律、结合律、分配率……平面向量基本定理模型力的分解平面向量的数量积模型做功的概念在定义新的向量运算时，为了便于学生的理解和记忆，一方面要关注到运算定义的合理性，新定义的运算应该与我们日常的经验（向量的来源）不相悖——合情合理；另一方面，也要注意向量运算与实数运算的差异，抓住“结果是什么？”“遵循什么样的运算律？”等问题，在类比和辨析中学习新知识。逐渐渗透在集合上定义二元运算的准则．自然形成对于“逆运算”、“逆元”等概念的了解．最终拓展学生对于运算的认识．作为一种检验，设计如下题目，考察学生对于抽象运算的理解：例2．设是已知平面上所有向量的集合，对于映射，记的象为。若映射满足：对所有及任意实数都有，则称为平面上的线性变换。现有下列命题：①设是平面上的线性变换，，则；②若是平面上的单位向量，对，则是平面上的线性变换；③对，则是平面上的线性变换；④设是平面上的线性变换，，则对任意实数均有。其中的真命题是（写出所有真命题的编号）（三）紧扣重点，恰当选择例题，深化数形结合本专题的教学中，数形结合是重要的思想方法之一，理解向量线性运算的几何意义更是本专题的教学目标之一，但学生往往不能做到恰当转化．数形结合的关键是把握基本量的代数形式与几何特征之间的联系，一方面教学中要时刻注意二者的联系和相互表达，学会“看图说话”，另一方面也可选择恰当的例题，对某些几何特征量进行归纳，逐渐学会“由数到形”．先以教学为例：每种运算都要注意从几何和代数两个方面进行解读，两者并重。但要真正掌握、运用这种思想方法，还需对数和形的实质加以挖掘。比如“向量的加法”教学中，可从“位移的合成”引入三角形法则，这是向量加法的几何法则，将其代数化，就得到：。代数化和形式化并不只是一种简洁的表示，还可挖掘其内在的含义：如这个式子其实可以脱离图形而存在，进一步得到。之外，也可通过一些训练，促成学生掌握“数形结合”。例3．D、E、F分别为△ABC的三边BC、CA、AB的中点，且=，=，给出下列命题：①－；②+；③+；④．其中正确命题的个数是______________．选题目的：“看图说话”——平面向量的线性运算。例4．已知点O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足：，，则点P的轨迹一定通过的（）．A．外心B．内心C．重心D．垂心分析：是什么？既然是向量，应从几个方面理解？大小、方向。设，．不难知道：向量、分别是与向量、方向相同的单位向量，设，．解：如图，以、为邻边作平行四边形AMQN，则此四边形为菱形．根据向量加法的平行四边形法则，必有，根据菱形的对角线平分对角，所以，为的平分线．由题意:,即,且,所以,点位于射线上，即位于的平分线上．所以，点的轨迹必过ΔABC的内心．选题目的：①深化理解“向量”概念。②培养“数形结合”的思维习惯。数形结合是处理向量问题的常用思想方法．数形结合的关键在于把握基本量的代数形式与几何特征之间的联系．如本题中由看到单位向量；③拓展延伸，见多识广。熟练掌握向量加法的平行四边形法则与三角形法则，将平面几何的图形关系与向量运算的几何意义有机结合，如本题中的菱形．可以思考，当两个向量满足什么关系时，可构造矩形？，O是△ABC的外心，O是△ABC的什么心？重心，O是△ABC的垂心，O是△ABC的内心．又比如在平行四边形ABCD中，意味着菱形；也意味着菱形；若，意味着矩形．已知O、A、B、C是不共线的四点，若存在一组正实数使得，则三个角中至少有_________个钝角例5已知向量≠，||＝1，对任意实数t，恒有|－t||－|，则（）A．⊥B．⊥(－)C．⊥(－)D．(＋)⊥(－)分析：利用向量减法的三角形法则，作出几何图形，观察|－t||－|的含义．解：设，，则，在直线上任取一点，设，则，所以，．因为|－t||－|恒成立，所以，，所以，需且只需，即⊥(－)．选题目的：由数到形——实数与向量乘积的几何表示。t表示的就是与向量平行（共线）的向量．例6.设,是不共线的两个向量,已知,,,若、、三点共线，求实数的值．分析：三点共线对应向量平行．解：,所以,由已知,必存在实数,使.即．由于,是不共线的两个向量，于是解得，．选题目的：三点共线与向量平行。运用向量共线的充要条件常可解决几何中的三点共线问题．（四）从特殊到一般，强化平面向量基本定理的教学，突破难点课标要求：通过本专题的学习，研究用向量处理问题的两种方法：“向量法”和“坐标法”．也即面对一个实际问题，要学会选择基底或者建立平面直角坐标系．本质上这两种方法是统一的，其依据都是“平面向量基本定理”，后者是前者的特例．学生往往对于后者较为熟悉，在给定的坐标系中会处理问题，但不善于自己选择基底．事实上，这种熟悉，对于很多学生来说：只是一种简单的模仿和运算，而对于平面向量基本定理并没有真正理解。但课标对于平面向量基本定理的要求，只限于“了解”。因此，若学生程度较好，可在正交基底的基础上，引导学生选择其它的基底解决问题，强化对于平面向量基本定理的教学．例7.中，为直角，，，AD与BC相交于点M，设，，（Ⅰ）试用表示向量；（Ⅱ）在线段AC上取一点E，在BD上取一点F，使得EF过点M，设，，求证：．分析：由于向量互相垂直，所以建立直角坐标系，通过计算坐标的方法，可以解决问题；另外，可看作是平面的一组基底，用它们表示，注意到，所以只需求得求得点在上的位置，这一点可直接利用平面向量基本定理中分解的唯一性，运用两组三点共线解决问题。解1：（Ⅰ）以为原点，如图建立平面直角坐标系,设,,则,，设，则根据在直线上，也在直线上，根据斜率公式，可得：，．解之得：，所以．（Ⅱ）由题可得，，由三点共线，可得：可证得．解2：（Ⅰ）由三点共线可知，存在实数使得；由三点共线可知，存在实数使得；由平面向量基本定理知：解之得，．（Ⅱ）若，，则，又因为三点共线，所以，．选题目的：（1）类比，由特殊到一般。平面直角坐标系是平面向量基本定理的特殊情况（正交基底），但在这种正交基底的情况下，向量的运算就转化为坐标运算，度量问题因此得到简化；（2）运用向量基本定理解题的基本方法。有了平面向量基本定理，平面上所有的向量都可以用一组基底表示，从而使得向量的“代数化”更为方便．例8如图，,点在由射线,线段及的延长线围成的区域内（不含边界）运动,且,则的取值范围是______；当时,的取值范围是______.分析：以为基底分解向量．解：如图，作交于．则，由点的位置不难知道．因此，