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1第2课时等差数列的性质及其应用双基达标限时20分钟1．已知{an}为等差数列，a2＋a8＝12，则a5等于()．A．4B．5C．6D．7解析由a2＋a8＝2a5＝12得：a5＝6，故选C.答案C2．由公差d≠0的等差数列a1，a2，…，an组成一个新的数列a1＋a3，a2＋a4，a3＋a5，…下列说法正确的是()．A．新数列不是等差数列B．新数列是公差为d的等差数列C．新数列是公差为2d的等差数列D．新数列是公差为3d的等差数列解析∵(an＋1＋an＋3)－(an＋an＋2)＝(an＋1－an)＋(an＋3－an＋2)＝2d，∴数列a1＋a3，a2＋a4，a3＋a5，…是公差为2d的等差数列．答案C3．在等差数列{an}中，若a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝80，则a7－12a8的值为()．A．4B．6C．8D．10解析由a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝5a6＝80，∴a6＝16，∴a7－12a8＝12(2a7－a8)＝12(a6＋a8－a8)＝12a6＝8.答案C4．已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，则a20＝________.解析∵a1＋a3＋a5＝105，∴3a3＝105，a3＝35.∵a2＋a4＋a6＝3a4＝99.∴a4＝33，∴d＝a4－a3＝－2.∴a20＝a4＋16d＝33＋16×(－2)＝1.答案15．首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是________．解析设an＝－24＋(n－1)d，由a9＝－24＋8d≤0a10＝－24＋9d0解得：83d≤3.2答案83，36．若三个数a－4，a＋2,26－2a适当排列后构成递增等差数列，求a的值和相应的数列．解显然a－4a＋2，(1)若a－4，a＋2,26－2a成等差数列，则(a－4)＋(26－2a)＝2(a＋2)，∴a＝6，相应的等差数列为：2,8,14.(2)若a－4,26－2a，a＋2成等差数列，则(a－4)＋(a＋2)＝2(26－2a)，∴a＝9，相应的等差数列为：5,8,11.(3)若26－2a，a－4，a＋2成等差数列，则(26－2a)＋(a＋2)＝2(a－4)，∴a＝12，相应的等差数列为：2,8,14.综合提高限时25分钟7．已知数列{an}为等差数列且a1＋a7＋a13＝4π，则tan(a2＋a12)的值为()．A.3B．±3C．－33D．－3解析由等差数列的性质得a1＋a7＋a13＝3a7＝4π，∴a7＝4π3.∴tan(a2＋a12)＝tan(2a7)＝tan8π3＝tan2π3＝－3.答案D8．(2011·本溪高二检测)在等差数列{an}中，a1＝8，a5＝2，若在每相邻两项间各插入一个数，使之成等差数列，那么新的等差数列的公差为()．A.34B．－34C．－67D．－1解析设插入的四个数为x，y，z，r，则新的数列为a1，x，a2，y，a3，z，a4，r，a5，共九项，∴d＝a5－a19－1＝2－88＝－34.答案B9．如果有穷数列a1，a2，…，am(m为正整数)满足条件：a1＝am，a2＝am－1，…，am＝a1，则称其为“对称”数列．例如数列1,2,5,2,1与数列8,4,2,4,8都是“对称”数列．已知在21项的“对称”数列{cn}中c11，c12，…，c21是以1为首项，2为公差的等差数列，则c2＝________.3解析因为c11，c12，…，c21是以1为首项，2为公差的等差数列，所以c20＝c11＋9d＝1＋9×2＝19，又{cn}为21项的对称数列，所以c2＝c20＝19.答案1910．已知方程(x2－2x＋m)(x2－2x＋n)＝0的四个根组成一个首项为14的等差数列，则|m－n|＝________.解析由题意设这4个根为14，14＋d，14＋2d，14＋3d.则14＋14＋3d＝2，∴d＝12，∴这4个根依次为14，34，54，74，∴n＝14×74＝716，m＝34×54＝1516或n＝1516，m＝716，∴|m－n|＝12.答案1211．已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d，且a11＝－26，a51＝54，求a14的值．你能知道该数列从第几项开始为正数吗？解法一由等差数列an＝a1＋(n－1)d列方程组：a1＋10d＝－26，a1＋50d＝54，解得a1＝－46，d＝2.∴a14＝－46＋13×2＝－20.∴an＝－46＋(n－1)·2＝2n－48.令an≥0，即2n－48≥0⇒n≥24.∴从第25项开始，各项为正数．法二在等差数列{an}中，根据an＝am＋(n－m)d，∴a51＝a11＋40d，∴d＝140(54＋26)＝2.∴a14＝a11＋3d＝－26＋3×2＝－20.∴an＝a11＋(n－11)d＝－26＋2(n－11)，∴an＝2n－48.显然当n≥25时，an0.即从第25项开始各项为正数．412．(创新拓展)已知数列{an}的通项公式为an＝pn2＋qn(常数p，q∈R)．(1)当p和q满足什么条件时，数列{an}是等差数列？(2)求证：对任意的实数p和q，数列{an＋1－an}都是等差数列．(1)解设数列{an}是等差数列，则an＋1－an＝[p(n＋1)2＋q(n＋1)]－(pn2＋qn)＝2pn＋p＋q，若2pn＋p＋q是一个与n无关的常数，则2p＝0，即p＝0.∴当p＝0时，数列{an}是等差数列．(2)证明∵an＋1－an＝2pn＋p＋q，∴an＋2－an＋1＝2p(n＋1)＋p＋q，∴(an＋2－an＋1)－(an＋1－an)＝[2p(n＋1)＋p＋q]－(2pn＋p＋q)＝2p(常数)．∴对任意的实数p和q，数列{an＋1－an}都是等差数列．